Kalkulator Kemiringan

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) b = y₁ − m·x₁ ax + by = c ⇒ m = −a ÷ b, b = c ÷ b

x₁, y₁, x₂, y₂

Kedua titiknya, dipakai ketika pemilihnya diatur ke dua titik. Titik pertama dan titik kedua bisa ditukar — menukarnya membalik tanda pembilang dan penyebut sekaligus, sehingga kemiringannya keluar sama. Yang tidak bisa ditukar adalah menaruh sebuah x ke dalam kotak y: tidak ada yang memeriksa itu, dan hasilnya akan berupa bilangan yang tampak sepenuhnya biasa

a, b, c

Ketiga koefisien persamaan garis ax + by = c, dipakai ketika pemilihnya diatur ke persamaan garis. Ketiganya hanya dibaca pada mode itu, dan pada mode yang lain diabaikan tanpa petunjuk apa pun di layar. Perhatikan bahwa b di sini adalah koefisien y, bukan titik potong sumbu y — titik potongnya merupakan keluaran tersendiri, dan mencampuradukkan keduanya adalah kekeliruan yang paling sering terjadi pada bentuk ini

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Kemiringan dari dua titik: perubahan tegak dibagi perubahan mendatar. Bilangannya sama tidak peduli seberapa jauh kedua titik itu terpisah, dan itulah yang membuat sebuah garis lurus: ambil dua titik yang berjarak satu kilometer atau dua titik yang berjarak satu milimeter, rasionya tidak berubah. Satu-satunya keadaan yang mematahkannya adalah x₁ sama dengan x₂, tempat penyebutnya nol dan garisnya vertikal

m = −a ÷ b

Kemiringan dari persamaan garis, diperoleh dengan menyusun ulang ax + by = c menjadi y = (−a ÷ b)x + (c ÷ b). Tanda minusnya mudah terlepas, dan melepasnya memberi kemiringan dengan besar yang benar tetapi tanda yang salah — persis kekeliruan yang membuat sebuah garis tampak menanjak padahal menurun. Ketika b nol, penyusunan ulang itu membagi dengan nol dan garisnya vertikal, jadi keadaan itu ditolak alih-alih dihampiri

b = y₁ − m·x₁

Titik potong sumbu y, yaitu tempat garis memotong sumbu tegak. Nilainya dihitung dari kemiringan dan salah satu titiknya, bukan dibaca dari grafik, dan ia dicetak untuk setiap masukan termasuk masukan yang membuatnya nol. Garis yang melalui titik asal punya titik potong tepat 0, dan itu layak dilihat secara tersurat: itulah keadaan persamaannya sama sekali tidak punya suku konstanta

angle = arctan(m)

Sudut kemiringan, yaitu arctan dari kemiringannya dalam derajat, yang terletak antara −90 dan 90. Kemiringan 1 memberi 45 derajat, kemiringan −1 memberi −45, dan garis mendatar memberi 0. Ini bukan sudut inklinasi yang dipakai dalam geometri koordinat, yang berjalan dari 0 sampai 180 dan akan melaporkan 135 untuk garis −45 yang sama; arctan dipakai di sini karena itulah sudut yang langsung mengikuti kemiringannya, satu lawan satu dan bisa dibalik

Pakai halaman ini ketika sebuah kemiringan harus keluar dari garis yang telah diberikan dalam salah satu bentuk baku, dan juga ketika persamaan sebuah garis perlu dibaca kemiringan serta titik potongnya tanpa disusun ulang dengan tangan — 2x + 3y = 6 adalah kemiringan −2/3 dan titik potong 2 dalam satu langkah. Halaman ini tempat memeriksa garis yang sudah Anda gambar: kemiringan yang kembali dengan tanda salah, atau titik potong yang tidak cocok dengan tempat garisnya memotong sumbu, berarti persamaannya salah dibaca di suatu tempat. Sudutnya berguna ketika kemiringan harus dibandingkan dengan kemiringan fisik, meskipun yang dicetak adalah arctan dan bukan sudut inklinasi, jadi bacalah kolom itu dengan mengingat perbedaannya. Beralihlah ke kalkulator kemiringan jalan ketika pertanyaannya soal tanjakan dan bukan soal garis — aritmetikanya sama, kosakatanya berbeda, dan halaman itu berbicara dalam persen tanjakan dan landai. Beralihlah ke kalkulator rumus kuadrat ketika persamaannya punya suku x², karena kurva tidak punya satu kemiringan tunggal dan halaman itu mencari tempat kurvanya memotong nol. Beralihlah ke kalkulator bentuk titik-kemiringan ketika kemiringannya sudah diketahui dan persamaannya justru yang Anda cari, yaitu pertanyaan halaman ini dibaca terbalik.

1. Garis yang melalui (1, 2) dan (4, 8)

   1. Perubahan y: 8 − 2 = 6
   2. Perubahan x: 4 − 1 = 3
   3. Kemiringannya: 6 ÷ 3 = 2
   4. Titik potongnya: 2 − 2 × 1 = 0, jadi garisnya melalui titik asal
   5. Sudutnya: arctan(2) = 63,4349 derajat

   Kasus dua titik dengan setiap jawaban berupa bilangan bulat kecuali sudutnya — dan itu keadaan yang biasa, sebab arctan dari kemiringan rasional hampir tidak pernah berupa bilangan bulat derajat. Titik potong tepat 0 layak direnungkan sejenak: ia mengatakan bahwa persamaan garis ini adalah y = 2x tanpa tambahan apa pun, dan pembaca yang mengira titik potong selalu berupa jarak yang terlihat di sumbu sedang melihat garis yang memotong tepat di titik asal.

2. Garis yang melalui (0, 3) dan (4, 0)

   1. Perubahan y: 0 − 3 = −3
   2. Perubahan x: 4 − 0 = 4
   3. Kemiringannya: −3 ÷ 4 = −0,75, negatif karena garisnya menurun ke kanan
   4. Titik potongnya: 3 − (−0,75 × 0) = 3, yang terlihat pada grafik sebagai titik (0, 3)
   5. Sudutnya: arctan(−0,75) = −36,8699 derajat

   Kemiringan negatif, dan kasus yang membuat konvensi sudut menjadi penting. Garis ini menurun ke kanan, jadi sudutnya negatif — buku geometri akan menyebut inklinasi garis yang sama 143,13 derajat, dan kedua bilangan itu menggambarkan satu garis yang sama. Titik potongnya di sini yang paling mudah diperiksa, karena titik pertamanya ber-x 0 dan duduk tepat di sumbu tegak.

3. Garis 2x + 3y = 6

   1. Susun ulang menjadi y = mx + b: 3y = 6 − 2x, jadi y = 2 − (2 ÷ 3)x
   2. Kemiringannya −a ÷ b = −2 ÷ 3 = −0,666667
   3. Titik potongnya c ÷ b = 6 ÷ 3 = 2
   4. Sudutnya: arctan(−0,666667) = −33,6901 derajat
   5. Pemeriksaannya: pada x = 0 persamaannya berbunyi 3y = 6, jadi y = 2, dan itulah titik potongnya

   Mode persamaan, dan kasus yang menunjukkan mengapa rumusnya memuat tanda minus. Melepas tanda itu memberi 0,666667 alih-alih −0,666667 — kecuraman yang sama, tetapi menanjak dan bukan menurun, dan itulah jenis kekeliruan yang tertangkap oleh pemeriksaan terhadap persamaan aslinya sementara sekilas pandang ke bilangannya tidak menangkap apa-apa. Titik potongnya bisa dipastikan dengan menetapkan x sama dengan nol pada persamaannya, bukan dengan mempercayai rumusnya.

4. Garis x − y = 4

   1. Susun ulang: −y = 4 − x, jadi y = x − 4
   2. Kemiringannya −a ÷ b = −1 ÷ (−1) = 1
   3. Titik potongnya c ÷ b = 4 ÷ (−1) = −4
   4. Sudutnya: arctan(1) = 45 derajat, tepat

   b yang negatif, yaitu tempat kedua tanda minus pada rumusnya saling menghapus dan jawabannya keluar positif. Ini juga salah satu dari sedikit garis yang sudutnya bilangan bulat derajat: kemiringan 1 adalah 45 derajat dan kemiringan −1 adalah −45, dan itulah sebabnya kedua baris itu ada di tabel rujukan. Titik potong −4 mengatakan garisnya memotong di bawah titik asal, dan pembaca yang mengira koefisien negatif berarti kemiringan negatif akan mendapatkannya persis terbalik.

5. Garis mendatar yang melalui (2, 5) dan (6, 5)

   1. Perubahan y: 5 − 5 = 0
   2. Perubahan x: 6 − 2 = 4
   3. Kemiringannya: 0 ÷ 4 = 0 — garis mendatar, dan kemiringannya nol dan bukan tak terdefinisi
   4. Titik potongnya: 5 − 0 × 2 = 5, yaitu ketinggian tempat garis itu berada
   5. Sudutnya: arctan(0) = 0 derajat

   Kemiringan nol, yaitu keadaan yang paling sering dicampuradukkan dengan garis vertikal yang ditolak halaman ini. Garis mendatar punya kemiringan tepat nol — ia tidak naik dan tidak turun — sedangkan garis vertikal tidak punya kemiringan sama sekali, dan bedanya terletak pada apakah nol itu mendarat di pembilang atau di penyebut. Setiap keluaran di sini bilangan yang bersih, sehingga baris ini yang paling mudah diperiksa terhadap sketsa.

Kedua kelompok kotak masukan sama-sama ada di layar dan pemilih mode yang menentukan mana yang dibaca. Kelompok yang tidak dibaca tidak diredupkan — halaman ini tidak bisa melakukannya — sehingga angka yang diketik ke kelompok yang salah diabaikan diam-diam, dan hasilnya tidak akan bergerak ketika angka itu diubah. Itulah satu-satunya perilaku di halaman ini yang tidak bisa ditemukan dari layar, dan satu-satunya penawarnya adalah memeriksa pemilihnya: kotak dua titik dibaca ketika pemilihnya berbunyi dua titik, dan kotak a, b, serta c dibaca ketika pemilihnya berbunyi persamaan garis. Garis vertikal ditolak pada kedua mode alih-alih dilaporkan sebagai kemiringan tak hingga, karena tak hingga bukan bilangan yang bisa dipakai dan garis vertikal memang tidak punya kemiringan; garis mendatar adalah perkara yang sama sekali lain dan kembali sebagai kemiringan tepat nol. Sudutnya adalah arctan dari kemiringan dan berjalan dari −90 sampai 90 derajat, bukan sudut inklinasi 0 sampai 180 yang dipakai dalam geometri koordinat — garis menurun yang sama bernilai −45 di sini dan 135 di sana, dan mencampuradukkan keduanya menyisipkan kesalahan tanda ke dalam apa pun yang dihitung dari sudut itu. Kemiringan adalah bilangan murni tanpa satuan, dan ia baru bermakna ketika kedua sumbunya diukur dalam satuan yang sama: kemiringan 5 antara jarak dalam meter dan waktu dalam detik adalah 5 meter per detik, dan halaman ini tidak akan mengatakannya. Koordinatnya dibatasi pada satu juta dalam nilai mutlak, dan itu rentang tampilan. Tidak ada penggolongan di sini: seberapa curam sebuah garis tidak punya ambang yang berwibawa, dan tanda kemiringannya sudah memberi tahu apakah garisnya menanjak atau menurun. Terakhir, halaman ini hanya menangani garis lurus — kurva punya kemiringan yang berbeda di setiap titiknya, dan tidak ada yang menghitung turunan di sini.

Mengapa mengubah sebuah kotak kadang tidak mengubah jawabannya?

Karena pemilih modenya sedang diatur ke kelompok kotak yang lain. Kedua kelompok kotak selalu ada di layar, dan hanya satu yang dibaca pada satu waktu: dengan pemilihnya di dua titik, kotak a, b, dan c diabaikan sepenuhnya, dan dengan pemilihnya di persamaan garis, keempat kotak koordinatnya yang diabaikan. Kelompok yang tidak dipakai tidak diredupkan, jadi pemilihnya satu-satunya penunjuk angka mana yang dihitung — periksa itu lebih dulu setiap kali hasilnya terasa macet.

Berapa kemiringan garis vertikal?

Tidak ada, dan halaman ini menolak masukan itu alih-alih mencetak tak hingga. Kemiringan adalah perubahan y dibagi perubahan x, dan pada garis vertikal perubahan x-nya nol, sehingga aritmetikanya meminta Anda membagi dengan nol. Tak hingga bukan bilangan yang bisa dibawa ke langkah berikutnya, dan mengatakan kemiringannya tak hingga akan menyiratkan bilangan yang sangat besar alih-alih tidak ada bilangan sama sekali. Garis mendatar adalah keadaan yang berlawanan: kemiringannya tepat nol.

Bagaimana cara mencari kemiringan dari sebuah persamaan?

Susun ulang ax + by = c menjadi y = mx + b. Hasilnya adalah kemiringan −a ÷ b dan titik potong c ÷ b, dan itulah yang dihitung halaman ini ketika pemilihnya diatur ke persamaan garis. Tandanya lebih penting daripada kelihatannya: untuk 2x + 3y = 6 kemiringannya −2/3, dan melepas minusnya memberi garis dengan kecuraman yang sama tetapi menuju arah sebaliknya.

Apa bedanya sudut kemiringan dengan sudut inklinasi?

Sudut kemiringan adalah arctan dari kemiringannya dan terletak antara −90 dan 90 derajat; sudut inklinasi yang dipakai dalam geometri koordinat terletak antara 0 dan 180. Untuk garis yang menurun ke kanan keduanya berselisih 180 derajat: halaman ini melaporkan −45 untuk kemiringan −1, sedangkan inklinasi garis yang sama adalah 135. Halaman ini memakai arctan karena ia mengikuti kemiringannya secara langsung dan satu lawan satu, tanpa aturan tambahan tentang menambahkan 180 untuk kemiringan negatif.

Apakah kemiringan punya satuan?

Tidak dengan sendirinya. Kemiringan adalah rasio dua perubahan, jadi ia bilangan murni, dan ia baru menjadi "sekian per satuan" ketika kedua sumbunya diukur dalam satuan yang sama — meter pada kedua sumbu memberi bilangan tanpa dimensi, sedangkan meter terhadap detik memberi meter per detik. Halaman ini tidak menanyakannya, jadi ia tidak bisa mengonversi atau memberi label; kalau kedua sumbunya bersatuan berbeda, kemiringannya adalah laju dan satuannya justru hal yang tidak bisa disediakan halaman ini.

Bisakah saya memakai halaman ini untuk mencari persamaan sebuah garis?

Tidak — halaman ini menempuh arah sebaliknya. Ia menerima garis yang sudah terjelaskan, entah lewat dua titik atau lewat sebuah persamaan, lalu melaporkan kemiringan dan titik potongnya. Beranjak dari kemiringan dan satu titik menuju persamaannya adalah tugas lain, dan kalkulator bentuk titik-kemiringan adalah halaman untuk itu. Yang diberikan halaman ini di sepanjang jalan adalah titik potongnya, dan kemiringan ditambah titik potong sudah merupakan bentuk kemiringan-titik potong persamaannya kalau Anda ingin menuliskannya sendiri.

• Slope — the definition of the slope of a line as rise over run, with the two-point and equation forms this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the general equation ax + by = c and its rearrangement into slope-intercept form, including the vertical case where b is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Tangent — the arctangent used for the angle column, and the range from −90 to 90 degrees that distinguishes it from the inclination angle — Wolfram MathWorld (United States)