Kalkulator Bentuk Kemiringan-Potong

titik (x1, y1) dan (x2, y2) → m = (y2 - y1) / (x2 - x1) → b = y1 - m * x1 → y = m * x + b

m

Kemiringannya: seberapa jauh garisnya menanjak untuk setiap langkah ke kanan. Nilainya adalah perubahan tegak dibagi perubahan mendatar, dan tandanya menunjukkan arah — positif menanjak, negatif menurun, nol berarti garis mendatar. Kemiringan 4 berarti y bertambah 4 untuk setiap 1 yang ditambahkan pada x.

b

Titik potong sumbu y: nilai y di tempat garisnya memotong sumbu tegak, yang sama dengan nilai y pada x = 0. Itulah yang tersisa dari sebuah titik setelah sumbangan kemiringannya dikeluarkan, dan ia satu-satunya bilangan di halaman ini yang dibaca langsung dari persamaannya.

(x1, y1), (x2, y2)

Kedua titiknya. Salah satu boleh disebut yang pertama: menukar keduanya membalik tanda pembilang dan penyebut pada kemiringannya sekaligus, dan kedua pembalikan itu saling menghapus. Keduanya tidak boleh berbagi koordinat x yang sama, karena pembagian itu akan menjadi pembagian dengan nol.

x, y

Kedua peubah pada persamaan jadinya. Pasangan mana pun yang memenuhinya duduk pada garis itu, dan itulah yang membuat persamaannya berguna: masukkan x sembarang dan ia mengembalikan y titik di atasnya, tanpa memerlukan salah satu dari kedua titik aslinya.

Pakai halaman ini ketika sebuah garis lurus dijelaskan oleh dua titiknya dan Anda menginginkan garisnya sendiri — persamaannya, kemiringannya, dan tempatnya memotong sumbu — dan bukan satu bilangan tentang garis itu. Sepasang bacaan dari sebuah tabel, dua posisi pada grafik, sebuah nilai awal dan satu pengukuran di kemudian hari: dari situ kemiringannya mengatakan seberapa cepat ia berubah dan titik potongnya mengatakan dari mana ia bermula. Kalau yang Anda inginkan hanya kemiringannya, atau hanya perkiraan nilai di antara kedua titik itu, kalkulator yang tertaut di bawah mengerjakan persis hal itu dan tidak yang lain.

1. (1, 2) dan (3, 10) — kasus yang biasa

   1. Perubahan tegak: 10 − 2 = 8. Perubahan mendatar: 3 − 1 = 2
   2. Kemiringannya: m = 8 / 2 = 4
   3. Titik potongnya: b = 2 − 4 × 1 = -2
   4. Persamaannya: y = 4x - 2

   Periksa hasilnya terhadap kedua titiknya, dan itulah kebiasaan yang layak dipelihara: pada x = 1, 4 × 1 − 2 = 2 ✓, dan pada x = 3, 4 × 3 − 2 = 10 ✓. Titik potong yang negatif padahal kedua titiknya berada di atas sumbu bukanlah kekeliruan — garisnya cukup curam sehingga memotong sumbu jauh di sebelah kiri titik pertamanya, tepatnya pada x = 0,5.

2. (0, 1) dan (2, 2) — kemiringan yang bukan bilangan bulat

   1. Perubahan tegak: 2 − 1 = 1. Perubahan mendatar: 2 − 0 = 2
   2. Kemiringannya: m = 1 / 2 = 0,5
   3. Titik pertamanya sudah duduk di sumbu, jadi b = 1 langsung jatuh darinya: b = 1 − 0,5 × 0 = 1
   4. Persamaannya: y = (1/2)x + 1

   Koefisiennya diberi tanda kurung karena 1/2x akan terbaca sebagai 1 dibagi 2x. Perhatikan bahwa kedua bilangan yang tercetak sepakat persis dengan persamaannya: baris kemiringan berbunyi 0,5 dan persamaannya berbunyi (1/2), yaitu bilangan yang sama yang ditulis sebagai pecahan — halaman ini mencetak desimal yang berhenti sebagai pecahan ketika penyebutnya cukup kecil untuk layak dibaca.

3. (1, 3) dan (5, 3) — garis mendatar

   1. Perubahan tegak: 3 − 3 = 0. Perubahan mendatar: 5 − 1 = 4
   2. Kemiringannya: m = 0 / 4 = 0
   3. Titik potongnya: b = 3 − 0 × 1 = 3
   4. Persamaannya: y = 3, karena suku kemiringannya sama sekali tidak menyumbang apa pun

   Kemiringan nol meruntuhkan persamaannya: tidak ada x yang tersisa di dalamnya, dan menulis y = 0x + 3 hanya akan menambahkan suku yang selalu bernilai nol. Inilah satu-satunya tempat persamaan yang tercetak berhenti tampak seperti y = mx + b, dan itu benar dan bukan jalan pintas — setiap titik pada garis itu punya y = 3, berapa pun x-nya.

Hanya garis lurus, dan hanya melalui dua titik yang berlainan. Kalau kedua titiknya ber-x sama, garisnya vertikal: ia tidak punya kemiringan dan tidak pernah memotong sumbu y, jadi tidak ada bentuk kemiringan-titik potong yang bisa diberikan, dan halaman ini melaporkan perhitungan yang gagal alih-alih mencetak satu — jawaban yang jujur di situ adalah x = 3, dan itu bukan persamaan yang bisa dihasilkan halaman ini. Titik yang berimpit termasuk keadaan yang sama, karena tak hingga banyak garis melalui satu titik tunggal. Kemiringannya dibulatkan ke enam angka desimal sebelum titik potongnya dihitung darinya, sehingga kedua bilangan yang tercetak selalu sepakat dengan persamaan yang tercetak, dengan harga garis yang tercetak berbeda dari garis yang eksak di luar angka desimal keenam ketika kemiringannya berulang — 1/3 menjadi 0,333333 dan persamaannya dibangun dari angka itu. Persamaannya dicetak, bukan diselesaikan: halaman ini tidak akan memberi tahu di mana garisnya memotong sumbu x, apakah dua garis sejajar, atau berapa y pada x yang lain. Koordinatnya dibatasi satu juta ke arah mana pun, dan tidak ada satuan yang terlibat di mana pun, karena koordinat adalah bilangan dan bukan hasil pengukuran.

Titik mana yang harus saya masukkan lebih dulu?

Salah satu saja — jawabannya tidak berubah. Menukar kedua titiknya membalik tanda pembilang dan penyebut pada (y2 - y1) / (x2 - x1), dan kedua pembalikan itu saling menghapus. Hal yang sama berlaku untuk titik potongnya, karena ia dihitung dari sebuah titik dan kemiringannya. Yang penting hanyalah bahwa kedua koordinat sebuah titik dimasukkan pada baris yang sama di formulirnya.

Bagaimana kalau kedua titiknya ber-x sama?

Maka garisnya vertikal dan halaman ini melaporkan perhitungan yang gagal. Garis vertikal sama sekali tidak punya kemiringan — perubahan mendatarnya nol, jadi pembagiannya tidak punya jawaban — dan ia tidak pernah memotong sumbu y, sehingga persamaan y = mx + b tidak bisa menggambarkannya berapa pun m dan b yang dipilih. Persamaan garis vertikal adalah x = 3, persamaan yang di dalamnya tidak ada kemiringan dan tidak ada titik potong sumbu y, dan itulah sebabnya ia di luar apa yang dihasilkan halaman ini.

Mengapa kemiringannya dibulatkan, dan apa yang terjadi pada desimal berulang?

Nilainya dibulatkan ke enam angka desimal, lalu titik potongnya dihitung dari nilai yang sudah dibulatkan itu dan bukan dari nilai eksaknya. Itu disengaja: dengan begitu kedua bilangan di panel hasil sepakat persis dengan persamaan yang tercetak di bawahnya, sehingga jawabannya bisa diperiksa dengan tangan. Harganya adalah, pada kemiringan yang berulang seperti 1/3 yang dihasilkan (1, 1) dan (4, 2), garis yang tercetak adalah garis yang sudah dibulatkan — 0,333333 dan bukan sepertiga.

Apa bedanya dengan kalkulator bentuk titik-kemiringan?

Masukannya berbeda. Halaman ini menerima dua titik, dan itulah yang biasanya Anda punya; halaman bentuk titik-kemiringan menerima satu titik dan kemiringan yang sudah Anda ketahui, lalu mencetak persamaannya dalam bentuk yang menampilkan titik itu. Keduanya menggambarkan garis yang sama, jadi kedua halaman itu bisa dipakai berurutan: ambil kemiringan yang dilaporkan halaman ini beserta titik pertama Anda, dan halaman bentuk titik-kemiringan akan menulis garis yang sama dari sisi sebaliknya.

Mengapa persamaannya kadang menampilkan pecahan dan kadang desimal?

Desimal yang berhenti dalam beberapa angka dicetak sebagai pecahan ketika penyebutnya kecil — 0,5 keluar sebagai (1/2) dan 0,25 sebagai (1/4) — karena begitulah kemiringan biasanya ditulis dengan tangan. Yang lebih panjang tetap berupa desimal yang dibulatkan ke enam angka, sehingga sepertiga muncul sebagai 0,333333. Bilangannya sama saja, dan baris kemiringan di atas persamaannya selalu sepakat dengannya.

Bagaimana cara memeriksa jawabannya dengan tangan?

Masukkan salah satu nilai x Anda ke persamaan yang tercetak dan lihat apakah Anda memperoleh nilai y titik itu. Untuk (1, 2) dan (3, 10) persamaannya adalah y = 4x - 2, dan pada x = 1 hasilnya 2 sedangkan pada x = 3 hasilnya 10 — kedua titiknya duduk pada garis itu. Kalau salah satunya gagal, kemiringan dan titik potong yang tercetak di atas persamaannya adalah dua bilangan yang perlu dibandingkan dengan hitungan Anda sendiri.

• Slope — rise over run, and the sign conventions this page's first output follows — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object all of this is about, and the several forms its equation can take — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear equation — y = mx + b as the two-variable equation it is, with a slope and an intercept — Wolfram MathWorld (United States)