Kalkulator Interpolasi Linear

y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) y = (1 − t)·y₁ + t·y₂

x₁, y₁

Titik pertama yang diketahui. Titik ini yang menambatkan garisnya: pada x sama dengan x₁ rumusnya mengembalikan y₁ dengan tepat, karena seluruh suku jaraknya menyusut jadi nol. Menyetel x₁ sama dengan 0 diperbolehkan dan lazim, karena titiknya lalu jatuh di sumbu y

x₂, y₂

Titik kedua yang diketahui. Dua titik itu bersama-sama memastikan garisnya, dan hanya itu yang dibutuhkan sebuah garis lurus. Nilai x keduanya harus berbeda: dua titik dengan x yang sama menggambarkan garis tegak, tempat satu x berpasangan dengan semua nilai y sekaligus, sehingga tidak ada satu jawaban tunggal

x

Posisi yang nilainya Anda cari. Posisi ini tidak harus berada di antara kedua titik — di luar rentang itu ungkapan yang sama terus berjalan dan hasilnya menjadi ekstrapolasi, dan itulah sebabnya posisinya dilaporkan, bukan dibatasi

t

Pecahan posisi: seberapa jauh titik itu di sepanjang garis, dihitung dari titik pertama. Nilainya 0 di titik pertama, 0,5 di tengah, dan 1 di titik kedua, dan angka itulah bobot pencampuran kedua nilai y — bagian garisnya, dalam arti perbandingan pembagian yang dibuat titik itu

Pakai cara ini ketika dua pengukuran sudah diketahui dan Anda ingin nilai di antaranya: bacaan di antara dua baris tabel, nilai pada tanggal di antara dua pengamatan, atau pasangan besaran apa pun yang dianggap bergerak bersama secara garis lurus. Bila kedua titik itu ada untuk mengukur kecuraman, yang dicari adalah kemiringan garis; bila nilai yang diminta tepat di tengah-tengah, yang dipakai adalah titik tengah.

1. Tepat di tengah antara (1, 2) dan (3, 8)

   1. Perubahan y adalah 8 − 2 = 6, dan perubahan x adalah 3 − 1 = 2
   2. Garisnya naik 3 pada y untuk setiap 1 pada x, jadi kemiringannya 3
   3. x = 2 berada 1 satuan dari selang 2 satuan, jadi pecahan posisinya 1 ÷ 2 = 0,5
   4. Campurkan kedua nilai dengan proporsi itu: (1 − 0,5) × 2 + 0,5 × 8 = 1 + 4 = 5
   5. Nilai hasil interpolasinya adalah y = 5

   Kasus bawaan halaman ini, dan yang layak dibaca dua kali: pada pecahan setengah, jawabannya adalah rata-rata biasa dari kedua nilai y, yaitu 2 dan 8. Itu kebetulan karena jatuh tepat di tengah, bukan aturan — pada seperempat jarak jawabannya 3,5, bukan 5.

2. Garis yang menurun

   1. Perubahan y adalah −20 − 0 = −20, dan perubahan x adalah 10 − 0 = 10
   2. Kemiringannya −20 ÷ 10 = −2, jadi garisnya turun dua satuan untuk setiap satu satuan ke kanan
   3. x = 4 berada 4 satuan dari selang 10 satuan, jadi pecahan posisinya 0,4
   4. Campurkan: 0,6 × 0 + 0,4 × (−20) = −8
   5. Nilai hasil interpolasinya adalah y = −8

   Kedua ujung contoh ini bertanda, dan itulah yang membuatnya layak diperiksa dengan tangan: lebar selangnya 10, bukan −10, dan jawabannya jatuh di antara kedua nilai yang diketahui, bukan di luarnya. Membaca selangnya terbalik akan membalik kemiringan dan pecahan posisinya sekaligus sementara nilai y tetap benar, dan itulah alasan posisinya dicetak di samping jawabannya.

3. Meminta nilai di luar titik terakhir

   1. Garis yang sama dengan contoh pertama: naik 3 untuk setiap 1 ke kanan
   2. x = 4 berada 3 satuan dari selang 2 satuan, jadi pecahan posisinya 3 ÷ 2 = 1,5
   3. Pecahannya di atas 1, dan begitulah jawabannya memberi tahu bahwa titiknya berada di luar nilai kedua yang diketahui
   4. Campurkan: (1 − 1,5) × 2 + 1,5 × 8 = −1 + 12 = 11
   5. Nilainya adalah y = 11

   Inilah ekstrapolasi, dan alasan posisinya dicetak sebagai bilangan biasa alih-alih dipangkas ke dalam selang. Pecahan 1,5 berarti titiknya berada setengah segmen di luar ujung terjauh; hitungannya sama persis dengan interpolasi, yang berubah hanya tafsirannya.

Kedua titik yang diketahui harus punya nilai x yang berbeda. Dua titik yang bertumpuk pada x yang sama menggambarkan garis tegak, tempat satu nilai x berpasangan dengan tak hingga banyak nilai y, sehingga tidak ada jawaban interpolasi tunggal — masukan seperti itu ditolak alih-alih mengembalikan nilai tak hingga. Kelima bilangan dibatasi pada besaran satu juta, karena kemiringan dan pecahan posisinya sama-sama hasil bagi yang dibulatkan panel ke enam angka desimal dan pemeriksaan bolak-baliknya berhenti masuk akal di luar itu. Nilai di luar selang diterima dan dilaporkan, bukan ditolak: posisinya kembali di atas 1 atau di bawah 0, dan itulah cara halaman ini mengatakan bahwa ia baru saja mengekstrapolasi. Yang tidak bisa dikatakan halaman ini adalah apakah ekstrapolasinya masuk akal — garis lurus melalui dua titik tidak mengatakan apa pun tentang apa yang terjadi di luar keduanya, dan tidak ada angka keyakinan yang dicetak, karena dua titik tidak cukup untuk menopang satu angka semacam itu.

Apa itu interpolasi linear?

Menarik garis lurus melalui dua titik yang diketahui lalu membaca nilainya pada posisi di antara keduanya. Kata linear menyebut anggapannya secara terbuka: besarannya dianggap berubah dengan laju yang tetap sepanjang selang, sehingga jawabannya adalah campuran berbobot dari kedua nilai yang diketahui, bukan sebuah pengukuran.

Apa yang diberitahukan pecahan posisi?

Pecahan posisi menunjukkan seberapa jauh titik itu di sepanjang garis, dihitung dari titik pertama yang diketahui. Nilainya 0 di titik pertama, 0,5 di tengah, dan 1 di titik kedua. Nilai yang dicari bisa ditulis sebagai campuran kedua nilai y dengan proporsi itu, jadi pecahan posisinya adalah seluruh hal yang ditambahkan interpolasi pada kedua titik tersebut.

Bisakah saya menginterpolasi di luar kedua titik?

Bisa, dan halaman ini melakukannya — tetapi operasinya lalu disebut ekstrapolasi, dan posisinya kembali di atas 1 atau di bawah 0 sebagai penanda. Garis lurus melalui dua titik adalah dugaan tentang selang di antara keduanya; diperpanjang melewati salah satu ujungnya, ia menjadi dugaan yang jauh lebih kuat tentang hal yang tidak pernah tercakup datanya.

Mengapa dua titik yang tegak ditolak?

Karena tidak ada satu jawaban yang bisa diberikan. Dua titik dengan x yang sama berada satu di atas yang lain, dan garis yang melewatinya memasangkan semua nilai y sekaligus ke satu x itu. Halaman ini menolak masukan semacam itu secara terang-terangan alih-alih mengembalikan nilai tak hingga, yang akan terlihat seperti jawaban.

Apakah urutan kedua titik berpengaruh?

Tidak untuk nilai yang dibaca dari garisnya, tetapi berpengaruh pada kemiringan dan posisinya. Menukar kedua titik akan membalik tanda kemiringan sekaligus tanda pecahan posisinya, sementara nilai y hasil interpolasinya tetap di tempatnya, karena garis yang sama sedang dijelaskan dari arah yang berlawanan.

Mengapa tidak ada angka keyakinan yang dicetak?

Karena dua titik tidak cukup untuk menopang angka semacam itu. Kecocokan yang diukur pada dua titik akan sempurna secara bawaan, jadi angka kualitas kecocokan apa pun akan selalu keluar pada nilai terbaiknya, apa pun isi datanya. Yang dicetak halaman ini adalah kemiringannya dan posisinya, yaitu fakta tentang garisnya, bukan klaim tentang datanya.

• Cartesian Coordinates — the two-axis frame the known points and the wanted position are both written in — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — the constant ratio the interpolated values step by, and the quantity that has no meaning when the two x values match — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object two distinct points determine, and the assumption that makes reading a value between them meaningful — Wolfram MathWorld (United States)