Kalkulator Laju Perubahan Rata-rata

laju perubahan rata-rata = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

x₁

Masukan di titik ujung pertama selang — nilai yang lebih awal dari apa pun yang dimasukkan fungsi, waktu pada kasus kelajuan, posisi pada kasus geometris. Tidak ada yang membatasinya, dan ia tidak harus lebih kecil dari x₂: kedua ujungnya boleh diberikan dalam urutan mana pun

x₂

Masukan di titik ujung kedua. Ia tidak boleh sama dengan x₁. Kalau sama, penyebut rasionya nol, dan tidak ada yang bisa dirata-ratakan: fungsinya diminta berubah tanpa perubahan pada masukannya, dan itu segmen tegak, bukan sebuah laju

y₁, y₂

Keluaran fungsi pada kedua masukan itu. Entah fungsinya berupa rumus, tabel bacaan, atau kurva di layar, halaman ini hanya membutuhkan kedua nilainya — dan urutannya berpengaruh pada kedua kolom perubahan meskipun pengaruh itu saling menghapus di dalam rasionya

Δy ÷ Δx

Laju rata-ratanya sendiri: seluruh perubahan keluaran dibagi panjang selang tempat perubahan itu terjadi. Dalam notasi delta, huruf Yunani itu berarti selisih, jadi Δy adalah perubahan y dan Δx adalah perubahan x. Membaca ungkapan itu sebagai bahasa per satuan adalah intinya — jawabannya adalah seberapa jauh y bergerak untuk setiap satu satuan x

(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Besaran yang sama, ditulis lengkap. Nilainya identik dengan kemiringan garis sekan yang menghubungkan kedua titik, dan itulah sebabnya kedua kalkulator itu memberi jawaban sama atas pertanyaan berbeda: halaman kemiringan menanyakan seberapa miring sebuah garis, sedangkan halaman ini menanyakan seberapa cepat sebuah fungsi bergerak pada suatu selang. Hanya kerangka kedua yang bertahan sampai ke kalkulus, tempat selangnya diambil makin sempit

1. Laju perubahan rata-rata x² pada selang 1 sampai 3

   1. Panjang selangnya dua satuan: Δx = 3 − 1 = 2
   2. Keluarannya berubah delapan: Δy = 9 − 1 = 8
   3. Bagi: 8 ÷ 2 = 4
   4. Jadi fungsinya bertambah rata-rata 4 satuan keluaran untuk setiap satuan masukan

   Untuk fungsi kuadrat, jawabannya mengikuti aturan yang layak diketahui: pada selang dari a sampai b laju rata-ratanya selalu a + b, di sini 1 + 3 = 4. Aturan itu berlaku karena b² dikurangi a² dapat difaktorkan menjadi (b − a)(b + a), lalu b − a itu saling menghapus dengan penyebutnya. Itulah juga sebabnya tabel rujukan di bawah dibangun dari satu fungsi ini.

2. Kelajuan rata-rata selama tiga detik

   1. Masukannya waktu dalam detik, dari 0 sampai 3
   2. Keluarannya posisi, yang bergerak dari 10 ke 70
   3. Posisinya berubah 60 selama 3 detik: 60 ÷ 3 = 20
   4. Kelajuan rata-ratanya 20 satuan jarak per detik

   Bacaan yang membuat besaran ini konkret: dengan posisi di sumbu tegak dan waktu di sumbu datar, laju perubahan rata-rata adalah kelajuan rata-rata. Kata rata-rata di sini benar-benar berarti — kelajuan sebenarnya bisa berubah-ubah sepanjang selang, dan rasio ini tidak mengatakan apa pun tentang bagian tengah selang, hanya tentang kedua ujungnya.

3. Menukar kedua titik ujung

   1. Dua titik yang sama seperti contoh pertama, hanya urutannya dibalik
   2. Δx = 1 − 3 = −2 dan Δy = 1 − 9 = −8
   3. Rasionya −8 ÷ −2 = 4, sama dengan sebelumnya
   4. Kedua kolom perubahan berbalik tanda sementara lajunya tidak

   Pembaca yang melihat Δx negatif di sebelah laju positif tidak sedang menemukan kesalahan. Rasionya tidak berubah ketika pembilang dan penyebut sama-sama berganti tanda, jadi laju rata-ratanya tidak bergantung pada ujung mana yang disebut lebih dulu; kedua kolom perubahan bergantung, karena keduanya menggambarkan arah perjalanan antara kedua titik. Hasil utamanya menjawab seberapa cepat, dan kolom perubahannya menjawab dari mana ke mana.

Kedua masukannya harus berbeda. Ketika x₂ sama dengan x₁, rasionya berpenyebut nol, dan halaman ini menolaknya alih-alih mengembalikan tak hingga: segmen tegak tidak punya laju perubahan per satuan x, karena x sama sekali tidak berubah. Kedua ujungnya boleh diberikan dalam urutan mana pun, dan laju rata-ratanya sama pada kedua urutan itu, tetapi kedua kolom perubahannya bertanda dan bertukar ketika urutannya bertukar. Halaman ini melaporkan laju pada suatu selang dan tidak pernah laju pada satu titik — laju sesaat adalah limit yang tidak diambil halaman ini, dan untuk itu perlu diketahui fungsinya, bukan dua nilainya. Setiap koordinat dibatasi pada besaran satu triliun, di luar itu pengurangannya kehilangan presisi dan enam angka desimal yang ditampilkan akan menyesatkan. Hasilnya dibulatkan ke enam angka desimal sementara aritmetika di belakangnya berjalan pada presisi penuh. Halaman ini tidak mencetak sudut: sudut adalah sifat sebuah garis lurus, sedangkan sebuah fungsi pada suatu selang tidak memilikinya — dan itulah salah satu cara halaman ini berbeda dari kalkulator kemiringan yang tertaut di sini.

Apa itu laju perubahan rata-rata?

Laju perubahan rata-rata adalah seluruh perubahan keluaran sebuah fungsi pada suatu selang, dibagi panjang selang itu. Kalau posisi bergerak dari 10 ke 70 selama tiga detik, laju rata-ratanya 60 ÷ 3, yaitu 20 satuan per detik. Kata rata-rata di sini benar-benar berperan: besaran ini merangkum seluruh selang dengan satu bilangan dan tidak mengatakan apa pun tentang perilaku fungsi di dalamnya.

Apa bedanya dengan kemiringan?

Hitungannya identik — keduanya membagi perubahan besaran tegak dengan perubahan besaran datar — tetapi pertanyaannya berbeda. Kemiringan menggambarkan seberapa miring sebuah garis, yaitu sifat garisnya sendiri. Laju perubahan rata-rata menggambarkan seberapa cepat sebuah fungsi bergerak di antara dua titik, dan besaran itulah yang tetap bermakna ketika selangnya dipersempit menuju nol. Hanya satu dari kedua gagasan itu yang bertahan sampai ke kalkulus.

Mengapa jawabannya sama ketika kedua titiknya saya tukar?

Karena rasionya tidak berubah ketika pembilang dan penyebut sama-sama berganti tanda, dan menukar kedua ujung membalik keduanya sekaligus. Kedua kolom perubahan memang berbalik, karena keduanya mencatat arah perjalanan dari titik pertama ke titik kedua. Jadi lajunya menjawab seberapa cepat, dan kolom perubahannya menjawab dari mana ke mana — keduanya benar pada saat yang sama.

Bisakah laju perubahan rata-rata bernilai negatif?

Bisa, dan artinya keluarannya turun sementara masukannya naik pada selang itu. Pada selang dari −3 sampai −1, fungsi kuadrat turun dari 9 ke 1, jadi laju rata-ratanya −4. Nilai negatif bukan tanda ada sesuatu yang dimasukkan terbalik; itu arah perubahannya, dan itulah sebabnya kedua kolom perubahan dicetak di samping rasionya.

Apa yang terjadi kalau kedua masukannya sama?

Halaman ini menolak perhitungannya. Dengan x₂ sama dengan x₁ penyebutnya nol, jadi tidak ada selang untuk dirata-ratakan — fungsinya akan diminta berubah tanpa perubahan pada masukannya. Itu segmen tegak, dan segmen tegak tidak punya laju per satuan x. Halaman ini melaporkan penolakan itu alih-alih mengembalikan tak hingga, yang bukan sebuah laju.

Apakah laju rata-rata sama dengan laju sesaat?

Hanya kalau fungsinya garis lurus, yang lajunya konstan di mana-mana sehingga keduanya berimpit. Selain itu, laju rata-rata menggambarkan selangnya secara keseluruhan dan laju sesaat menggambarkan satu nilai masukan saja. Mempersempit selang terus-menerus itulah yang mengubah laju rata-rata menjadi laju sesaat, dan limit itu adalah turunan — langkah yang tidak diambil halaman ini, karena ia bekerja dari dua nilai, bukan dari rumus fungsinya.

• Average Rate of Change — the definition over an interval, the secant line reading, and the passage to the instantaneous rate — Wolfram MathWorld (United States)
• Secant Line — the line through the two endpoints, whose slope is the number this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Derivative — the limit of the average rate of change as the interval shrinks, which is where this quantity is heading — Wolfram MathWorld (United States)