Kalkulator Barisan

aritmetika — a(n) = a(1) + (n - 1) * d S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 geometri — a(n) = a(1) * r^(n - 1) S(n) = a(1) * (r^n - 1) / (r - 1) kecuali pada r = 1, yang memberi S(n) = n * a(1)

n

Suku ke berapa yang Anda tanyakan, dihitung dari 1. Angka itu sekaligus menjadi banyaknya suku di dalam jumlah, dan itulah sebabnya satu kotak menjawab kedua pertanyaan. Suku kesepuluh ditulis a(10) dan jumlah sepuluh suku pertama ditulis S(10).

a(1)

Suku pertama, satu-satunya tempat barisan ini bermula. Segala hal lain diturunkan darinya, jadi suku pertama yang negatif membalik tanda setiap suku bernomor genap pada barisan geometri, sementara pada barisan aritmetika ia hanya membuat barisannya mulai lebih jauh di bawah.

d

Beda tetap, dipakai barisan aritmetika: besarnya tambahan pada setiap langkah. Nilainya boleh negatif, dan barisannya lalu menurun, atau nol, dan setiap sukunya sama dengan suku pertama — keadaan terakhir itulah sebabnya rumus yang tercetak menyusut menjadi sesuatu seperti a(n) = 6.

r

Rasio tetap, dipakai barisan geometri: bilangan yang mengalikan setiap suku. Rasio antara 0 dan 1 membuat sukunya menyusut menuju nol, rasio negatif membuat tandanya berganti-ganti, dan rasio tepat 1 membuat setiap suku sama dengan suku pertama.

S(n)

Jumlah n suku pertama — barisan ini dan tidak lebih. Untuk barisan aritmetika nilainya adalah rata-rata suku pertama dan suku terakhir dikali n, yaitu trik memasangkan yang konon dipakai Gauss pada 1 + 2 + … + 100. Ia tidak pernah menjadi deret tak hingga: naikkan n dan totalnya terus bertambah.

Pakai halaman ini setiap kali suatu besaran tumbuh atau menyusut menurut aturan tetap dan Anda memerlukan nilai yang jauh di dalam daftarnya — saldo setelah tiga puluh tahun setoran tahunan yang sama, ketinggian setelah pantulan kedua puluh, jarak total yang ditempuh ketika setiap langkah merupakan pecahan tetap dari langkah sebelumnya. Dua kotak yang menentukan segalanya adalah langkahnya dan tandanya, jadi kebiasaan yang berguna adalah menghitung sendiri tiga suku pertama lebih dulu lalu memeriksa bahwa ketiganya cocok dengan tabel rujukan di bawah.

1. 3, 7, 11, … — suku kesepuluh dan jumlah sepuluh suku pertama

   1. Langkahnya 4, jadi sukunya adalah 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
   2. Suku kesepuluh adalah 3 + 9 × 4 = 39
   3. Pasangkan sukunya dari luar ke dalam: 3 + 39 = 42, 7 + 35 = 42, 11 + 31 = 42, dan seterusnya
   4. Ada lima pasangan semacam itu, semuanya bernilai 42
   5. 5 × 42 = 210

   Pemasangan itulah keseluruhan rumus jumlahnya: dengan n suku, rata-rata suku pertama dan suku terakhir adalah (3 + 39) / 2 = 21, dan 21 × 10 memberi 210 yang sama. Rumus yang tercetak di samping jawabannya adalah aturannya, bukan barisan tertentu ini — a(n) = 3 + 4(n - 1) membangun kembali setiap suku hanya dari n, sehingga n = 1 mengembalikan 3 dan n = 10 memberi 39 tanpa perlu mendaftar apa pun.

2. 8, 4, 2, 1, 0,5 — barisan geometri yang menyusut

   1. Rasionya 0,5, jadi setiap suku adalah separuh suku sebelumnya: 8, 4, 2, 1, 0,5
   2. Suku kelima adalah 8 × 0,5⁴ = 8 × 0,0625 = 0,5
   3. Jumlahkan semuanya: 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 = 15,5

   Jumlah barisan geometri yang menyusut mendekati 16 tetapi tidak pernah melewatinya — 8 / (1 − 0,5). Halaman ini memberi total lima suku yang Anda minta, yaitu 15,5, dan bukan limit itu; selisih itulah alasan mengapa banyaknya suku menjadi salah satu masukan.

3. 1 + 2 + … + 1.000, tempat rumus mengalahkan penjumlahan

   1. Langkahnya 1, jadi suku keseribu adalah 1 + 999 = 1.000
   2. Pasangkan suku pertama dengan suku terakhir: 1 + 1.000 = 1.001
   3. Ada 500 pasangan semacam itu, karena 1.000 suku membentuk 500 pasangan
   4. 500 × 1.001 = 500.500

   Tidak ada yang perlu dituliskan sukunya satu per satu di sini, dan itulah gunanya rumus jumlah — tiga kotak yang sama akan menjawabnya juga untuk satu juta suku seandainya n bisa setinggi itu. Inilah perhitungan yang konon diberikan sebagai hukuman sekolah kepada Gauss, dan pemasangan di atas adalah yang konon ia kerjakan sebagai gantinya.

Hanya dua jenis barisan: aritmetika, yang langkahnya ditambahkan, dan geometri, yang langkahnya dikalikan. Selain itu — bilangan kuadrat, kubik, Fibonacci, barisan yang didefinisikan oleh dua suku sebelumnya sendiri — tidak punya aturan yang bisa dimasukkan di sini dan memerlukan perkakasnya sendiri. Banyaknya suku harus bilangan bulat dari 1 sampai 1.000; jumlah yang pecahan atau negatif ditolak alih-alih dibulatkan, karena 2,5 suku bukan besaran yang punya jawaban. Totalnya adalah jumlah n suku pertama saja, bukan jumlah deret tak hingga, sehingga dengan rasio di bawah 1 total berjalan terus merayap menuju limitnya tanpa mencapainya. Jawaban dibulatkan ke enam angka desimal, dan barisan geometri bisa melampaui daya tampung aritmetika jauh sebelum n mencapai batasnya — 10 pangkat 300 masih muat, beberapa ratus suku lagi tidak, dan keadaan itu dilaporkan sebagai perhitungan yang gagal alih-alih sebagai tak hingga. Halaman ini menjawab dua dari empat pertanyaan yang muncul pada sebuah barisan: berapa suku ke-n dan berapa jumlah n suku pertama. Ia tidak mengerjakan arah sebaliknya — diberi dua suku, memulihkan aturannya; diberi jumlah, memulihkan n — dan ia tidak mencetak satuan, karena barisan adalah daftar bilangan.

Apa bedanya suku ke-n dengan jumlahnya?

Suku ke-n adalah satu bilangan — bilangan yang duduk di posisi n, yang untuk 3, 7, 11, … pada n = 10 adalah 39. Jumlahnya adalah semua suku sampai suku itu ditambahkan bersama, yang untuk barisan yang sama bernilai 210. Keduanya dicetak sebagai dua baris terpisah karena menjawab dua pertanyaan berbeda, dan karena jumlah itulah yang biasanya dicari orang: sebuah saldo, jarak total, atau cacah kumulatif.

Dari mana asal rumus jumlahnya?

Dari memasangkan sukunya dari luar ke dalam. Pada 3, 7, 11, … suku pertama dan suku terakhir dari sepuluh suku pertama berjumlah 42, dan setiap pasangan semacam itu juga, jadi sepuluh suku membentuk lima pasangan bernilai 42 — 210. Ditulis secara umum, itu n kali rata-rata suku pertama dan suku terakhir, n * (a(1) + a(n)) / 2. Jumlah barisan geometri punya penurunan dan bentuk yang berbeda, dan itulah sebabnya keduanya dicetak terpisah.

Bisakah langkahnya negatif, atau nol, atau pecahan?

Ketiganya bisa. Beda tetap yang negatif memberi barisan yang menurun, misalnya 100, 93, 86, … dan rasio tetap yang negatif memberi barisan yang berganti tanda, misalnya 1, -1, 1, -1. Rasio 0,5 memberi barisan menyusut pada contoh kedua. Dua keadaan yang perlu ditinjau sekali lagi adalah beda nol dan rasio satu, yang membuat setiap suku sama dengan suku pertama dan rumus yang tercetak memendek dengan benar menjadi sesuatu seperti a(n) = 6.

Apakah jumlahnya total dari seluruh barisan tak hingga?

Bukan — itu jumlah n suku pertama, dengan n adalah banyaknya suku yang Anda masukkan. Perbedaan itu hanya muncul pada barisan geometri yang menyusut, tempat total berjalan mendekati sebuah limit (16 untuk 8, 4, 2, 1, 0,5, …) tanpa pernah mencapainya. Sesekali orang memang menginginkan limit itu, yaitu jumlah deret geometri tak hingga, dan itu perhitungan lain dengan rumus yang lain.

Berapa suku yang boleh saya minta?

Sembarang bilangan bulat dari 1 sampai 1.000. Batas atasnya bukan angka sembarangan: barisan geometri dengan rasio 10 mencapai 10 pangkat 300 pada n = 300, dan beberapa ratus suku lagi akan melewati bilangan terbesar yang bisa ditampung aritmetika. Keadaan itu dilaporkan sebagai perhitungan yang gagal alih-alih sebagai tak hingga, jadi Anda mendapat pesan dan bukan jawaban yang diam-diam salah.

Mengapa rumus yang tercetak menulis a(n) dan bukan a dengan indeks di bawah?

Karena a(n) bisa dibaca di setiap bahasa dan setiap huruf, sedangkan karakter indeks bawah tidak — ia tampil sebagai kotak kosong di sebagian sistem. Sisa notasinya yang biasa: ^ untuk pangkat, * untuk perkalian, dan tanda kurung di sekeliling rasio negatif, sehingga barisan yang berganti tanda terbaca a(n) = (-1)^(n - 1) dan bukan sesuatu yang tampak seperti -1 pangkat n - 1 dengan minusnya di luar.

• Arithmetic progression — the rule, the nth-term formula and the sum used on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometric progression — the same three questions when the step is a multiplier rather than an addend — Wolfram MathWorld (United States)
• OEIS A000217, the triangular numbers — 1, 3, 6, 10, … the running totals of 1 + 2 + … + n, which is the third example on this page — OEIS Foundation (United States)