Kalkulator Faktorial

n! = 1 × 2 × … × n digit = ⌊log₁₀(n!)⌋ + 1 angka nol di belakang = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …

n

Bilangan yang dicari faktorialnya: bilangan bulat dari 0 sampai 170. Ia sekaligus banyaknya faktor, sebab hasil kalinya berjalan dari 1 sampai n. Batas atasnya bukan pilihan tampilan — faktorial 171 melebihi nilai terbesar yang bisa diwakili bilangan presisi ganda, jadi apa pun di atas 170 tidak punya jawaban untuk diberikan

n!

Faktorialnya sendiri, hasil kali setiap bilangan bulat dari 1 sampai n. Ia melampaui kurva eksponensial: faktorial 5 adalah 120 sedangkan faktorial 10 sudah 3.628.800. Begitu nilainya melewati satu juta, jawaban yang tercetak berubah menjadi notasi ilmiah, dan itu menjaga besarannya tetap terbaca tanpa harus mencetak seratus digit

digit

Berapa digit desimal yang dimiliki faktorial itu. Ia dihitung dengan menjumlahkan logaritma dan bukan dengan menghitung karakter bilangan yang tercetak, sehingga ia tetap benar bahkan di ujung atas rentangnya, tempat faktorial yang tercetak hanya membawa tujuh angka berarti

angka nol di belakang

Berapa banyak angka nol yang berdiri di ujung faktorial itu. Setiap angka nol di belakang memerlukan satu faktor 10, dan satu faktor 10 memerlukan satu angka 2 dan satu angka 5; angka 2 muncul jauh lebih sering daripada angka 5 di dalam sebuah faktorial, jadi jumlahnya ditentukan sepenuhnya oleh angka 5 — setiap kelipatan 5, 25, 125, dan seterusnya menyumbang satu lagi

Pakai halaman ini ketika nilainya sendiri yang menjadi jawaban: banyaknya cara menyusun sebuah himpunan utuh, satu suku di dalam deret, atau besar sebuah hasil kali. Untuk memilih r benda dari n, halaman kombinasi dan permutasi membagi satu faktorial dengan faktorial lain alih-alih mengalikannya.

1. Faktorial dari 5

   1. Kalikan naik: 1 × 2 = 2
   2. 2 × 3 = 6
   3. 6 × 4 = 24
   4. 24 × 5 = 120
   5. 120 punya tiga karakter dan berakhir dengan satu angka nol, jadi kedua bacaannya 3 dan 1

   Kasus terkecil yang ketiga bacaannya bisa diperiksa dengan mata. Hasil kalinya cukup pendek untuk dibaca penuh, dan jumlah digitnya maupun angka nol di belakangnya sama-sama terlihat dengan memandangnya — dan itulah sebabnya halaman ini dibuka dengan nilai tersebut.

2. Titik ketika bacaannya berubah menjadi notasi ilmiah

   1. Kalikan dari 1 sampai 20, dan hasilnya tepat 2.432.902.008.176.640.000
   2. Itu sembilan belas digit, jadi bacaan digitnya 19
   3. Empat di antaranya adalah angka nol di ujungnya, dan itu disumbang oleh angka 5 pada 5, 10, 15, dan 20
   4. Panelnya mencetak hasil kalinya sebagai 2,432902 × 10¹⁸ alih-alih sebagai bilangan sembilan belas digit yang penuh

   Titik ketika nilai yang tercetak berhenti menjadi nilai yang eksak. Digit yang ditampilkan adalah tujuh angka berarti terdepan dari bilangan yang sama yang digambarkan kedua bacaan itu, sehingga ketiga keluarannya sepakat meskipun hanya satu di antaranya yang cukup pendek untuk dicetak. Di bawah 21 hasil kali yang tercetak eksak.

3. Berapa angka nol di ujung faktorial 100

   1. Hitung kelipatan 5 sampai 100: ada 20
   2. Tambahkan kelipatan 25, yang membawa angka 5 kedua: ada 4
   3. Tambahkan kelipatan 125 — tidak ada, sebab 125 sudah melewati 100
   4. 20 + 4 = 24 angka nol di belakang
   5. Faktorialnya sendiri panjangnya 158 digit, tercetak sebagai 9,332622 × 10¹⁵⁷

   Jumlah angka nolnya adalah keterangan yang bisa dibaca di sini, dan ia dikerjakan dari angka 5 saja alih-alih dari bilangannya. Faktorial 100 punya 158 digit, jadi ujungnya tidak mungkin diperiksa dengan mata meskipun semuanya dicetak.

Hanya bilangan bulat dari 0 sampai 170 yang diterima. Masukan negatif ditolak karena faktorial tidak terdefinisi di sana — fungsi Gamma, yang memperluas faktorial ke bilangan lain, punya kutub di setiap bilangan bulat negatif. Pecahan ditolak dengan alasan yang sama. Di atas 170 hasil kalinya meluap dari bilangan presisi ganda dan akan kembali sebagai nilai tak hingga, jadi masukannya ditolak dengan menyebut batasnya alih-alih dihitung. Di atas 21 faktorial yang tercetak adalah pendekatan notasi ilmiah dan bukan bilangan bulat yang eksak; jumlah digit dan jumlah angka nol di belakangnya tetap eksak bagaimanapun, dan keduanya bersama-sama menggambarkan ukuran sebuah bilangan yang tidak semua digitnya ditampilkan. Halaman ini tidak menghitung koefisien binomial atau permutasi secara langsung — ia memberi faktorial yang menjadi bahan bangunan halaman-halaman itu.

Apa itu faktorial?

Hasil kali setiap bilangan bulat dari 1 sampai bilangan yang Anda berikan. Faktorial dari 5 adalah 1 × 2 × 3 × 4 × 5, yaitu 120. Ia menghitung banyaknya cara sebuah himpunan berisi sekian benda berbeda bisa disusun, dan itulah sebabnya ia muncul di peluang dan di soal mencacah alih-alih di pengukuran.

Mengapa faktorial 0 sama dengan 1?

Karena ia hasil kali yang kosong — tidak ada apa pun untuk dikalikan, dan nilai yang tidak mengubah hasil kali adalah 1. Kesepakatan itu bukan sembarang: itulah yang membuat tafsiran mencacahnya bekerja (menyusun himpunan kosong hanya bisa dilakukan dengan satu cara) dan yang menjaga rumus rekursifnya, n! = n × (n−1)!, tetap benar pada n sama dengan 1.

Mengapa kalkulatornya berhenti di 170?

Karena faktorial 171 lebih besar daripada bilangan terbesar yang bisa diwakili bilangan berpresisi ganda, sehingga perhitungannya mengembalikan nilai tak hingga. Batas itu bukan pilihan tampilan: setiap masukan di atas 170 tidak punya jawaban yang bisa diwakili. Faktorial 170 sendiri sekitar 7,26 × 10³⁰⁶, bilangan sepanjang 307 digit.

Bagaimana angka nol di belakangnya dihitung?

Dengan menghitung banyaknya faktor 5 di dalam faktorial itu. Satu angka nol di belakang memerlukan satu angka 10, dan satu angka 10 memerlukan satu angka 2 dan satu angka 5; angka 2 berlimpah, jadi angka 5 yang menentukan. Setiap kelipatan 5 menyumbang satu, setiap kelipatan 25 menyumbang satu lagi, setiap kelipatan 125 menyumbang yang ketiga, dan seterusnya. Untuk faktorial 100 hasilnya 20 + 4 = 24 angka nol.

Mengapa faktorialnya dicetak dalam notasi ilmiah?

Karena di atas 21 nilainya punya lebih banyak digit daripada yang berguna ditampilkan di panel hasil — faktorial 100 punya 158 digit. Notasi ilmiah menjaga besarannya tetap terbaca. Bilangan bulatnya yang eksak tetap menjadi apa yang digambarkan kedua bacaan lainnya: jumlah digitnya memberi tahu seberapa panjang ia, dan angka nol di belakangnya memberi tahu bagaimana ia berakhir.

Berapa digit yang dimiliki faktorial yang besar?

Bacaan digitnya menjawab itu dengan tepat, pada setiap masukan yang diterima halaman ini. Ia berasal dari penjumlahan logaritma dan bukan dari mengukur panjang deretan karakter yang tercetak, sehingga ketelitiannya tidak berkurang ketika nilai yang tercetak hanyalah pendekatan. Jumlah digitnya selalu paling sedikit satu lebih banyak daripada jumlah angka nol di belakangnya.

• Factorial — the definition, the empty product convention that makes 0! equal 1, and the rate at which the value grows — Wolfram MathWorld (United States)
• A000142 — the factorial numbers 1, 1, 2, 6, 24, 120 … as a catalogued sequence, with exact values far beyond the range a double can hold — OEIS Foundation (United States)
• Combination — the binomial coefficient, written as one factorial divided by two others, which is where factorials are most often needed — Wolfram MathWorld (United States)