Kalkulator Permutasi

P(n, r) = n! / (n − r)! = nPr C(n, r) = n! / (r! (n − r)!) P(n, r) = C(n, r) · r!

n

Ukuran kumpulan yang Anda ambil — banyaknya item berbeda yang tersedia, sampai 1.000. Batas atasnya adalah batas aritmetika dan bukan batas gagasannya: pencacahannya tumbuh mengikuti n, dan melewati suatu titik nilai eksaknya tidak lagi muat pada rentang bilangan bulat yang bisa dinyatakan halaman ini dengan tepat

r

Berapa banyak item yang Anda ambil. Nilainya tidak boleh melebihi n selama pengulangan dilarang, karena Anda tidak bisa mengambil lebih banyak item berbeda daripada yang ada; begitu pengulangan diizinkan, r boleh lebih besar dan hanya dibatasi oleh seberapa besar pangkat yang masih bisa dihitung halaman ini dengan tepat

n!

Faktorial dari n: n dikalikan setiap bilangan bulat di bawahnya sampai 1. Nilai itu adalah pencacahan untuk mengambil semuanya secara berurutan, dan suku itulah yang dihapus oleh pembagian dengan (n − r)!

P(n, r)

Banyaknya susunan: n pilihan untuk posisi pertama, n − 1 untuk posisi kedua, dan seterusnya sebanyak r posisi. Hasil kali n × (n − 1) × … × (n − r + 1) itulah yang ditulis rumusnya sebagai n! / (n − r)!

C(n, r)

Pencacahan dengan urutan diabaikan, yang dilaporkan sebagai baris kedua. Nilainya membagi pencacahan susunannya dengan r!, yaitu banyaknya cara satu himpunan terpilih bisa diurutkan — dan itulah seluruh perbedaan antara kedua barisnya

izinkan pengulangan

Yang menentukan halaman ini berada pada setelan yang mana. Bila pengulangan diizinkan, pencacahannya menjadi n pangkat r, karena setiap satu dari r pengambilan punya seluruh kumpulan untuk dipilih lagi; baris yang mengabaikan urutan beralih ke pencacahan multiset

Pakai ketika posisinya bisa dibedakan: tempat juara pada lomba lari, urutan tiga kartu pertama yang dibagikan, sandi, pelat nomor, atau bagan tempat duduk — setiap daftar yang menukar dua isinya menghasilkan hasil berbeda. Pakai baris kombinasinya — atau halaman kembarannya — ketika hasilnya berupa himpunan, karena di situ dua susunan atas r item yang sama adalah jawaban yang sama dan membaginya dengan r! justru koreksi yang tepat. Nyalakan pengulangan ketika sebuah item bisa diambil lagi setelah terambil: PIN empat angka punya 10⁴ kemungkinan karena setiap angkanya ditarik dari kesepuluh angka, sedangkan penarikan undian berisi bola berbeda tidak demikian. Dan bacalah baris keduanya meski Anda datang untuk yang pertama: kedua pencacahan itu bersamaan adalah pernyataan paling jelas tentang mengapa urutan sama sekali berarti, karena keduanya hanya berbeda satu faktor.

1. Sepuluh item, tiga posisi, urutan dihitung

   1. Sepuluh pilihan untuk posisi pertama, sembilan tersisa untuk posisi kedua, delapan untuk posisi ketiga
   2. Kalikan: 10 × 9 × 8 = 720 susunan
   3. Mengabaikan urutannya berarti membagi dengan 3! = 6, sehingga menjadi 120 himpunan
   4. 720 / 120 = 6, yang tepat sama dengan 3!

   Kedua barisnya adalah seluruh inti halaman ini dalam satu baris: sepuluh item dan tiga posisi yang sama memberi 720 bila urutannya dihitung dan 120 bila tidak, dan rasio di antara keduanya adalah 3! — banyaknya cara menyusun ulang tiga item terpilih. Setiap kali permutasi dan kombinasi terlihat tidak konsisten, membagi yang satu dengan yang lain adalah pemeriksaannya: bila rasionya bukan faktorial, ada yang salah pada susunannya dan bukan pada aritmetikanya.

2. Podium juara dari delapan pelari

   1. Delapan kemungkinan juara, tujuh kemungkinan juara kedua, enam kemungkinan juara ketiga
   2. 8 × 7 × 6 = 336 cara mengisi podiumnya
   3. Dengan urutan diabaikan, tiga orang yang sama tetap membentuk satu himpunan bagaimanapun susunannya: 336 / 6 = 56
   4. Membalik perkaliannya — 8!/(8−3)! = 40.320/120 — menghasilkan 336 yang sama

   Inilah bentuk sehari-hari dari pembedaan itu: hasil lomba lari adalah permutasi karena medali perak bukan medali emas, sedangkan kelompok yang lolos adalah kombinasi karena tiga orang yang maju tetap tiga orang yang sama siapa pun yang berlari paling cepat. Perhatikan bahwa pasangan angka yang sama akan muncul di halaman kombinasi dengan kedua barisnya bertukar tempat — itu pasangan yang bekerja sebagaimana mestinya, bukan pengulangan.

3. Membagikan lima kartu secara berurutan

   1. Lima puluh dua pilihan untuk kartu pertama, lima puluh satu untuk kedua, dan seterusnya sampai empat puluh delapan untuk kelima
   2. 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200 pembagian berurutan
   3. Tangan berisi lima kartu mengabaikan urutannya, jadi bagi dengan 5! = 120
   4. 311.875.200 / 120 = 2.598.960 — angka yang akrab untuk tangan poker lima kartu

   Angka 2.598.960 adalah angka yang dikutip pada setiap peluang poker, dan itu membuat contoh ini menjadi contoh ketika pembaca bisa memeriksa halaman ini terhadap sesuatu yang pernah dilihatnya di tempat lain. Ini juga kasus paling jelas ketika faktor pengurutannya sangat besar: membagikan lima kartu yang sama dalam urutan berbeda adalah pembagian berurutan yang berbeda tetapi tangan yang sama, dan faktor antara kedua pencacahannya 120 dan bukan 6. Kedua pencacahannya eksak di sini, tanpa pembulatan.

4. Kode tiga angka yang angkanya boleh berulang

   1. Dengan pengulangan diizinkan, masing-masing dari ketiga posisinya dipilih dari kesepuluh angka secara bebas
   2. 10 × 10 × 10 = 1.000 kode
   3. Baris yang mengabaikan urutan bukan lagi 1.000 / 6, karena susunan dari kode seperti 777 tidak semuanya berbeda
   4. Baris itu menjadi pencacahan multiset: C(10 + 3 − 1, 3) = C(12, 3) = 220

   Angka yang menarik di sini adalah baris keduanya. Pada item yang berbeda, pencacahan tanpa urutan hanyalah pencacahan susunannya dibagi r!, tetapi begitu pengulangan diizinkan pembagian itu mengoreksi terlalu banyak — 777 hanya punya satu susunan berbeda, bukan enam — sehingga halaman ini beralih ke rumus yang lain alih-alih membagi. Angka 220 adalah pencacahan multiset tiga angka dari sepuluh angka, dan itulah sebabnya sakelar pengulangan mengubah kedua barisnya dan bukan hanya yang pertama.

Dua batas ditegakkan alih-alih dijelaskan pergi, dan keduanya layak diketahui sebelum angkanya mengejutkan Anda. Selama pengulangan dilarang, r tidak boleh melebihi n: mengambil empat item dari kumpulan berisi tiga item berbeda bukan hasil yang tidak mungkin melainkan permintaan yang mustahil, dan halaman ini mengatakannya alih-alih mengembalikan nol. Ukuran kumpulannya dibatasi 1.000. Batas kedua itulah yang sebenarnya menggigit dalam praktik: pencacahan susunannya berupa hasil kali yang tumbuh sangat cepat, dan halaman ini melaporkan bilangan bulat eksak alih-alih hampiran dalam notasi ilmiah. Melewati titik ketika nilai sebenarnya berhenti bisa dinyatakan dengan tepat, halaman ini menolak menjawab alih-alih mencetak bilangan bulat yang digit-digit terakhirnya salah — angka salah yang terlihat masuk akal jauh lebih buruk di sini daripada penolakan yang jelas, karena angka yang salah itu akan disalin ke apa pun yang bergantung padanya. Ada juga batas aritmetika yang lebih kecil pada cabang pengulangan, tempat pencacahannya berupa pangkat dan eksponen yang sangat besar meluap dengan cara yang sama. Dua hal lain soal maknanya. Tidak ada satu pun baris di sini yang berupa peluang — keduanya pencacahan atas susunan yang sama mungkinnya, dan mengubah pencacahan menjadi peluang berarti membaginya dengan seluruh banyaknya kemungkinan, yang bergantung pada prosesnya dan bukan pada pasangan angka di halaman ini. Dan halaman ini tidak memuat tabel rujukan faktorial, koefisien binomial, atau segitiga Pascal, karena alasan yang diberikan pertanyaan kelima di bawah.

Apa bedanya permutasi dan kombinasi?

Permutasi mencacah susunan dan kombinasi mencacah himpunan: tukar dua item yang terpilih dan permutasi menghasilkan hasil berbeda sedangkan kombinasi tidak. Halaman ini melaporkan keduanya supaya hubungannya terlihat dan bukan sekadar dinyatakan — pencacahan susunannya selalu yang lebih besar dari keduanya, dan membaginya dengan faktorial dari r memberi baris yang satunya. Dalam praktik, pertanyaan yang perlu diajukan adalah apakah posisinya membawa makna. Bila tempat ketiga berbeda dari tempat kedua, seperti pada hasil lomba lari atau kartu yang dibagikan berurutan, Anda membutuhkan pencacahan susunannya; bila ketiga item yang terpilih itu bisa saling ditukar, Anda membutuhkan pencacahan himpunannya.

Mengapa kedua barisnya berbeda tepat sebesar r faktorial?

Karena setiap himpunan berisi r item terpilih bisa disejajarkan dalam r! urutan berbeda, dan pencacahan susunan memperlakukan setiap urutan itu sebagai hasil yang terpisah. Untuk r = 3, tiga item mana pun bisa diurutkan dalam enam cara, sehingga satu himpunan bersesuaian dengan enam susunan dan pencacahan susunannya enam kali pencacahan himpunannya. Ini juga cara tercepat untuk memeriksa sebuah perhitungan: bagilah kedua barisnya dan hasilnya harus berupa faktorial. Bila bukan, ketidakcocokannya ada pada susunannya dan bukan pada aritmetikanya — paling sering pada ukuran kumpulan atau setelan pengulangan yang tidak cocok dengan situasi yang sedang digambarkan.

Kapan mengambil item yang sama dua kali dihitung sebagai berbeda?

Tepat ketika situasinya memang mengizinkannya terambil dua kali — itulah yang dikendalikan setelan pengulangan, dan setelan itu mengubah kedua barisnya dan bukan hanya yang pertama. PIN empat angka menarik setiap angkanya kembali dari kesepuluh angka, jadi kode yang memuat angka berulang adalah hasil yang biasa dan pencacahannya 10⁴; sedangkan penarikan undian mengeluarkan bola dari drumnya, sehingga tidak ada angka yang bisa muncul dua kali dan pencacahannya berupa hasil kali menurun. Bila pengulangan diizinkan, pencacahan himpunannya bukan lagi pencacahan susunannya dibagi r!, karena pengambilan seperti 777 hanya punya satu susunan berbeda dan bukan enam, dan untuk baris itu halaman ini memakai pencacahan multiset.

Mengapa halaman ini menolak mengambil lebih banyak item daripada isi kumpulannya?

Selama pengulangan dilarang, r yang lebih besar daripada n menggambarkan prosedur yang tidak bisa dijalankan: item berbeda yang keempat tidak ada ketika yang tersedia hanya tiga. Halaman ini melaporkan masalahnya alih-alih mengembalikan nol, karena nol adalah pencacahan yang sah pada situasi lain dan akan dibaca sebagai jawaban. Nyalakan pengulangannya dan permintaan yang sama menjadi sepenuhnya biasa — tiga item yang diambil lima kali dengan pengulangan diizinkan menghasilkan 3⁵ = 243 susunan — dan itulah sebabnya batasnya melekat pada gabungan kedua setelan itu dan bukan pada r sendirian.

Mengapa tidak ada segitiga Pascal atau tabel faktorial di sepasang halaman ini?

Karena tabel di sini tidak bisa melihat kedua angka yang Anda masukkan, sedangkan tabel yang diinginkan orang — faktorial, koefisien binomial, baris-baris segitiga Pascal — adalah daftar untuk nilai-nilai kecil yang tetap. Menaruh satu di halaman ini akan menjawab pertanyaan yang berbeda dari panel di atasnya, kadang terlihat berbeda pendapat dengan baris yang sedang Anda lihat, dan itu lebih buruk daripada tidak ada tabel sama sekali. Panelnya itulah tabelnya: ubah n, r, atau setelan pengulangannya dan kedua barisnya menghitung ulang. Sepasang halaman ini sampai pada putusan yang sama dengan alat pencacahan lainnya alih-alih satu halaman menawarkan tabel dan yang lain tidak, karena keduanya adalah dua arah dari pertanyaan yang sama.

Mengapa jawabannya berhenti bekerja untuk kumpulan yang besar?

Karena pencacahan susunannya berupa hasil kali deretan panjang bilangan bulat, dan hasil itu melewati bilangan bulat terbesar yang bisa dinyatakan halaman ini dengan tepat jauh lebih cepat daripada dugaan orang — faktorial dari 19 saja sudah melewatinya, padahal delapan belas digitnya tidak terlihat mengkhawatirkan. Melewati titik itu halaman ini menolak menjawab alih-alih mencetak angka yang beberapa digit terakhirnya salah, dan digit-digit itulah seluruh nilai sebuah pencacahan eksak: bilangan bulat yang salah terlihat sepenuhnya biasa dan akan disalin ke perhitungan apa pun yang bergantung padanya. Batas kumpulan 1.000 adalah penjaga yang terpisah dan lebih longgar untuk kekhawatiran yang sama — batas itu menghentikan masukannya pada ukuran yang aritmetikanya masih layak dicoba.

• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency reading of probability, which is how a count of equally likely arrangements becomes a chance) — National Institute of Standards and Technology (NIST)