Kalkulator Nilai Harapan

E[X] = Σ pᵢ xᵢ Var(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E[X])² σ = √Var(X)

xᵢ

Satu hasil — nilai hasil ke-i pada daftarnya. Nilainya boleh negatif dan boleh berupa desimal; daftarnya adalah deretan angka yang dipisahkan titik koma, koma, atau spasi, sampai 200 angka

pᵢ

Peluang hasil tersebut, dimasukkan sebagai persentase dari 0 sampai 100. Kedua daftar dibaca berdampingan, jadi peluang ketiga menjadi milik hasil ketiga, dan panjang keduanya harus sama

E[X]

Nilai harapan: setiap hasil dikalikan peluangnya sendiri lalu hasil kalinya dijumlahkan. Inilah rata-rata berbobot yang dilaporkan panel lebih dulu, dan satu-satunya angka di halaman ini yang menjadi acuan angka lainnya

Var(X)

Varian: untuk setiap hasil, jarak kuadratnya dari nilai harapan, ditimbang oleh peluang hasil tersebut. Pengkuadratan itulah sebabnya satu hasil yang jauh dapat mendominasi nilainya

σ

Simpangan baku, yaitu akar kuadrat variannya. Satuannya kembali sama dengan satuan hasil-hasilnya, dan itulah yang membuatnya menjadi angka yang dibaca ketika Anda ingin tahu selebar apa sebarannya

Σ

Jumlahkan atas setiap hasil pada daftarnya. Tidak ada yang ditimbang dua kali dan tidak ada yang terlewat: peluang yang berjumlah 100% itulah yang membuat seluruh daftarnya menjadi gambaran lengkap dari kemungkinan yang ada

Pakai ketika hasil-hasilnya cukup sedikit untuk didaftar dan masing-masing punya peluang yang bisa Anda sebutkan: permainan dengan tabel hadiah, garansi yang berbiaya tetap dan membayar pada sebagian unit yang diketahui, atau keputusan dengan tiga skenario. Pakai rata-rata aritmetika biasa ketika angkanya berupa pengamatan dan bukan kemungkinan — daftar pengukuran membutuhkan rata-rata biasa, bukan nilai harapan, dan membaginya dengan banyaknya data mengasumsikan setiap nilai sama mungkinnya; asumsi itulah yang justru digantikan halaman ini dengan peluang yang eksplisit. Pakai sebaran tertentu begitu hasilnya mengikuti pola yang bisa Anda gambarkan dengan rumus: jumlah keberhasilan dari sekian percobaan tetap punya rata-ratanya sendiri, dan pencacahan Poisson punya rata-rata yang sama dengan variannya, sehingga Anda tidak perlu mengetikkan setiap pencacahan beserta peluangnya. Jangka panjang adalah kerangka yang membuat semua angka ini masuk akal: nilai harapan adalah ke mana rata-ratanya menuju setelah banyak pengulangan, bukan ramalan untuk pengulangan berikutnya.

1. Lima hasil dengan peluang yang tidak rata

   1. Kalikan setiap hasil dengan peluangnya sebagai pecahan: 5 × 0,10 = 0,5; 10 × 0,20 = 2; 20 × 0,30 = 6; 40 × 0,25 = 10; 100 × 0,15 = 15
   2. Jumlahkan kelima hasil kalinya: 0,5 + 2 + 6 + 10 + 15 = 33,5 — itulah nilai harapannya
   3. Untuk variannya, kurangkan 33,5 dari setiap hasil, kuadratkan, lalu timbang: 0,10 × 812,25 + 0,20 × 552,25 + 0,30 × 182,25 + 0,25 × 42,25 + 0,15 × 4.422,25 = 920,25
   4. Akar kuadrat dari 920,25 adalah 30,3356, yaitu simpangan bakunya

   Peluangnya dimasukkan sebagai persentase, dan itulah satu hal yang paling mudah salah di halaman ini: membaca angka 10 sebagai pecahan alih-alih sebagai sepuluh persen memberi 3,35 dan bukan 33,5, dan tidak ada apa pun pada jawaban yang salah itu yang terlihat keliru. Sebarannya juga layak dilihat kedua kali — simpangan baku 30,34 terhadap nilai harapan 33,5 berarti hasil 100, sesukar apa pun ia muncul pada peluang 15%, melakukan sebagian besar pekerjaannya, dan varian 920,25 mengatakan hal yang sama dalam satuan kuadrat.

2. Dadu seimbang, yang jawabannya tidak bisa dilempar

   1. Enam hasil, masing-masing berpeluang 16,67% — yang terakhir memikul 16,65% supaya keenamnya berjumlah tepat 100
   2. Setiap hasil kalinya adalah 1 × 0,1667 sampai 6 × 0,1667, dan semuanya berjumlah 3,4995
   3. Variannya adalah rata-rata jarak kuadrat dari 3,4995, yang menghasilkan 2,916
   4. Akar kuadrat dari 2,916 adalah 1,7076

   Inilah contoh yang perlu diingat ketika nilai harapan terlihat mustahil: angka 3,5 adalah jawaban yang benar untuk dadu bersisi enam dan tidak ada mata dadu yang menampilkannya. Nilai harapan adalah sifat seluruh sebarannya, bukan ramalan untuk satu lemparan. Contoh ini juga kasus paling bersih ketika simpangan baku membuktikan gunanya — angka 1,7076 bersatuan mata dadu, sama dengan satuan hasilnya, sehingga kalimat lemparannya rata-rata mendarat sekitar 1,7 jauhnya dari 3,5 adalah kalimat yang bisa Anda tindak lanjuti, sedangkan varian 2,916 bersatuan mata dadu kuadrat.

3. Santunan asuransi, dan nilai harapan yang negatif

   1. Ada dua hasil saja: tidak terjadi apa-apa, atau terjadi dan menelan biaya sebesar angka kerugian pada daftarnya
   2. Timbang keduanya oleh peluangnya: 0 × 0,97 + nilai kerugian × 0,03 = −150
   3. Variannya 0,97 × (0 + 150)² + 0,03 × (nilai kerugian + 150)² = 727.500
   4. Akar kuadratnya 852,9361

   Nilai harapan yang negatif bukan galat dan bukan alasan menghindari perhitungannya — nilai itu jawaban atas pertanyaan yang nyata, dan pertanyaan yang paling sering dibawa orang ke halaman ini: bila kejadian ini berpeluang 3% menelan biaya sebesar angka pada daftar hasilnya, maka rata-rata setiap periode menelan 150, dan premi di atas 150 adalah harga karena tidak memikul risikonya sendiri. Perhatikan betapa sedikit yang diberitahu simpangan baku 852,94 kalau berdiri sendiri: nilainya dikuasai cabang 3% yang sama, jadi ia terutama mengulang bahwa kerugiannya besar dan jarang, bukan bahwa hasilnya tersebar dengan cara yang menarik.

4. Mengapa rata-rata berbobot bukan rata-rata biasa

   1. Keempat hasilnya berjumlah 160, sehingga rata-rata biasanya 40
   2. Ditimbang: 10 × 0,40 + 20 × 0,30 + 30 × 0,20 + 100 × 0,10 = 4 + 6 + 6 + 10 = 26
   3. Variannya 0,40 × 256 + 0,30 × 36 + 0,20 × 16 + 0,10 × 5.476 = 664
   4. Akar kuadratnya 25,7682

   Kedua angka itu berbeda lebih dari sepertiga, dan sebabnya sepenuhnya ada pada peluangnya: hasil besar 100 hanya memikul 10% bobotnya, sedangkan hasil kecil 10 dan 20 memikul 70% bersama-sama. Setiap kali seseorang mengutip sebuah rata-rata tanpa menyebut apakah itu rata-rata berbobot, jarak inilah yang bersembunyi di balik kata tersebut. Contoh ini juga menunjukkan mengapa peluang nol adalah masukan yang bermakna dan bukan masukan kosong: hasil itu tetap menempati tempatnya di daftar dan tidak menyumbang apa-apa, dan itulah bedanya antara mustahil dan tidak ditanyakan.

Ada tiga hal pada halaman ini yang mudah disalahpahami, dan ketiganya soal masukannya, bukan soal aritmetikanya. Peluangnya harus berjumlah 100%, dan halaman ini menolak memperbaikinya untuk Anda: diam-diam mengubah pembagian 40 dan 50 menjadi 44,4 dan 55,6 akan menghasilkan bilangan yang terlihat sepenuhnya biasa padahal menjawab pertanyaan yang tidak Anda ajukan. Toleransinya setengah dari desimal terakhir per entri, dan itulah sebabnya tiga bagian yang sama rata yang ditulis 33,33 diterima pada 99,99 sedangkan pasangan 40 dan 50 tidak. Kedua daftarnya harus sama panjang, karena entrinya dibaca berdampingan — peluang yang hilang bukan berarti nol, melainkan berarti daftarnya bergeser, dan halaman ini mengatakannya alih-alih diam-diam memasangkan angka yang salah. Di luar masukan, penafsirannya juga punya batas. Nilai harapan menggambarkan pengulangan jangka panjang, jadi ia tidak mengatakan apa pun yang berguna tentang satu kejadian tunggal, dan nilainya bisa dikuasai oleh hasil ekstrem yang jarang dengan cara yang tidak terlihat dari satu angka itu — bacalah simpangan baku atau variannya di sebelahnya untuk itu. Nilai harapan juga mengasumsikan peluang yang Anda masukkan memang peluang yang sebenarnya: semua di sini adalah aritmetika atas angka yang Anda berikan, dan nilai harapan yang presisi yang dibangun di atas peluang yang diduga adalah jawaban presisi untuk pertanyaan yang lain. Terakhir, halaman ini tidak memuat tabel nilai harapan yang umum, karena tabel semacam itu tidak bisa melihat hasil dan peluang yang Anda masukkan, dan tabel yang berbeda dengan panel di atasnya lebih buruk daripada tidak ada tabel sama sekali.

Apa sebenarnya yang diberitahu nilai harapan?

Nilai harapan memberi tahu rata-rata hasil yang akan Anda lihat bila situasi yang sama diulang banyak kali lalu hasilnya dirata-ratakan, dengan setiap hasil ditimbang oleh seberapa sering ia muncul. Untuk permainan dengan tabel hadiah, angka itu adalah harga impasnya: nilai harapan −150 per putaran berarti harga yang wajar untuk bermain adalah 150, dan harga di bawah itu menguntungkan Anda. Yang tidak diberitahunya adalah apa yang terjadi berikutnya. Satu putaran menghasilkan satu hasil dari daftarnya, tidak pernah nilai rata-ratanya sendiri, jadi nilai harapan yang positif sama sekali tidak bertentangan dengan kalah pada setiap putaran dalam segelintir putaran.

Bisakah nilai harapan berupa angka yang tidak mungkin muncul?

Bisa, dan biasanya begitu. Masing-masing dari keenam mata dadu seimbang berpeluang 16,67% dan nilai harapannya 3,5, yaitu mata yang tidak dimiliki dadunya. Sebabnya, nilai harapan adalah rata-rata berbobot dari seluruh daftarnya dan bukan salah satu anggotanya: nilai itu titik setimbang sebarannya, dan titik setimbang bisa berada di ruang kosong di antara bebannya. Hal yang sama terjadi pada undian, yang nilai harapannya berupa angka negatif kecil yang tidak bisa dihasilkan tiket mana pun.

Mengapa peluangnya harus berjumlah 100%?

Karena dua daftar yang menggambarkan himpunan kemungkinan yang sama harus mencakup semuanya. Bila peluang Anda berjumlah 90%, maka ada hasil yang hilang dari daftarnya atau ada peluang yang salah, dan halaman ini tidak punya cara untuk tahu yang mana — jadi halaman ini melaporkan jumlahnya alih-alih menduga-duga. Halaman ini sengaja tidak mengubah angka Anda supaya berjumlah 100%: membagi 40 dan 50 dengan jumlahnya akan mengubahnya menjadi 44,4 dan 55,6 lalu menghasilkan jawaban atas pertanyaan yang tidak Anda ajukan, tanpa apa pun pada panel yang menunjukkan bahwa itu terjadi. Toleransinya setengah dari desimal terakhir per entri, jadi tiga bagian yang sama rata yang diketik 33,33 berjumlah 99,99 dan diterima.

Apa bedanya dengan rata-rata aritmetika biasa?

Rata-rata aritmetika membagi dengan banyaknya nilai, dan itu sama dengan mengasumsikan setiap nilai sama mungkinnya. Nilai harapan menggantikan asumsi itu dengan peluang yang Anda pilih, sehingga nilai yang berpeluang 10% menarik hasilnya sepuluh kali lebih sedikit daripada nilai yang berpeluang 100%. Keduanya memberi angka yang sama hanya bila semua peluangnya sama — empat hasil yang masing-masing berpeluang 25% memberi angka yang sama pada kedua cara. Ketika keduanya berbeda, perbedaannya sepenuhnya ada pada bobotnya, dan itulah sebabnya rata-rata yang dikutip tanpa menyebut apakah ia berbobot layak dipertanyakan.

Apa arti nilai harapan yang negatif?

Artinya hasil-hasil di sisi yang merugikan cukup besar atau cukup mungkin sehingga melampaui sisanya, jadi mengulang keputusan itu rata-rata berakhir rugi. Itu tidak sama dengan mengatakan Anda pasti rugi: peluang 3% menelan biaya besar melawan peluang 97% tidak terjadi apa-apa memberi nilai harapan −150, dan sebagian besar periode tidak menelan biaya apa pun. Yang dikatakan angka negatif itu adalah berapa biaya risikonya secara rata-rata, dan itulah angka yang dibandingkan dengan premi, harga, atau penawaran asuransi. Inilah bidang yang paling sering membuat perhitungan ini berguna, dan jawaban negatif di situ adalah hasil, bukan kegagalan.

Mengapa tidak ada tabel nilai harapan di halaman ini?

Karena jawabannya sepenuhnya bergantung pada dua daftar yang Anda ketik, sedangkan tabel rujukan tidak bisa melihatnya. Tabel yang diinginkan orang adalah daftar pendek kasus yang akrab — dadu, tiket undian, taruhan roulette — tetapi setiap kasus itu punya hasil dan peluangnya sendiri, sehingga baris yang tercetak akan menjawab pertanyaan yang berbeda dari yang ada di panel, dan keduanya kadang akan berbeda di depan umum. Panelnya itulah tabelnya: ubah hasil dan peluangnya, dan tiga baris yang sama menghitung ulang. Halaman yang benar-benar diuntungkan oleh tabel tetap adalah halaman yang tabelnya tidak bergantung pada masukan, seperti skala penilaian atau sekumpulan ambang batas.

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 (the mean as the balance point of a list of values, and how a single extreme value moves it — the reason an expected value can sit far from every outcome on the list) — OpenStax, Rice University
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, which is the quantity this page weights by the probabilities instead of counting equally) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for an outcome to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)