Kalkulator Distribusi Poisson

P(X = k) = e^(−λ) · λ^k / k! dengan λ = laju kejadian × panjang interval, dan Var(X) = λ

λ

Banyaknya kejadian yang diharapkan dalam interval tersebut — lajunya dikalikan panjang jendelanya, dan itulah satu-satunya parameter sebarannya. Segala hal di halaman ini adalah fungsi dari nilai itu, dan itulah sebabnya laju dan intervalnya ditanyakan terpisah alih-alih sebagai satu angka

k

Banyaknya kejadian yang Anda tanyakan. Nilainya berupa pencacahan bulat dari 0 ke atas, dan 0 adalah jawaban yang sungguhan dan bukan jawaban kosong: tidak terjadi apa-apa adalah hasil yang paling mungkin setiap kali lambda di bawah sekitar 0,7

e^(−λ)

Bobot dari tidak terjadinya apa pun, sebelum pencacahannya diperhitungkan. Inilah sebabnya seluruh sebarannya menyusut ketika lambda tumbuh: makin besar kejadian yang diharapkan, makin kecil peluang melihat nol kejadian

λ^k / k!

Bagian yang tumbuh mengikuti k lalu menurun: pangkat ke-k dari rata-ratanya dibagi faktorial dari pencacahannya. Puncaknya berada di k = λ, dan di puncak itulah sebarannya menghabiskan sebagian besar massanya

rata-rata = varian = λ

Sifat yang membuat sebaran ini mudah dikenali. Rata-rata pencacahannya dan variannya adalah angka yang sama, sehingga simpangan bakunya adalah akar kuadrat dari rata-ratanya — √4 = 2 untuk rata-rata empat kejadian, √1.000 ≈ 31,6 untuk rata-rata seribu kejadian

Pakai ketika Anda mencacah berapa banyak kejadian yang datang per interval dan kedatangannya saling bebas: berapa panggilan dalam satu jam, berapa cacat pada satu meter persegi kain, berapa partikel dalam jendela pencacahan yang tetap. Dua syarat memikul sebagian besar bobotnya. Kejadiannya harus langka dibandingkan kesempatan terjadinya — laju yang begitu tinggi sampai pencacahannya praktis dibatasi hal lain berhenti bersifat Poisson — dan kejadiannya tidak boleh mengelompok, karena ledakan kedatangan dari satu sebab merusak kebebasan yang memberi bentuk pada sebarannya. Pakai distribusi binomial ketika banyaknya kesempatan tetap dan bisa dicacah, karena pencacahan Poisson tidak punya batas atas sedangkan pencacahan binomial tidak bisa melebihi banyaknya percobaannya; pakai hampiran normal begitu lambda besar, karena keduanya sangat cocok di sana dan pita simpangan bakunya yang akrab menjadi mudah dibaca. Rata-rata yang sama dengan varian juga merupakan diagnosis tercepat yang tersedia: bagilah varian sekumpulan pencacahan dengan rata-ratanya, dan bila rasionya jauh dari satu, prosesnya terlalu atau kurang menyebar dan model ini bukan bentuk yang tepat untuknya.

1. Empat kejadian per jam, menanyakan tiga

   1. Lajunya 4 per jam dengan panjang interval 1 jam, jadi lambda-nya 4
   2. P(X = 3) = e⁻⁴ × 4³ / 3! = 0,018316 × 64 / 6 = 0,1954, sehingga 19,54%
   3. Menjumlahkan pencacahan 0 sampai 3 memberi 43,35% untuk paling banyak; sisa massanya di atas 3 memberi 76,19% untuk paling sedikit
   4. Rata-ratanya lambda = 4 dan variannya juga, sehingga simpangan bakunya √4 = 2

   Kedua baris kumulatifnya bertumpang tindih di sini dan itu bukan kekeliruan: 43,35% ditambah 76,19% menghasilkan 119,54%, dan kelebihan di atas 100% itu tepat sebesar 19,54% dari tiga kejadian, yang berada di kedua baris. Ini peringatan yang sama seperti pada pencacahan binomial, dan inilah yang menangkap kekeliruan lazim menghitung paling sedikit sebagai satu dikurangi paling banyak, yang akan menghasilkan 56,65% di sini. Perhatikan juga bahwa tiga kejadian bukan hal istimewa ketika rata-ratanya empat: posisinya setengah simpangan baku di bawah rata-rata.

2. Pusat sebarannya

   1. Menanyakan empat kejadian alih-alih tiga: P(X = 4) = e⁻⁴ × 4⁴ / 4! = 0,018316 × 256 / 24 = 0,1954
   2. Peluang tepatnya sama, yaitu 19,54% seperti pada tiga kejadian, karena puncak sebarannya berada di k = 4 = lambda dan kedua pencacahan di kedua sisinya sama mungkinnya
   3. Paling banyak empat 62,88% dan paling sedikit empat 56,65%
   4. Rata-rata, varian, dan simpangan bakunya tidak berubah, karena ketiganya hanya bergantung pada lambda

   Dua pencacahan dengan peluang yang sama adalah tanda paling jelas bahwa sebarannya berpusat pada lambda: dengan rata-rata empat kejadian, melihat tiga dan melihat empat sama mungkinnya, dan setiap pencacahan lain lebih kecil peluangnya. Baris akumulasinya tetap tidak simetris di sini — 62,88% berbanding 56,65% — karena baris paling banyak memuat seluruh k = 4 sementara baris paling sedikit juga memuatnya, dan di bawah puncaknya sebarannya lebih tipis daripada di atasnya.

3. Laju yang sama sepanjang tiga jam

   1. Lajunya tetap 4 per jam, tetapi intervalnya kini 3 jam, jadi lambda = 4 × 3 = 12
   2. P(X = 3) = e⁻¹² × 12³ / 3! = 0,0000061 × 1.728 / 6 = 0,0018, sehingga 0,18%
   3. Paling banyak tiga 0,23% dan paling sedikit tiga 99,95%
   4. Rata-ratanya 12 dan variannya juga, sehingga simpangan bakunya √12 = 3,46

   Inilah contoh yang memisahkan kedua kolom masukannya: tidak ada yang berubah selain panjang jendelanya, dan jawabannya berpindah dari 19,54% ke 0,18%. Kedua kolom itu dibutuhkan karena parameternya adalah hasil kalinya, dan halaman yang hanya meminta lajunya akan memberi jawaban yang sama untuk satu jam dan untuk satu hari. Baris ringkasannya ikut berpindah — dengan dua belas kejadian yang diharapkan, angka tiga berada lebih dari dua simpangan baku di bawah rata-ratanya, dan itulah sebabnya baris paling sedikit kini nyaris pasti.

4. Satu kejadian per jam, dan tidak terjadi apa-apa

   1. Dengan lambda = 1, peluang tepat nol kejadian adalah e⁻¹ = 0,3679, sehingga 36,79%
   2. Menanyakan paling banyak nol berarti menanyakan hal yang sama, jadi baris itu mengulang angka yang sama
   3. Paling sedikit nol mencakup setiap pencacahan yang mungkin, jadi nilainya tepat 100% — bukan 99,99%
   4. Rata-rata dan variannya keduanya 1, dan simpangan bakunya 1

   Lambda satu adalah titik awal yang klasik dan menghasilkan angka paling berlawanan dengan intuisi di halaman ini: lebih dari sepertiga waktu, proses yang rata-ratanya satu kejadian per jam justru tidak menghasilkan kejadian sama sekali. Baris paling sedikitnya juga layak dibaca — nilainya tepat 100%, karena nol atau lebih adalah seluruh sebarannya, dan halaman yang menghitungnya dengan mengurangkan dari jumlah kumulatif bisa dengan mudah mengembalikan 99,99% sebagai gantinya. Nol kejadian juga merupakan jawaban yang sah untuk ditanyakan, dan itulah sebabnya kolom pencacahannya mulai dari nol dan bukan dari satu.

Model Poisson bertumpu pada dua asumsi yang gagal secara diam-diam, dan keduanya layak diperiksa sebelum angkanya dipercaya. Kejadiannya harus saling bebas, dan kedatangannya harus pada laju yang tidak bergeser di dalam interval yang Anda tetapkan. Kebebasan gagal setiap kali kedatangannya berbagi sebab — panggilan melonjak saat terjadi gangguan, cacat mengelompok pada satu gulungan kain, kecelakaan mengelompok saat cuaca buruk — dan gejalanya adalah pencacahan sebenarnya lebih menyebar daripada yang diramalkan halaman ini, dengan lebih banyak interval kosong dan lebih banyak interval sangat sibuk daripada yang diizinkan modelnya. Laju yang bergeser gagal ke arah sebaliknya: pusat panggilan dengan malam yang sepi dan pagi yang sibuk tidak punya satu laju per jam, dan merata-ratakan keduanya menghasilkan angka yang tidak menggambarkan keduanya. Di luar asumsi itu, ada dua batas yang ditegakkan alih-alih dijelaskan. Panjang interval dan lajunya masing-masing boleh dimasukkan sampai batas yang wajar, tetapi hasil kalinya dibatasi, karena rata-rata pencacahan dalam jutaan membuat setiap peluang pada panelnya membulat menjadi nol dan halaman ini lebih memilih menolak daripada mencetak tabel berisi nol. Pencacahannya sendiri harus berupa bilangan bulat. Halaman ini juga tidak memuat tabel rujukan peluang Poisson: tabel yang diinginkan orang berisi satu baris untuk setiap nilai rata-ratanya, sedangkan rata-rata di sini bergantung pada laju dan interval yang Anda masukkan, sehingga tabel tercetak akan menjawab pertanyaan yang berbeda dari panel di atasnya.

Apa bedanya distribusi Poisson dan distribusi binomial?

Binomial mencacah keberhasilan pada sejumlah percobaan yang tetap, sehingga pencacahannya tidak bisa melebihi jumlah itu; Poisson mencacah kejadian yang datang dengan sendirinya, sehingga tidak ada batas atas dan tidak ada jumlah percobaan yang perlu dimasukkan. Binomial membutuhkan dua masukan — berapa percobaannya dan peluang masing-masingnya — sedangkan halaman ini membutuhkan laju dan interval, yang keduanya bergabung menjadi satu angka kejadian yang diharapkan. Keduanya cocok pada kasus sempit ketika jumlah percobaannya besar dan peluang masing-masingnya kecil, dan itulah sebabnya kejadian langka di lapangan digambarkan dengan salah satu dari keduanya. Pakai binomial bila kesempatannya bisa Anda sebutkan, dan pakai Poisson bila kejadiannya sekadar datang.

Mengapa rata-ratanya sama dengan variannya di sini?

Karena kesamaan itu memang landasan modelnya dan bukan kebetulan contoh-contohnya: pada pencacahan Poisson rata-rata dan variannya adalah angka yang sama, yaitu lambda, sehingga simpangan bakunya selalu akar kuadrat dari rata-ratanya. Sifat itu memberi cara cepat untuk menguji apakah modelnya cocok: ambil sekumpulan pencacahan teramati, bagi variannya dengan rata-ratanya, dan bila rasionya jauh di atas satu berarti pencacahannya mengelompok dan bukan saling bebas, sedangkan rasio yang jauh di bawah satu berarti pencacahannya lebih rata daripada yang dihasilkan kebetulan. Kedua kasus itu tidak diperbaiki dengan memasukkan angka yang berbeda — artinya prosesnya memang bukan Poisson.

Mengapa paling banyak k dan paling sedikit k bukan komplemen?

Karena kedua barisnya sama-sama memuat pencacahan tepat k, sehingga menjumlahkannya menghitung hasil itu dua kali. Pada contoh di atas, paling banyak tiga adalah 43,35% dan paling sedikit tiga adalah 76,19%, yang berjumlah 119,54% — kelebihan di atas 100% itu tepat sebesar 19,54% dari tiga kejadian. Ini aritmetika yang sama seperti pada pencacahan binomial dan jebakan yang sama pula: membaca paling sedikit sebagai satu dikurangi paling banyak keliru sebesar peluang yang sedang Anda tanyakan. Bila Anda menginginkan komplemen yang sungguhan, pakailah angka paling banyak k − 1, atau bacalah ketiga barisnya bersama-sama dan periksa bahwa tepat k mengisi celah di antara keduanya.

Kapan sebuah pencacahan benar-benar berdistribusi Poisson?

Ketika kejadiannya saling bebas, lajunya tetap sepanjang intervalnya, dan kejadiannya langka dibandingkan kesempatan terjadinya. Kebebasan adalah asumsi yang memikul pekerjaannya dan yang paling sering gagal, karena pengelompokan mudah terlewat dari angka ringkasan: pabrik yang melaporkan total cacat bulanan yang sama setiap bulan bisa saja tetap punya hari-hari buruk dan hari-hari tenang, dan pengelompokan itu akan muncul sebagai pencacahan yang lebih beragam daripada ramalan halaman ini. Pemeriksaan praktisnya adalah yang disebut pada jawaban sebelumnya — bandingkan varian sekumpulan pencacahan dengan rata-ratanya. Bila keduanya dekat, modelnya gambaran yang baik; bila keduanya jauh, tidak ada pilihan laju yang bisa memperbaikinya.

Apa yang terjadi bila lajunya nol?

Tidak ada yang bisa terjadi dalam interval itu, sehingga pencacahan nol berpeluang 100% dan setiap pencacahan lain berpeluang 0%. Halaman ini melaporkan hal itu alih-alih gagal: laju nol, atau interval dengan panjang nol, keduanya memberi lambda nol tanpa kejadian yang diharapkan, dan menanyakan satu kejadian atau lebih mengembalikan 0% sedangkan menanyakan nol mengembalikan 100%. Layak diketahui bahwa hal ini ditangani secara eksplisit, karena rumusnya sebagaimana tertulis memuat faktor nol pangkat k dan nilai tak hingga negatif dari logaritmanya, dan implementasi yang mengevaluasinya secara naif menghasilkan angka yang tidak bermakna alih-alih jawaban yang sudah jelas.

Mengapa tidak ada tabel peluang Poisson di halaman ini?

Karena setiap baris tabel semacam itu menjadi milik nilai rata-rata yang berbeda, sedangkan rata-rata di sini adalah hasil kali kedua angka yang Anda masukkan. Tabel tercetak akan tepat untuk satu laju dan satu interval lalu salah untuk setiap kombinasi lainnya, sehingga ia menjawab pertanyaan yang berbeda dari panelnya — dan ketika keduanya berbeda, panelnya yang benar. Panelnya itulah tabelnya: ketiga baris peluang itu adalah angka tepat, paling banyak, dan paling sedikit untuk rata-rata yang Anda tetapkan, dan mengubah laju atau intervalnya akan menghitung ulang ketiganya. Tabel rujukan pantas ada di halaman yang barisnya tidak bergantung pada masukan apa pun, seperti skala penilaian atau sekumpulan pita ambang batas.

• 4.3 Binomial Distribution — Introductory Statistics 2e (the fixed number of independent trials with a constant success probability, which is precisely the constraint a Poisson count does not have) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the density, the role of the mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case a large-mean Poisson count approaches) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for a count to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)