Kalkulator Aturan Empiris

satu sigma: rata-rata ± 1σ · dua sigma: rata-rata ± 2σ · tiga sigma: rata-rata ± 3σ · porsi dalam kσ = 2Φ(k) − 1, dengan Φ adalah fungsi sebaran normal baku

rata-rata

Pusat sebarannya. Keenam ujung rentangnya simetris terhadap nilai ini, jadi menggesernya menggeser seluruh himpunan rentang tanpa mengubah ketiga porsinya

simpangan baku

Seberapa lebar sebarannya, dan sekaligus satuan yang dipakai aturan ini — satu sigma, dua sigma, tiga sigma. Nilainya harus positif: sebaran normal dengan simpangan baku nol adalah satu titik, dan aturan ini tidak punya apa pun untuk dikatakan tentangnya

kσ

Banyaknya simpangan baku — 1, 2, atau 3. Porsi di dalam sebuah rentang hanya bergantung pada k, dan itulah sebabnya ketiga persentasenya sama pada setiap hasil, berapa pun rata-rata dan simpangan bakunya

2Φ(k) − 1

Porsi tepat antara −kσ dan +kσ. Aturan empiris membulatkannya menjadi 68 / 95 / 99,7 untuk diingat; halaman ini mencetak nilai yang belum dibulatkan, yaitu nilai yang disingkat oleh angka bulat itu

Pakai untuk mengubah rata-rata dan simpangan baku menjadi rentang yang benar-benar bisa Anda tunjuk. Aturan empiris biasanya dijumpai sebagai kalimat tentang persentase, dan itu sulit diterapkan pada satu pengukuran tertentu; pernyataan yang sama dalam bentuk apa pun di atas 130 berada lebih dari dua simpangan baku di luar sudah jauh lebih mudah dipakai. Halaman ini juga menjadi pemeriksaan kewajaran yang cepat atas simpangan bakunya sendiri: bila satu simpangan baku di kedua sisi rata-rata mencakup rentang yang mustahil memuat 68% data — karena rentangnya melewati batas keras, atau karena datanya jelas tidak simetris — maka model normal adalah model yang salah untuk data itu, dan pemeriksaan ini tidak memakan biaya apa pun. Halaman ini mengasumsikan sebaran normal sepanjang perhitungannya; halaman ini tidak mencocokkan model ke data Anda, dan tidak memberi tahu Anda apakah asumsinya berlaku.

1. Rata-rata 100 dan simpangan baku 15

   1. Satu simpangan baku di kedua sisi 100 adalah 100 − 15 = 85 sampai 100 + 15 = 115
   2. Dua simpangan baku adalah 100 − 30 = 70 sampai 100 + 30 = 130
   3. Tiga simpangan baku adalah 100 − 45 = 55 sampai 100 + 45 = 145
   4. Ketiga porsinya sama sekali tidak memakai rata-rata maupun simpangan bakunya: 68,27% dalam 1σ, 95,45% dalam 2σ, dan 99,73% dalam 3σ

   Ketiga persentasenya identik pada setiap contoh di halaman ini, dan itu memang isi aturannya, bukan kebetulan contoh ini. Sebaran normal sepenuhnya tergambar oleh pusat dan lebarnya, sedangkan porsi sebaran di dalam k simpangan baku dari pusatnya hanya bergantung pada k — jadi rata-rata dan simpangan bakunya memindahkan ujung-ujung rentangnya dan tidak pernah menyentuh porsinya. Bila suatu saat hasilnya menunjukkan persentase yang ikut bergerak ketika rata-ratanya berubah, berarti persentasenya dihitung dari besaran yang salah, dan mencetaknya pada tiga baris yang sama itulah yang membuat kekeliruan itu terlihat.

2. Normal baku: rata-rata 0, simpangan baku 1

   1. Satu simpangan baku di kedua sisi 0 adalah −1 sampai 1
   2. Dua simpangan baku adalah −2 sampai 2, dan tiga simpangan baku adalah −3 sampai 3
   3. Ketiga porsinya tidak berubah, tetap 68,27%, 95,45%, dan 99,73%

   Dengan rata-rata nol dan simpangan baku satu, ujung-ujung rentangnya adalah bilangan sigmanya sendiri, dan itulah yang membuat versi ini layak dihafal: angka −1, −2, −3 beserta pasangan positifnya adalah skor z, dan setiap sebaran normal lain hanyalah versi ini yang diregangkan dan digeser. Contoh ini juga menunjukkan mengapa porsinya tidak mungkin bergantung pada masukannya — di sini ujung rentangnya secara harfiah adalah nilai k, dan persentase di sebelahnya sama persis dengan persentase pada rata-rata 100.

3. Simpangan baku yang kecil: rata-rata 500, simpangan baku 0,5

   1. Satu simpangan baku adalah setengah satuan, jadi rentang pertamanya 499,5 sampai 500,5
   2. Dua simpangan baku adalah 499 sampai 501, dan tiga simpangan baku adalah 498,5 sampai 501,5
   3. Ketiga porsinya tetap 68,27%, 95,45%, dan 99,73%

   Tidak ada bagian dari aturan ini yang bergantung pada simpangan bakunya berupa angka bulat atau angka besar, dan sebaran yang sempit justru kasus ketika rentangnya berhenti bisa dibaca sekilas. Toleransi pada komponen hasil pemesinan biasanya ditulis seperti ini — sebuah target dengan sebaran yang jauh lebih kecil daripada targetnya — dan keluaran yang berguna di situ adalah baris ujung rentangnya, bukan baris persentasenya. Contoh ini juga mengingatkan bahwa rentang 99,7% mencakup hampir semuanya hanya bila sebarannya benar-benar normal: tiga simpangan baku di sini adalah selang yang kecil secara mutlak, dan proses nyata yang ekornya lebih tebal akan menaruh jauh lebih dari 0,27% di luarnya.

4. Rata-rata negatif: −2,5 dengan simpangan baku 1,25

   1. Satu simpangan baku di kedua sisi −2,5 adalah −3,75 sampai −1,25
   2. Dua simpangan baku adalah −5 sampai 0 — ujung atasnya mendarat tepat di nol
   3. Tiga simpangan baku adalah −6,25 sampai 1,25, yang melewati nol
   4. Ketiga porsinya tidak berubah, tetap 68,27%, 95,45%, dan 99,73%

   Rata-rata di bawah nol itu biasa — anomali suhu, imbal hasil logaritmik, selisih antara dua pengukuran — dan inilah kasus ketika rentangnya melewati nol, sehingga implementasi yang salah tanda tetap bisa terlihat benar pada setiap contoh yang positif. Ujung atas dua sigma yang mendarat tepat di nol di sini adalah kebetulan semacam itu, yang membuat jawaban yang salah terlihat disengaja, dan itulah sebabnya kasus ini dipatok sebagai bahan uji alih-alih dibiarkan kebetulan. Simpangan bakunya tetap positif apa pun yang terjadi: nilainya adalah lebar, bukan koordinat, dan hanya rata-ratanya yang membawa tanda.

Aturan ini milik sebaran normal dan bukan milik yang lain. Aturan ini sering diulang seolah 68% adalah fakta tentang data secara umum, padahal itu sifat satu kurva tertentu — sebaran dengan bentuk berbeda punya porsi yang berbeda pada satu, dua, dan tiga simpangan baku, dan sebaran yang tidak simetris bisa punya porsi yang sangat berbeda di kedua sisi rata-ratanya. Jadi halaman ini mengasumsikan kenormalan alih-alih memeriksanya, dan hasil di sini hanya sebermakna asumsi tersebut. Ada tiga batas lain. Simpangan bakunya harus positif: pada nol, sebarannya runtuh menjadi satu titik dan pertanyaan tentang berapa porsi yang berada dalam jarak nol dari rata-rata tidak punya jawaban yang berguna, sehingga halaman ini menolak masukannya alih-alih memilih salah satu jawaban. Ketiga porsinya adalah nilai eksak dari fungsi sebaran normal, jadi keduanya akan berbeda pada desimal kedua dari angka 68, 95, dan 99,7 yang biasanya dipakai untuk mengutip aturan ini — halaman ini tidak membulatkannya supaya cocok dengan namanya, karena pembulatan itu adalah singkatannya sedangkan angka yang dicetak adalah yang disingkatnya. Dan halaman ini tidak mencocokkan sebaran ke data Anda atau menguji apakah ada yang cocok; halaman ini menerima rata-rata dan simpangan baku sebagai yang sudah diberikan lalu melaporkan akibatnya.

Mengapa halaman ini menulis 68,27% padahal aturannya menyebut 68%?

Karena angka 68 pada nama aturannya adalah angka yang sudah dibulatkan, dan 68,27% adalah nilai yang dibulatkan itu. Aturan empiris adalah cara mengingat tiga angka, dan kira-kira 68%, 95%, serta 99,7% adalah yang bisa dipegang kebanyakan orang di kepalanya; porsi tepat di dalam satu, dua, dan tiga simpangan baku dari rata-rata sebuah sebaran normal adalah 68,27%, 95,45%, dan 99,73%, dan itulah yang dihitung halaman ini alih-alih dikutip. Bila sebuah perhitungan akan dibangun di atas salah satu angka ini, angka yang belum dibulatkan itulah yang layak dipakai — angka bulat yang dipakai sebagai masukan menghasilkan jawaban yang meleset dengan cara yang tidak bisa ditelusuri kembali ke pembulatannya.

Apakah persentasenya berubah bila rata-rata atau simpangan bakunya saya ubah?

Tidak, dan itulah seluruh isi aturannya. Sebaran normal ditetapkan oleh dua angka, pusat dan lebarnya, sedangkan porsi sebaran yang jatuh dalam k simpangan baku dari pusatnya hanya bergantung pada k — satu, dua, atau tiga. Jadi mengubah rata-ratanya menggeser keenam ujung rentangnya di sepanjang garis bilangan, dan mengubah simpangan bakunya meregangkan atau memampatkannya, sementara ketiga porsinya tetap persis di tempatnya. Bila suatu saat hasilnya menunjukkan porsi yang ikut bergerak bersama masukannya, berarti porsinya dihitung dari ujung rentangnya dan bukan dari banyaknya simpangan baku, dan itu sebuah galat, bukan sifat datanya.

Apa sebenarnya yang diberitahu rentang ini — apakah ini peluang?

Ini peluang, dibaca sebagai porsi sebaran. Bila sebuah besaran benar-benar tersebar normal dengan rata-rata dan simpangan baku yang Anda masukkan, maka peluang satu nilai yang ditarik darinya mendarat di dalam rentang satu sigma adalah 68,27%, dan rentangnya menerjemahkan simpangan baku ke satuan yang sedang Anda ukur supaya pernyataan itu bisa diterapkan pada angka tertentu. Yang bukan, adalah pernyataan tentang sampel Anda secara khusus: sebuah sebaran bisa memuat 68% peluangnya di dalam suatu rentang sementara data yang ada di depan Anda punya proporsi yang berbeda di dalamnya, dan halaman ini tidak punya data — halaman ini hanya punya dua parameter yang Anda ketik.

Bagaimana saya tahu apakah sebaran normal model yang tepat?

Halaman ini tidak bisa memberitahu Anda, karena halaman ini tidak pernah melihat datanya. Yang diberikannya adalah pemeriksaan cepat atas kewajaran modelnya: bila satu simpangan baku di kedua sisi rata-rata mencakup rentang yang tidak mungkin memuat sekitar dua pertiga nilainya — karena rentangnya melewati batas bawah atau batas atas yang keras, karena nilainya berupa pencacahan yang tidak bisa di bawah nol, atau karena sebarannya jelas tidak simetris — maka asumsi normalnya sedang merusak, dan persentase di halaman ini menggambarkan kurva yang tidak diikuti datanya. Histogram atau plot peluang normal adalah cara lazim untuk menjawab pertanyaan ini dengan benar; aritmetika di sini berada di hilir jawaban itu, bukan menggantikannya.

Mengapa simpangan bakunya tidak boleh nol?

Karena sebaran normal dengan simpangan baku nol sudah runtuh menjadi satu titik, dan aturannya berhenti bermakna di sana. Semua nilainya akan berada tepat di rata-ratanya, sehingga rentang selebar satu, dua, dan tiga simpangan baku semuanya menjadi nol lebarnya, dan pertanyaan tentang berapa porsi sebaran yang dikandungnya punya dua jawaban yang sama-sama bisa dibela — seluruhnya, karena semuanya ada di rata-rata, atau tidak ada, karena selangnya tidak punya panjang — tanpa cara memilih di antara keduanya. Daripada memilih salah satu diam-diam, halaman ini menolak masukannya dan menyatakan simpangan bakunya harus positif. Simpangan baku yang keluar sebagai nol pada perhitungan nyata hampir selalu berarti pengamatan tunggal atau masalah pengisian data, bukan sebaran yang sungguhan.

Apakah halaman ini sama dengan kalkulator yang memberi peluang dari skor z?

Keduanya adalah dua pintu masuk ke sebaran normal yang sama. Kalkulator skor z menerima sebuah nilai lalu memberi tahu di mana posisinya dan berapa peluang di bawahnya; halaman ini menerima rata-rata dan simpangan bakunya lalu memaparkan ketiga rentang simpangan baku beserta porsi yang dicakup masing-masingnya. Yang berbeda adalah arah pertanyaannya — yang satu mulai dari sebuah pengukuran, yang lain mulai dari aturannya sendiri. Masukannya sengaja dibuat identik, yaitu rata-rata dan simpangan baku pada dua kolom yang sama, supaya berpindah di antara kedua halaman itu tidak menuntut Anda mengetik ulang apa pun, dan supaya keduanya tidak mungkin berbeda pendapat tentang sebaran yang mendasarinya karena keduanya menghitungnya dengan cara yang sama.

• 68-95-99.7 Rule — from Wolfram MathWorld (the rule stated as approximately 68%, 95% and 99.7%, the more precise probabilities, and the note that the rule is specific to the normal distribution rather than a general statement about arbitrary distributions) — Wolfram MathWorld
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the empirical rule stated for a normally distributed variable: about 68% of values within one standard deviation of the mean, 95% within two, 99.7% within three) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the normal distribution its parameters and its cumulative distribution function, which is what the three shares on this page are computed from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)