Kalkulator Teorema Bayes

P(A | E) = P(E | A) · P(A) / [ P(E | A) · P(A) + P(E | ¬A) · P(¬A) ]

P(A)

Peluang prior kondisi tersebut, dimasukkan sebagai persentase — apa yang Anda yakini sebelum bukti datang. Bobotnya lebih besar daripada dugaan orang: ketika nilainya kecil, dibutuhkan bukti yang sangat banyak untuk menggesernya jauh

P(E | A)

Peluang bukti muncul ketika kondisinya ada. Pada sebuah tes, ini adalah tingkat deteksi atau sensitivitas — bagian dari kasus sungguhan yang berhasil ditangkap oleh tes

P(E | ¬A)

Peluang bukti yang sama muncul ketika kondisinya tidak ada. Pada sebuah tes, ini adalah tingkat positif palsu, dan suku inilah yang paling banyak merusak ketika nilainya tidak kecil

P(¬A)

Peluang kondisinya tidak ada, yaitu 100% dikurangi prior. Penyebutnya menjumlahkan dua cara bukti bisa muncul, masing-masing ditimbang oleh seberapa umum keadaannya

P(E)

Peluang bukti secara keseluruhan, muncul pada populasi tanpa memandang ada atau tidaknya kondisi. Nilai ini adalah penyebutnya, dan panel menampilkannya sendiri karena nilai yang kecil di sini itulah yang membuat posterior bergeser tajam

P(A | E)

Peluang posterior: keyakinan setelah bukti masuk. Panel hasil juga menampilkan komplemennya, sebab kalimat seperti tesnya positif dan masih ada 85% kemungkinan tidak mengidapnya sering kali justru paling jelas menyampaikan angkanya

Pakai ketika sebuah hasil tes harus dibaca terhadap seberapa umum kondisi yang dicari sebenarnya: tes skrining pada populasi berprevalensi rendah, penyaring spam yang membaca satu kata, pemeriksaan pada kerusakan yang jarang, atau situasi apa pun ketika hasil positif diperlakukan sebagai bukti yang menentukan. Halaman ini juga alat yang tepat untuk pertanyaan sebaliknya — berapa bagus sebuah tes harus dibuat sebelum hasil positifnya berarti apa pun — dan angka itu biasanya jauh lebih berguna daripada posterior untuk satu prior tertentu. Pakailah ketika Anda punya prior yang layak dinyatakan. Kalau Anda sama sekali tidak tahu berapa priornya, jawaban jujurnya adalah posteriornya akan dikuasai oleh ketidaktahuan itu, dan panel bisa menunjukkan kepada Anda seberapa besar penguasaannya.

1. Kondisi 1%, tingkat deteksi 90%, dan tingkat positif palsu 5%

   1. Ambil 10.000 orang: sekitar 100 mengidap kondisi itu dan 9.900 tidak
   2. Dari 100 orang yang mengidapnya, 90% tesnya positif, jadi sekitar 90 positif benar
   3. Dari 9.900 orang yang tidak mengidapnya, 5% ternyata juga positif, jadi sekitar 495 positif palsu
   4. Satu hasil positif karenanya datang dari 90 + 495 = 585 orang, dan 90 / 585 = 15,38%

   Inilah kasus yang menjadi alasan halaman ini ada, dan aritmetika pada langkah di atas menunjukkan sebabnya. Menghitung orang membuat mekanismenya terlihat: tingkat positif palsu dikenakan pada kelompok yang sembilan puluh sembilan kali lebih besar, sehingga menghasilkan lima setengah kali lebih banyak hasil positif daripada yang dihasilkan tingkat deteksi. Posterior 15,38% bukan pernyataan bahwa tesnya buruk — tingkat deteksi 90% itu bagus — melainkan pernyataan bahwa kondisinya cukup langka sehingga galatnya melampaui tangkapannya. Angka komplemen 84,62% mengatakan hal yang sama dari sisi lain, dan pergeseran 14,38 poin persentase adalah nilai sesungguhnya dari satu tes sekualitas ini pada situasi tersebut.

2. Kondisi 2% dengan tes berketelitian 99%

   1. Ambil 10.000 orang: sekitar 200 mengidapnya dan 9.800 tidak
   2. Dari 200 orang yang mengidapnya, 99% positif: sekitar 198 positif benar
   3. Dari 9.800 orang yang tidak mengidapnya, 1% tetap positif: sekitar 98 positif palsu
   4. Satu hasil positif datang dari 198 + 98 = 296 orang, dan 198 / 296 = 66,89%

   Bahkan tes yang salah hanya satu kali dari seratus meninggalkan sepertiga hasil positifnya sebagai kekeliruan, karena tes itu dikenakan pada kelompok yang empat puluh sembilan kali lebih besar. Naikkan ketelitiannya ke 99,9% dengan prior dan tingkat positif palsu yang sama, dan posteriornya melewati 95% — yang menunjukkan kedua tuas ini tidak bisa saling menggantikan. Tingkat deteksi menentukan berapa banyak positif benar yang Anda dapat, sedangkan tingkat positif palsu menentukan seberapa tebal derau yang menguburnya; memperbaiki angka yang kedua biasanya jauh lebih menguntungkan daripada yang pertama, dan contoh ini cara termurah untuk melihatnya sebelum Anda memesan tes yang lebih baik.

3. Bukti yang justru menyangkal kondisinya

   1. Mulai dari prior yang seimbang: 50% untuk kondisi itu dan 50% menentangnya
   2. Buktinya lima kali lebih mungkin muncul ketika kondisinya tidak ada (90% berbanding 5%)
   3. Penyebutnya 0,05 × 0,5 + 0,9 × 0,5 = 0,475, jadi buktinya sendiri cukup mungkin muncul
   4. Posteriornya 0,025 / 0,475 = 5,26%, turun 44,74 poin persentase

   Pergeseran yang bernilai negatif itulah bagian yang perlu direnungkan sebentar, dan itulah alasan satuan poin persentase ada. Turun dari 50% ke 5,26% berarti turun 44,74 poin persentase; itu bukan turun 44,74%, yang akan berarti posteriornya mendarat di sekitar 27,6%. Membaca pergeseran ini sebagai perubahan relatif adalah cara paling umum untuk salah mengutip panel, dan tandanya itulah yang memberi tahu Anda bahwa buktinya menunjuk ke arah sebaliknya. Perhatikan juga bahwa buktinya di sini biasa saja — peluang munculnya 47,5% — namun tetap sangat informatif, karena seberapa informatif sebuah bukti ditentukan oleh rasio antara kedua nilai kemungkinannya, bukan oleh kelangkaan buktinya.

Posteriornya hanya sebaik tiga angka yang Anda masukkan, dan prior adalah angka yang paling sering dikarang. Ketika kondisinya langka, posterior dikuasai oleh prior dan oleh tingkat positif palsu, sehingga dugaan yang terlalu optimistis pada salah satunya menghasilkan jawaban yang terdengar yakin padahal salah — panel tidak bisa memberi tahu Anda bahwa prior tadi cuma dugaan. Ada dua peringatan lain. Kedua nilai kemungkinan diperlakukan sebagai angka pasti, jadi tingkat deteksi yang dikutip dari studi validasi berukuran kecil sedang dipakai pada presisi yang tidak dimilikinya. Dan perhitungan ini berlaku untuk satu bukti yang dibaca sekali: memakai tes yang sama dua kali tidak sama dengan memakai dua tes yang bebas, karena hasil kedua dari alat yang sama-sama tidak sempurna itu berkorelasi dengan hasil pertama. Memasukkan posterior sebagai prior baru akan melebih-lebihkan tambahan dari tes kedua. Ketika buktinya mustahil pada semua keadaan — kedua nilai kemungkinannya 0%, atau prior 0% dengan tingkat positif palsu 0% — penyebutnya nol dan tidak ada posterior yang bisa dilaporkan, sebab mengondisikan pada sesuatu yang tidak mungkin terjadi bukanlah pertanyaan yang punya jawaban.

Mengapa tes yang akurat 90% hanya memberi peluang 15% bahwa kondisinya benar-benar ada?

Karena akurasi pada orang yang mengidapnya dan akurasi pada orang yang tidak mengidapnya adalah dua angka yang berbeda, dan angka kedua dikalikan dengan kelompok yang jauh lebih besar. Dengan prevalensi 1%, jumlah orang tanpa kondisi itu sembilan puluh sembilan kali lipat orang yang mengidapnya, sehingga tingkat positif palsu 5% menghasilkan ratusan positif palsu sementara tingkat deteksi 90% hanya menghasilkan puluhan positif benar. Tesnya bekerja sebagaimana mestinya; kondisinya saja yang cukup langka sehingga galatnya lebih banyak daripada tangkapannya. Inilah kerja laju dasar, dan itulah sebabnya peluang prior menjadi masukan wajib, bukan pelengkap.

Apa maksud poin persentase pada baris pergeseran?

Baris itu memuat selisih antara prior dan posterior, diukur dalam poin persentase dan bukan sebagai perubahan relatif. Beranjak dari 50% ke 5,26% adalah pergeseran −44,74 poin persentase; itu bukan penurunan 44,74%, yang akan berarti posteriornya mendarat di sekitar 27,6%. Bedanya paling terasa pada pergeseran yang besar, ketika pembacaan relatif menjadi sangat salah, dan tandanya yang memberi tahu Anda ke arah mana bukti mendorong — pergeseran negatif berarti buktinya menyangkal kondisi tersebut.

Bolehkah posterior saya pakai sebagai prior untuk tes berikutnya?

Hanya jika bukti kedua benar-benar bebas dari bukti pertama. Dua hasil dari tes yang sama tidak bebas: positif palsu pada satu kali pengujian membuat positif palsu pada pengujian berikutnya lebih mungkin, karena alatnya punya cacat yang sama pada kedua kesempatan. Memasukkan posterior sebagai prior baru akan melebih-lebihkan tambahan dari hasil kedua, kadang cukup jauh. Ketika buktinya memang benar-benar bebas, memperbarui dalam dua langkah memberi jawaban yang sama dengan memperbarui sekali dengan kedua bukti sekaligus, jadi jalan pintas itu aman tepat pada saat asumsi kebebasannya terpenuhi.

Apa arti baris peluang bukti?

Baris itu adalah peluang keseluruhan untuk melihat bukti tersebut, ada maupun tidak adanya kondisi — penyebut teorema Bayes, yang menimbang setiap nilai kemungkinan dengan seberapa umum keadaannya. Angka ini layak ditampilkan karena menjelaskan besar-kecilnya lompatan: ketika buktinya jarang secara keseluruhan, posterior yang jauh dari prior memang wajar, dan ketika buktinya umum, dibutuhkan rasio kemungkinan yang kuat untuk menggeser apa pun. Pada contoh pertama, bukti itu muncul pada 5,85% orang, dan itulah sebabnya satu hasil positif bisa menggeser keyakinan sejauh itu.

Kapan sama sekali tidak ada jawabannya?

Ketika buktinya mustahil pada setiap keadaan, sehingga penyebutnya nol dan pengondisian padanya menjadi tidak terdefinisi. Itu terjadi bila kedua nilai kemungkinannya 0%, bila prior 0% sementara tingkat positif palsunya juga 0%, atau bila prior 100% sementara tingkat deteksinya 0%. Pada setiap kasus itu buktinya tidak mungkin muncul, jadi frasa diberikan bukti tersebut adalah kondisi yang kosong. Panel melaporkan galat alih-alih mengembalikan 0% atau 50%, karena yang tidak ada di sini bukan peluang nol melainkan peluang yang tidak punya nilai sama sekali.

Apakah kalkulator ini juga memberi rasio kemungkinan?

Tidak, dan alasannya bentuk odds-nya rusak di ujung rentang masukan. Odds sebuah kejadian adalah peluangnya dibagi satu dikurangi peluang itu, sehingga prior 100% menghasilkan odds tak hingga, dan mencetaknya akan merusak panel hasil alih-alih memberi informasi. Baris pergeseran melakukan pekerjaan yang sama dalam bentuk yang tetap bertahan pada setiap masukan yang sah: baris itu menyebut seberapa jauh dan ke arah mana satu bukti menggeser keyakinan, dan itu biasanya justru pertanyaan yang tersembunyi di balik permintaan akan rasio kemungkinan.

• Bayes' Theorem — Stanford Encyclopedia of Philosophy (the theorem itself, its special forms including the odds form, and the subjectivist reading of probability as degree of belief) — Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford University
• 3.3 Two Basic Rules of Probability — Introductory Statistics 2e (the multiplication rule and conditional probability, which are the two pieces the posterior is assembled from) — OpenStax, Rice University
• 3.5 Tree and Venn Diagrams — Introductory Statistics 2e (the tree-diagram route to the same posterior, which is the count-of-people arithmetic used in the worked examples above) — OpenStax, Rice University