Kalkulator Distribusi Normal

z = (nilai − rata-rata) / simpangan baku → di bawah = Φ(z), di atas = 1 − Φ(z), dalam = 2Φ(|z|) − 1

nilai

Pengukuran yang Anda tanyakan — satu pengamatan, bukan rata-rata dari beberapa. Nilainya dibandingkan dengan rata-rata dan simpangan baku dari sebaran yang menjadi acuan pembacaannya

rata-rata

Pusat sebaran normalnya, ditulis μ. Setiap peluang pada panel dinyatakan relatif terhadapnya, sehingga rata-rata 0 mengubah nilai itu sendiri menjadi skor z setiap kali sebarannya 1

simpangan baku

Lebar sebarannya, ditulis σ, dan nilainya harus lebih besar daripada nol. Nilai inilah satuan yang dipakai mengukur jaraknya, dan itulah yang memungkinkan satu tabel skor z melayani sebaran sebesar apa pun

z

Berapa simpangan baku jarak nilai itu dari rata-ratanya. Positif di atas rata-rata, negatif di bawahnya, dan nol ketika nilainya sama dengan rata-ratanya

Φ

Fungsi sebaran kumulatif dari sebaran normal baku: porsi kurva yang berada di sebelah kiri sebuah z. Fungsinya tidak punya bentuk tertutup yang elementer, sehingga dihitung alih-alih dilihat di tabel

Pakai ketika pertanyaannya soal posisi dan bukan soal angka mentahnya: seberapa luar biasa sebuah pengukuran bagi proses yang menghasilkannya, berapa porsi populasi yang berada di atas sebuah ambang, atau berapa proporsi jendela spesifikasi yang dicakup proses yang terpusat. Halaman ini juga menjadi jalan masuk baku ke tabel normal — mengubahnya lebih dulu menjadi skor z itulah yang membuat satu tabel berlaku untuk setiap sebaran. Pakai kalkulator skor z di halaman sebelah bila skor z-nya sendiri yang menjadi pokoknya dan peluangnya tidak dibutuhkan; pakai halaman ini ketika Anda membutuhkan luasnya, karena skor z sendirian hanya menyebut seberapa jauh sebuah nilai berada di ekor dan bukan berapa banyak kurvanya yang berada di luar sana bersamanya.

1. Satu simpangan baku di atas rata-rata

   1. Kurangkan rata-ratanya: 115 − 100 = 15
   2. Bagi dengan simpangan bakunya: 15 / 15 = 1, jadi skor z-nya 1
   3. Porsi kurva normal di bawah z = 1 adalah sekitar 84,13%, sehingga sisanya 15,87% berada di atasnya
   4. Porsi dalam satu simpangan baku ke kedua arah sekitar 68,27%, yaitu label Dalam 1 simpangan baku, dan kedua angka satu sisi itu hanyalah sisa di masing-masing ujungnya

   Ketiga angka itu adalah fakta yang sama yang dikatakan dengan tiga cara, dan angka tengahlah yang paling sering salah dibaca: 84,13% di bawah berarti nilai yang berada satu simpangan baku di atas rata-rata mengalahkan sekitar lima per enam sebarannya, sementara 15,87% sebarannya masih berada di atasnya. Perhatikan juga bahwa porsi dalam bukan jumlah dari kedua peluang satu sisinya — porsi itu hanya pita tengahnya, sehingga selalu menjadi yang terkecil dari ketiganya untuk nilai di dekat rata-rata dan tumbuh menuju 100% ketika nilainya bergerak ke ekor.

2. Nilai yang tepat berada di rata-rata

   1. Kurangkan rata-ratanya: 100 − 100 = 0
   2. Membaginya dengan lebar yang positif berapa pun tetap menghasilkan 0, jadi skor z-nya 0
   3. Kurva normal simetris, sehingga tepat separuhnya berada di bawah rata-rata dan separuhnya di atas
   4. Pita selebar nol di sekitar rata-rata tidak memuat bagian sebaran mana pun, jadi porsi dalam adalah 0%

   Angka 0% pada porsi dalam bukan pembulatan dari sesuatu yang kecil — nilainya eksak, dan inilah satu-satunya kasus ketika lebar pitanya benar-benar tidak ada. Karena itu contoh ini menjadi pemeriksaan paling bersih atas arah pitanya: porsi dalam mengukur jarak ke nilai itu pada kedua sisi sekaligus, sehingga pada rata-rata tidak ada jarak sama sekali. Inilah juga kasus yang menunjukkan simetri yang diandalkan seluruh panel lainnya, karena kedua peluang satu sisinya terbagi tepat separuh.

3. Nilai yang jauh di ekor atas

   1. Kurangkan rata-ratanya: 200 − 100 = 100
   2. Bagi dengan simpangan bakunya: 100 / 15 ≈ 6,67 simpangan baku di atas rata-rata
   3. Porsi di atas z = 6,67 sekitar 1,3 × 10⁻¹¹ — sekitar satu dari puluhan miliar
   4. Pada dua angka desimal porsi itu 0,00%, dan porsi di bawahnya 100,00%

   Angka 0,00% di atas itulah satu-satunya angka di halaman ini yang terlihat seperti kesalahan padahal bukan: porsi sebenarnya sekitar 1,3 dari seratus miliar, yang tidak bisa dicetak oleh dua angka desimal sebuah persentase. Ada dua hal yang mengikutinya. Bacalah 0,00% sebagai lebih kecil daripada presisi yang ditampilkan dan bukan sebagai mustahil, dan ingatlah bahwa panelnya memuat lebih banyak informasi daripada digit yang tercetak — ekornya dihitung pada jalurnya sendiri justru supaya kasus ini memberi nol yang bersih alih-alih 0,01 atau 0,02 yang akan dihasilkan pengurangan dari ekor bawah. Perhatikan juga bahwa porsi dalam telah mencapai 100%, karena pita yang menjangkau 6,67 simpangan baku ke masing-masing arah kini mencakup praktis seluruh kurvanya.

4. Satu simpangan baku di bawah rata-rata

   1. Kurangkan rata-ratanya: 85 − 100 = −15
   2. Bagi dengan simpangan bakunya: −15 / 15 = −1, jadi skor z-nya negatif
   3. Porsi di bawah z = −1 sekitar 15,87%, dan porsi di atasnya sekitar 84,13%
   4. Pita dalam satu simpangan baku tetap 68,27% seperti pada z = +1, karena pitanya simetris

   Membandingkan contoh ini dengan contoh pertama adalah cara tercepat untuk melihat apa yang dilakukan dan tidak dilakukan oleh tandanya: kedua peluang satu sisinya bertukar tempat, sedangkan porsi dalamnya tidak bergerak sama sekali. Sebabnya, porsi dalam mengukur jarak dari rata-rata ke kedua arah, sehingga ia tidak bisa tahu nilai itu berada di sisi mana — dan itulah tepatnya yang Anda inginkan ketika pertanyaannya berapa banyak sebaran yang berada dekat pusatnya, dan tepatnya pula sebabnya panel juga mencetak angka satu sisinya dan bukan hanya pitanya.

Setiap angka di sini adalah sifat sebaran normal, bukan sifat data Anda. Skor z bisa dihitung untuk himpunan nilai dengan bentuk apa pun, tetapi peluangnya hanya berlaku seperti itu bila sebarannya benar-benar normal — pada sebaran berekor panjang atau miring, nilai yang jauh di luar justru lebih umum daripada kata kurva normal, dan perkiraan ekornya yang paling dahulu terkena. Rata-rata dan simpangan baku tidak membuat sebuah sebaran menjadi normal, dan keduanya tidak bisa memberi tahu Anda apakah sebarannya normal. Ada dua peringatan lain. Peluang yang sangat kecil tidak bisa dicetak dengan dua angka desimal, sehingga nilai yang jauh di ekor menampilkan 0,00% padahal nilai sebenarnya adalah bilangan positif kecil. Dan nilai yang dimasukkan diperlakukan sebagai satu pengamatan yang dibaca terhadap rata-rata serta lebar yang sudah diketahui, sehingga angkanya tidak memperhitungkan ketidakpastian pada rata-rata atau simpangan bakunya, dan itu penting ketika keduanya ditaksir dari sampel yang kecil.

Apa tambahan skor z kalau saya sudah punya peluangnya?

Skor z adalah satu-satunya dari keempat angka itu yang bisa berpindah antar sebaran. Peluang terikat pada kurva tertentu yang Anda masukkan, sedangkan skor z sebesar 1 berarti jarak yang sama dari pusatnya pada setiap sebaran normal — nilai ujian dengan sebaran 15, komponen mesin yang diukur dalam seperseratus milimeter, atau pengukuran dengan satuan yang sewenang-wenang. Itulah yang membuat satu tabel skor z bisa dipakai di mana saja: ubah dulu menjadi skor z, lalu baca luasnya dari kurva baku.

Mengapa peluang di atas menampilkan 0,00% untuk nilai yang sangat besar?

Karena dua angka desimal sebuah persentase tidak bisa mencetak seberapa kecil angka sebenarnya. Nilai yang berada 6,67 simpangan baku di atas rata-rata menyisakan sekitar 1,3 × 10⁻¹¹ dari kurvanya di atasnya — kira-kira satu dari puluhan miliar — dan itu porsi yang nyata dan positif, hanya saja jauh di bawah presisi yang ditampilkan. Bacalah 0,00% sebagai lebih kecil daripada yang bisa ditampilkan layar ini dan bukan sebagai mustahil. Panelnya menghitung ekor itu pada jalurnya sendiri alih-alih dengan menguranginya dari ekor bawah, dan itulah sebabnya hasilnya nol yang bersih dan bukan nilai kecil tak nol yang akan dihasilkan pengurangan.

Apakah halaman ini sama dengan aturan empiris?

Ya, dan tabel di halaman ini adalah aturan itu yang ditulis sebagai jarak dan bukan sebagai persentase. Aturan empiris menyatakan sekitar 68% sebaran normal berada dalam satu simpangan baku dari rata-ratanya, sekitar 95% dalam dua, dan sekitar 99,7% dalam tiga; mengubah masing-masingnya menjadi jarak dari pusatnya itulah yang dilakukan baris-barisnya. Satu perbedaan layak dicatat: aturannya biasanya dikutip sebagai tiga persentase yang sudah dibulatkan, sedangkan porsi di sini dihitung dari fungsi kumulatif yang sama dengan yang dipakai kalkulatornya, sehingga nilai yang berada tepat di batas mendapat jawaban yang konsisten dari keduanya.

Apa yang terjadi bila simpangan bakunya nol?

Masukan itu ditolak, bukan dijawab. Membagi dengan lebar nol bukan peluang yang kebetulan bernilai 1 — itu menggambarkan sebaran yang tidak punya lebar sama sekali, di mana setiap pengamatan sama dengan rata-ratanya dan gagasan tentang jarak dari pusatnya berhenti bermakna. Panelnya melaporkan galat alih-alih mengembalikan 0% atau 100% yang terlihat masuk akal. Lebar yang negatif ditolak karena alasan yang sama: simpangan baku adalah jarak, jadi nilainya tidak bisa negatif, dan diam-diam memakai nilai mutlaknya akan menyembunyikan kesalahan data.

Bisakah halaman ini dipakai pada data yang tidak normal?

Skor z-nya bisa dihitung untuk himpunan nilai apa pun, karena rata-rata dan simpangan baku ada untuk data apa saja. Peluangnya itulah bagian yang membutuhkan asumsinya: peluang itu adalah luas di bawah kurva normal, dan sebaran yang miring atau berekor panjang tidak akan cocok dengannya. Ketidakcocokan itu muncul paling dahulu di ekornya, tempat porsi sebenarnya di luar jarak yang besar biasanya lebih besar daripada yang diklaim kurva normal, dan itulah sebabnya angka 0,3% di luar tiga simpangan baku pada aturan empiris harus diperlakukan sebagai sifat model normal dan bukan sebagai janji tentang pengukuran Anda.

Mengapa nilainya diperlakukan sebagai satu pengamatan dan bukan rata-rata sampel?

Karena itulah ketiga peluang itu: porsi sebaran yang berada di bawah, di atas, dan di sekitar satu nilai. Membaca rata-rata sampel terhadap rata-rata dan lebar yang sama adalah perhitungan yang berbeda, dan lebar yang Anda butuhkan di situ adalah galat baku rata-rata dan bukan lebar pengamatan-pengamatan individunya — keduanya berbeda sebesar akar dari ukuran sampelnya, sehingga memakai yang satu sebagai ganti yang lain memberi jawaban yang terlihat wajar padahal salah. Bila nilai Anda sendiri berupa rata-rata, masukkan galat bakunya sebagai simpangan baku.

• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the density, the role of the mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function behind every probability on this page, and the z-table it is read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the z-score as a standardised value, and the areas a normal table records) — OpenStax, Rice University
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (reading probabilities off a normal curve, including the complements this page reports as below and above) — OpenStax, Rice University