Kalkulator Skor Z

z = (x − μ) ÷ σ

x

Nilai yang hendak dilokasikan — pengukurannya, nilainya, pembacaannya, yang ingin Anda tempatkan pada skala itu

μ

Rata-rata kelompok tempat nilai itu berada. Pengurangan inilah yang mengubah nilai mutlak menjadi jarak dari bagian tengahnya

σ

Simpangan baku kelompok yang sama. Membaginya dengan angka ini yang membuat jawabannya bisa dibandingkan antarskala: skor z 1,5 berarti hal yang sama entah datanya dalam satuan nilai ujian atau dalam milimeter. Nilainya harus lebih besar daripada nol

x − μ

Jarak dari rata-rata, dicetak tersendiri sebagai nilai mutlak supaya celahnya bisa dibaca dalam satuan aslinya sebelum diubah skalanya

z

Skor z: negatif kalau nilainya di bawah rata-rata, positif kalau di atasnya. Tandanya membawa arah, besarnya membawa seberapa tidak biasa nilai itu

Pakai ia untuk membandingkan nilai yang datang dari skala berbeda, dan itulah alasan keberadaan ukuran ini: nilai 85 di kelas yang rata-ratanya 75 bukan pencapaian yang sama dengan 85 di kelas yang rata-ratanya 90, dan skor z mengatakannya secara langsung. Ia juga cara baku untuk meletakkan satu pembacaan terhadap populasi rujukannya, dan langkah pertama pada sebagian besar aturan pencilan. Kalau yang Anda punya adalah datanya mentah dan bukan rata-rata beserta simpangan bakunya, ambil dulu keduanya dari halaman simpangan baku lalu kembali ke sini — halaman ini tidak akan menaksirnya untuk Anda. Ingatlah pula arti label rentangnya: persentase di belakangnya berasal dari aturan empiris, yaitu aturan 68-95-99,7, dan aturan itu menggambarkan distribusi normal. Setiap nilai bisa punya skor z; hanya nilai yang berdistribusi normal yang punya 68% nilainya di dalam satu simpangan baku.

1. Nilai satu simpangan baku di atas rata-rata kelas

   1. Jarak dari rata-rata: 85 − 75 = 10 poin
   2. Bagi dengan simpangan bakunya: 10 ÷ 10 = 1
   3. Skor z-nya 1, positif karena 85 berada di atas 75

   Skor z tepat 1 jatuh pada rentang pertama dan bukan yang kedua: aturan empiris adalah pernyataan tentang berapa bagian nilai yang berada di dalam satu simpangan baku, jadi batasnya terhitung di dalam, dan 68% adalah angka yang menempel padanya. Sepuluh poin jarak dan skor z 1 adalah fakta yang sama, satu dalam satuan ujiannya dan satu dalam satuan sebarannya — dan itulah tepatnya yang dibeli oleh pembagian itu.

2. Tepat tiga simpangan baku dari rata-rata

   1. Jarak: 105 − 75 = 30
   2. Bagi: 30 ÷ 10 = 3
   3. Rentangnya adalah yang berakhir di angka 3, karena aturannya berbicara tentang nilai yang melampaui tiga simpangan baku

   Inilah batas yang paling penting, dan yang paling sering dibaca keliru. Berada tepat tiga simpangan baku dari rata-rata tidak sama dengan melampauinya, dan angka 0,3% menjadi milik kasus yang melampaui. Dalam praktik perbedaannya memang sangat halus — pengukuran nyata jarang mendarat tepat di batasnya — tetapi itulah perbedaan antarrengtang, dan tabel di bawah menjabarkan di mana setiap batasnya berada.

3. Di bawah rata-rata, tempat tandanya berbalik

   1. Jarak: 65 − 75 = −10, jadi nilainya sepuluh poin di bawah rata-rata
   2. Bagi: −10 ÷ 10 = −1
   3. Skor z-nya negatif; besarnya sama dengan contoh pertama, karena nilainya berjarak sama dari rata-ratanya

   Tandanya adalah arah dan besarnya adalah besarannya. Nilai yang sepuluh poin di bawah rata-rata dan nilai yang sepuluh poin di atasnya memiliki skor z −1 dan +1, yang sama-sama tidak biasa — itulah sebabnya rentangnya dipilih dari nilai mutlak z, dan sebabnya panel melaporkan jaraknya sebagai bilangan positif. Bacalah keduanya bersamaan: tandanya mengatakan di sisi mana, jaraknya mengatakan seberapa jauh.

Skor z hanya sebaik rata-rata dan simpangan baku yang Anda masukkan: halaman ini menerima keduanya apa adanya dan tidak punya cara memeriksanya, jadi rata-rata yang diketik dari kolom yang salah membuat setiap jawabannya salah tanpa gejala apa pun. Persentase di balik label rentangnya menggambarkan distribusi normal, sedangkan data nyata sering kali bukan distribusi normal — kalau datanya miring, skor z yang besar bisa berarti distribusinya berekor panjang dan bukan berarti nilainya pencilan. Ada juga perangkap sampel kecil yang perlu diketahui: jumlah nilai terbesar yang mungkin dicapai skor z dalam sampel berukuran n paling banyak adalah (n − 1) ÷ √n, jadi dengan kurang dari sekitar sebelas nilai skor z tidak akan pernah mencapai 3 dan aturan praktis yang menetapkan ambang di tiga simpangan baku tidak akan pernah menyala. Terakhir, simpangan bakunya harus lebih besar daripada nol; kelompok yang semua nilainya identik tidak punya sebaran untuk dijadikan pembanding, dan halaman ini melaporkan kegagalan alih-alih memberi jawaban.

Apa rumus skor z?

z = (x − μ) ÷ σ: kurangkan rata-rata dari nilainya, lalu bagi dengan simpangan bakunya. Nilai 85 terhadap rata-rata 75 dengan simpangan baku 10 memberi (85 − 75) ÷ 10 = 1. Pengurangannya meletakkan nilai itu pada skala yang berpusat di nol, dan pembagiannya mengubah skalanya menjadi satuan sebaran, dan itulah yang membuat dua skala berbeda bisa dibandingkan.

Berapa simpangan baku jarak nilai saya dari rata-rata?

Itulah tepatnya yang dilaporkan skor z: besarnya adalah jumlah simpangan bakunya, dan tandanya mengatakan nilai itu berada di sisi mana dari rata-ratanya. Skor z 2,5 berarti dua setengah simpangan baku di atas rata-rata; −0,4 berarti empat persepuluh simpangan baku di bawahnya. Panel juga mencetak jarak mentahnya, sehingga Anda bisa membaca celahnya dalam satuan aslinya di sebelah versi yang sudah diubah skalanya.

Skor z berapa yang dianggap tinggi?

Pada distribusi normal, sekitar 68% nilainya berada di dalam satu simpangan baku, 95% di dalam dua, dan 99,7% di dalam tiga — itulah aturan empiris. Itu membuat skor z di luar 2 tidak umum dan yang di luar 3 langka, dan sebabnya tiga simpangan baku menjadi garis yang lazim untuk calon pencilan. Perlakukan angka-angka itu sebagai pembacaan dan bukan putusan: semua itu menggambarkan distribusi normal, sedangkan distribusi yang miring bisa menghasilkan skor z yang besar untuk nilai yang sepenuhnya wajar.

Apakah skor z sama dengan persentil?

Tidak, meskipun keduanya berhubungan. Skor z adalah jarak dalam satuan simpangan baku; persentil adalah posisi dalam daftar nilai yang sudah diperingkat. Mengubah yang satu menjadi yang lain memerlukan bentuk distribusinya — pada distribusi normal skor z 1,645 berada di persentil ke-95, tetapi pemetaan itu hanya berlaku untuk distribusi normal. Skor z sendiri tidak menuntut asumsi apa pun, dan itulah sebabnya ia yang dilaporkan di sini dan persentilnya tidak.

Bagaimana kalau simpangan bakunya nol?

Kalau begitu tidak ada yang bisa dijadikan pembagi, dan halaman ini melaporkan kegagalan alih-alih sebuah angka. Simpangan baku nol berarti setiap nilai dalam kelompoknya identik, sehingga tidak ada nilai yang berjarak dari rata-ratanya dan pertanyaannya tidak punya jawaban. Mencetak ketakterhinggaan atau galat sebagai hasil akan lebih buruk daripada mengatakannya terus terang: pembagian dengan nol di sini tidak menghasilkan pembacaan yang bermakna, dan halaman ini lebih suka memberi tahu Anda hal itu.

Bisakah saya memakai ini untuk data apa pun, normal atau tidak?

Untuk skor z-nya sendiri, bisa: kurangkan rata-ratanya dan bagi dengan simpangan bakunya, dan Anda memperoleh ukuran posisi relatif yang sah apa pun bentuk datanya. Label rentangnya itulah bagian yang perlu hati-hati. Persentase 68-95-99,7 adalah sifat distribusi normal, dan kumpulan data yang ekornya panjang akan memberi skor z jauh di atas 3 untuk nilai yang sebenarnya tidak luar biasa bagi distribusi itu. Pakailah rentangnya sebagai dorongan untuk menengok nilai ekstrem itu, bukan sebagai putusan atasnya.

• The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e, section 6.1 (the z-score as the number of standard deviations from the mean, and the Empirical Rule: about 68%, 95% and 99.7% within one, two and three standard deviations) — OpenStax, Rice University
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)