Kalkulator Pencilan

pagar bawah = Q1 − 1,5 × IQR · pagar atas = Q3 + 1,5 × IQR

Q1

Kuartil pertama — persentil ke-25, nilai yang seperempat datanya berada pada atau di bawahnya. Ia menjadi jangkar pagar bawah

Q3

Kuartil ketiga — persentil ke-75. Bersama Q1 ia membatasi separuh bagian tengah data, dan ia menjadi jangkar pagar atas

IQR

Jangkauan antarkuartil, Q3 − Q1: lebar separuh bagian tengah data. Mengalikannya dengan 1,5 menetapkan seberapa jauh di luar bagian tengah itu sebuah nilai harus berada sebelum ditandai

pagar bawah

Q1 − 1,5 × IQR. Nilai yang benar-benar berada di bawah garis ini ditandai; nilai yang tepat berada di garis itu tidak, dan itulah sebabnya daftar yang semua nilainya sama tidak menandai apa pun

pagar atas

Q3 + 1,5 × IQR. Nilai yang benar-benar berada di atas garis ini ditandai. Kedua pagar ini biasanya ditulis L1 dan U1 pada sumber asal aturannya

n

Berapa banyak nilai yang masuk, maksimal 200 di halaman ini. Pagarnya dibangun dari kuartil, jadi daftar yang lebih panjang menggeser kuartilnya dan bisa mengubah nilai mana yang ditandai

Pakai ia ketika Anda perlu tahu apakah sebuah nilai tidak biasa dibandingkan sisa sampelnya, sebelum memutuskan apa yang akan dilakukan terhadapnya: imbal hasil bulanan yang sepuluh kali lipat bulan-bulan lain, pembacaan sensor yang berada di luar skala tetangganya, nilai ujian yang jauh di bawah seluruh kelas. Aturan 1,5 × IQR, yang kadang disebut aturan Tukey menurut orang yang mempopulerkannya, adalah saringan pertama yang baku karena ia tidak mengandaikan apa pun tentang bentuk datanya — berbeda dengan aturan yang berbasis rata-rata dan simpangan baku, yang justru ikut terdistorsi oleh nilai ekstrem yang hendak dicarinya. Yang tidak bisa dilakukan halaman ini adalah memberi tahu apakah nilai yang ditandai itu sebuah kesalahan atau nilai ekstrem yang nyata. Keduanya berbeda: pencilan bisa menandakan data yang buruk, dan bisa juga justru merupakan pengukuran yang paling menarik dalam kumpulan itu. Jangkauan antarkuartil sengaja mengabaikan kedua ekornya, sehingga ia tidak ikut tertarik oleh nilai-nilai yang justru sedang diuji.

1. Delapan nilai, satu ditandai

   1. Q1 = 4 dan Q3 = 5,5, jadi IQR = 5,5 − 4 = 1,5
   2. 1,5 × IQR = 2,25, sehingga pagar bawahnya 4 − 2,25 = 1,75 dan pagar atasnya 5,5 + 2,25 = 7,75
   3. Nilai terbesar dalam daftar ini, yaitu 9, berada di atas 7,75 sehingga ditandai; setiap nilai lain berada di dalam pagar

   Pagar jauhnya adalah −0,5 dan 10, dan nilai 9 berada di dalam keduanya, jadi ini nilai yang ditandai oleh aturan dalam saja — tidak biasa secara ringan, bukan ekstrem. Melaporkan pagar jauh secara terpisah itulah yang membuat perbedaan itu terlihat alih-alih menyisakannya sebagai ya atau tidak.

2. Dua ditandai, satu di luar masing-masing pasangan pagar

   1. Q1 = 3,75 dan Q3 = 9,25, jadi IQR = 5,5 dan 1,5 × IQR = 8,25
   2. Pagarnya adalah 3,75 − 8,25 = −4,5 dan 9,25 + 8,25 = 17,5; pagar jauhnya 3,75 − 16,5 = −12,75 dan 9,25 + 16,5 = 25,75
   3. Nilai 20 melampaui 17,5 tetapi masih di dalam 25,75; nilai 30 melampaui 25,75. Keduanya terhitung ditandai, jadi jumlahnya 2

   Kedua nilai yang ditandai itu tidak sama ekstremnya, dan hitungan totalnya saja menyembunyikan hal itu. Nilai 20 melewati pagar dalam, nilai 30 melewati pagar jauh, dan panel mencetak daftarnya dalam urutan menaik sehingga Anda bisa melihat mana yang mana. Pagar jauh bukan ambang kedua yang harus dilewati agar sebuah nilai terhitung — nilai yang berada di antara kedua pagar itu sudah ditandai.

3. Ketika semua nilainya sama kecuali satu

   1. Q1 = 1 dan Q3 = 1, jadi IQR = 0 dan 1,5 × IQR = 0
   2. Kedua pagarnya menciut ke angka 1: pagar bawahnya 1 − 0 = 1 dan pagar atasnya 1 + 0 = 1
   3. Nilai 2 benar-benar berada di atas 1, jadi ia ditandai — meskipun jangkauan antarkuartilnya nol

   Jangkauan antarkuartil nol terlihat seolah mestinya mematikan aturannya, dan ternyata tidak. Ketika hampir semua nilainya identik, satu nilai yang berbeda menurut definisinya adalah satu-satunya titik yang menyimpang jauh, dan aturannya mengatakan demikian. Untuk memperoleh hasil sebaliknya — tidak ada yang ditandai — semua nilainya harus sama, dan saat itu kedua pagarnya jatuh tepat pada nilai itu dan perbandingannya bersifat ketat.

Halaman ini melaporkan nilai yang ditandai oleh satu aturan, dan aturan itu sebuah konvensi dan bukan putusan. Pengali 1,5 adalah pilihan; sumber yang sama juga memberi 3,0 untuk garis kedua yang lebih ekstrem, dan buku teks serta perangkat lunak lain menawarkan uji yang berbeda-beda berdasarkan skor z atau simpangan absolut dari median. Dua alat yang berselisih soal nilai yang berada tepat di dekat pagar adalah hal yang normal, dan itu tidak berarti salah satunya keliru. Nilai yang ditandai juga tidak otomatis sebuah kesalahan: aturan semacam ini tidak bisa membedakan digit yang salah ketik dari pengamatan ekstrem yang sungguhan, sedangkan jenis yang kedua sering justru pengukuran paling berharga dalam sebuah kumpulan data. Menghapus titik hanya karena ditandai adalah cara sebuah analisis memperoleh kesimpulan yang tidak ia usahakan. Kuartil di sini dihitung dengan interpolasi linear antara dua nilai tengah, dan itu konvensi yang paling umum meskipun bukan satu-satunya — sumber yang membulatkan ke nilai teramati terdekat bisa menempatkan sebuah kuartil setengah langkah dari sini dan ikut menggeser pagarnya. Daftar dibatasi 200 nilai, dan tulisan dengan pemisah ribuan ditolak alih-alih diduga-duga, karena satu titik di antara digit sudah dibaca sebagai tanda desimal di sini. Panel menamai kedua pagar dalam itu Batas bawah dan Batas atas, sedangkan dalam percakapan sehari-hari keduanya biasa disebut pagar.

Bagaimana cara mencari pencilan dalam sebuah kumpulan data?

Urutkan nilainya lalu cari kuartil pertama dan ketiga, Q1 dan Q3. Jangkauan antarkuartilnya adalah Q3 − Q1. Setiap nilai yang berada di bawah Q1 − 1,5 × IQR, atau di atas Q3 + 1,5 × IQR, ditandai. Untuk daftar 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 kuartilnya 4 dan 5,5, jadi jangkauan antarkuartilnya 1,5, pagarnya 1,75 dan 7,75, dan nilai 9 ditandai. Kalkulator di atas mencetak kuartil dan keempat pagarnya sehingga setiap langkah bisa diperiksa.

Apa itu pagar, dan mengapa ada empat?

Pagar adalah garis batas yang menjadi pembanding nilai-nilai — istilah ini lazim di perangkat lunak, sedangkan sumber buku teksnya menuliskannya sebagai L1, L2, U1, dan U2. Dua pagar dalam adalah Q1 − 1,5 × IQR dan Q3 + 1,5 × IQR; pagar jauh memakai 3,0 sebagai ganti 1,5 dan menandai nilai yang lebih jauh lagi. Hanya pasangan dalam yang menentukan apa yang ditandai. Pasangan jauh dicetak karena nilai yang berada di antara kedua garis itu tidak biasa secara ringan sedangkan nilai yang melampaui garis jauh tidak, dan satu hitungan total tidak bisa menunjukkan perbedaan itu.

Haruskah pencilan dihapus setelah ditandai?

Jangan hanya karena tandanya. Aturan itu mengatakan sebuah nilai menyimpang jauh dari yang lain; ia tidak bisa mengatakan mengapa. Sumber rujukan yang sama mencatat bahwa pencilan bisa menandakan data yang buruk — digit yang salah ketik, sensor yang rusak, satuan yang dimasukkan di kolom yang keliru — dan pada kasus itu titiknya harus diperbaiki atau dihapus. Tetapi ia bisa juga merupakan pengukuran yang nyata, dan sering justru yang paling informatif dalam kumpulan itu. Sebelum menghapus apa pun, cari dulu penyebabnya: periksa catatan aslinya, catatan instrumennya, atau kondisi yang menghasilkannya. Menghapus titik karena sebuah aturan menandainya adalah cara sebuah kumpulan data dipangkas sampai ia mengatakan apa yang diinginkan seseorang.

Mengapa alat lain menandai nilai yang berbeda?

Karena pengali 1,5 adalah konvensi, bukan hukum. Sumber rujukan yang memberi 1,5 juga memberi 3,0 untuk garis kedua, dan ada pula aturan yang sama sekali berbeda yang dibangun di atas skor z — yang satu membandingkan jarak setiap nilai dari rata-rata terhadap simpangan bakunya, yang lain memakai simpangan absolut dari median dengan ambang 3,5. Konvensi kuartilnya juga berbeda: halaman ini melakukan interpolasi antara dua nilai tengah, sedangkan sebagian sumber membulatkan ke nilai teramati terdekat, dan itu bisa menggeser sebuah pagar melewati titik yang berada tepat di dekatnya. Dua alat yang berselisih soal nilai di dekat pagar adalah hal yang wajar, dan itu alasan untuk melihat nilai tersebut, bukan alasan untuk tidak mempercayai salah satu alatnya.

Bagaimana kalau jangkauan antarkuartilnya nol?

Aturannya tetap berjalan, dan ia tetap menandai nilai. Kalau Q1 dan Q3 keduanya 1, jangkauan antarkuartilnya 0, jadi 1,5 × IQR juga 0, kedua pagarnya jatuh tepat pada angka 1, dan setiap nilai yang benar-benar di atas 1 akan ditandai — pada daftar 1; 1; 1; 1; 2, nilai 2 itu ditandai. Sekilas itu terlihat keliru, karena jangkauan antarkuartil nol tampak berarti datanya tidak punya sebaran. Tetapi memang benar: ketika hampir semua nilainya identik, satu nilai yang berbeda justru tepat adalah nilai yang menyimpang jauh. Perbandingannya bersifat ketat, sehingga daftar yang semua nilainya sama tidak menandai apa pun — pagarnya jatuh tepat pada nilai itu dan tidak ada yang benar-benar berada di luarnya.

Apakah ini sama dengan uji skor z?

Tidak, dan perbedaannya penting. Skor z membagi jarak setiap nilai dari rata-rata dengan simpangan bakunya — tetapi rata-rata dan simpangan baku itu sama-sama dihitung dari seluruh sampel, termasuk pencilannya, sehingga satu nilai ekstrem menggelembungkan simpangan bakunya dan bisa menyembunyikan dirinya sendiri. Aturan berbasis kuartil tidak punya umpan balik semacam itu: kuartil bersifat posisional, dan nilai yang jauh tidak mengubah di mana kuartilnya jatuh. Sumber rujukan memberi batas untuk pendekatan skor z justru karena alasan itu, dan ia juga menawarkan varian yang dibangun di atas simpangan absolut dari median supaya ukuran sebarannya tidak ikut diseret oleh titik yang sedang diuji.

• Box Plot — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.3.7 (the source of the rule: L1 = lower quartile − 1.5 × IQ and L2 = lower quartile − 3.0 × IQ, with the symmetric U1 and U2, and the two batches of points drawn as small and large circles) — National Institute of Standards and Technology
• Detection of Outliers — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 (defines an outlier as an observation that appears to deviate markedly from the others, notes that an outlier may indicate bad data, and lists several alternative rules, including modified Z-scores above 3.5) — National Institute of Standards and Technology