Kalkulator Kuartil

Q1 = nilai pada posisi (n − 1) × 0,25, Q2 pada (n − 1) × 0,5, Q3 pada (n − 1) × 0,75 (dengan interpolasi antar tetangganya); IQR = Q3 − Q1

xᵢ

Satu nilai dalam kumpulan data. Kuartil adalah posisi dalam daftar terurut, jadi yang penting adalah urutan nilainya dan bukan besarnya — satu pembacaan ekstrem menggeser penanda luarnya sedikit tetapi nyaris tidak menyentuh separuh bagian tengahnya

n

Banyaknya nilai dalam daftar, maksimal 200 di halaman ini. Posisinya dihitung dari 0 dan yang terakhir adalah n − 1, dan itulah sebabnya ketiga posisi kuartil itu tersebar di rentang tersebut

Q1

Kuartil pertama, dengan sekitar 25% data berada pada atau di bawahnya. Ia menandai di mana seperempat bagian bawah daftar terurut berakhir, dan ia belum tentu sebuah nilai yang muncul pada data Anda

Q2

Kuartil kedua, yang persis sama dengan median: separuh data berada pada atau di bawahnya. Ia dicetak di sini sebagai pembanding, dan halaman median yang khusus menghitung angka yang sama dari aturan yang sama

Q3

Kuartil ketiga, dengan sekitar 75% data berada pada atau di bawahnya. Bersama Q1 ia membatasi separuh bagian tengah data — bagian yang digambar kotak oleh diagram kotak-garis

IQR

Rentang antarkuartil, Q3 − Q1: sebaran separuh bagian tengahnya. Satuannya sama dengan satuan data dan, berbeda dari simpangan baku, ia nyaris tidak terpengaruh oleh pencilan karena ia sama sekali mengabaikan kedua perempat bagian luarnya

Kuartil adalah ringkasan yang tepat ketika datanya miring, punya pencilan, atau tidak diukur pada skala yang penjumlahannya bermakna — penghasilan, harga rumah, waktu tanggap, nilai ujian. Di tempat rata-rata dan simpangan baku menggambarkan lonceng yang simetris, ringkasan lima angka menggambarkan distribusi dengan bentuk apa pun: median mengatakan di mana pusatnya, Q1 dan Q3 mengatakan seberapa jauh separuh bagian tengahnya terbentang, dan nilai terkecil serta terbesar membatasi seluruhnya. Rentang antarkuartil adalah pendamping yang lazim bagi median karena alasan yang sama dengan simpangan baku yang mendampingi rata-rata, dan ia angka yang dikutip orang ketika mereka menginginkan sebaran yang tidak bisa digelembungkan oleh satu pembacaan liar. Ia juga dasar bagi diagram kotak-garis dan bagi aturan 1,5 × IQR untuk menandai kemungkinan pencilan — pagarnya digambar di sini, tetapi penandaannya adalah pekerjaan alat yang lain. Pakai kuartil bersama histogram kalau bisa: empat titik potong tidak bisa menunjukkan apakah datanya punya dua punuk, dan kumpulan data yang bimodal akan dengan senang hati menghasilkan ringkasan lima angka yang terlihat sepenuhnya wajar.

1. Delapan nilai: Q1 = 4, Q3 = 5,5, IQR = 1,5

   1. Urutkan: 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 — delapan nilai, jadi n − 1 = 7
   2. Q1: posisi 7 × 0,25 = 1,75, yaitu di antara 4 pada posisi 1 dan 4 pada posisi 2, jadi Q1 = 4
   3. Q2: posisi 7 × 0,50 = 3,5, di antara 4 dan 5, jadi Q2 = 4,5 — median yang sama dengan yang dilaporkan halaman median
   4. Q3: posisi 7 × 0,75 = 5,25, di antara 5 pada posisi 5 dan 7 pada posisi 6: 5 + 0,25 × 2 = 5,5
   5. IQR: 5,5 − 4 = 1,5, jadi separuh bagian tengah datanya terbentang sejauh 1,5

   Separuh bagian tengah di sini adalah empat nilai dari 4 sampai 5,5, dan rentang antarkuartil adalah selebar apa pita itu. Perhatikan bahwa Q1 jatuh tepat pada sebuah titik data sedangkan Q3 tidak: kuartil mana yang berimpit dengan nilai teramati sepenuhnya bergantung pada cacahnya, dan ringkasan lima angka adalah keterangan tentang posisi, bukan sekumpulan bagian dari datanya.

2. Empat nilai, di mana setiap kuartil diinterpolasi

   1. Urutkan: 1; 2; 3; 4 — empat nilai, jadi n − 1 = 3
   2. Q1: posisi 3 × 0,25 = 0,75, tiga perempat jalan dari 1 ke 2, jadi Q1 = 1,75
   3. Q2: posisi 3 × 0,50 = 1,5, tepat di tengah antara 2 dan 3, jadi Q2 = 2,5
   4. Q3: posisi 3 × 0,75 = 2,25, seperempat jalan dari 3 ke 4, jadi Q3 = 3,25
   5. IQR: 3,25 − 1,75 = 1,5

   Inilah kasus yang memisahkan konvensi-konvensinya, jadi perlu diketahui apa yang diberikan cara alternatifnya. Metode yang dipakai OpenStax dan banyak buku teks membelah datanya di median lalu mengambil titik tengah masing-masing belahan: belahan bawahnya 1 dan 2, jadi Q1 = 1,5; belahan atasnya 3 dan 4, jadi Q3 = 3,5, dan rentang antarkuartilnya menjadi 2. Halaman ini memakai interpolasi antar tetangganya, yang merupakan bawaan R dan NumPy, dan ia mencetak Q1 serta Q3 supaya Anda bisa melihat konvensi mana yang menghasilkannya.

3. Keempat belas nilai milik buku teks itu, dihitung dengan cara yang lain

   1. Urutkan: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 — empat belas nilai, jadi n − 1 = 13
   2. Q2: posisi 13 × 0,50 = 6,5, tepat di tengah antara 6,8 dan 7,2, jadi Q2 = 7 — persis median yang dilaporkan buku teksnya
   3. Q1: posisi 13 × 0,25 = 3,25, seperempat jalan dari 2 pada posisi 3 ke 4 pada posisi 4, jadi Q1 = 2,5
   4. Q3: posisi 13 × 0,75 = 9,75, tiga perempat jalan dari 8,3 ke 9, jadi Q3 = 8,825
   5. IQR: 8,825 − 2,5 = 6,325

   Keempat belas angka yang sama muncul di bagian OpenStax tentang ukuran letak, yang memakai metode belahan dan melaporkan Q1 = 2 dan Q3 = 9, yaitu rentang antarkuartil 7. Kedua jawaban itu berasal dari aturan yang terdokumentasi dan bisa diajarkan; keduanya berbeda karena menginterpolasi secara berbeda di antara pengamatan yang sama. Mediannya sepakat persis, dan itulah bagian yang melegakan: apa pun konvensinya, bagian tengah sebuah kumpulan data tetaplah bagian tengahnya.

Empat titik potong tidak bisa menggambarkan sebuah distribusi sendirian. Dua kumpulan data bisa punya setiap kuartil yang sama dan tidak mirip sama sekali — yang satu mengumpul, yang satu punya dua punuk — jadi bacalah ringkasan lima angka itu berdampingan dengan histogram ketika bentuknya penting. Kuartil juga sebuah konvensi dan bukan fakta: halaman ini menginterpolasi antar nilai tetangganya, mengikuti Hyndman–Fan tipe 7, dan metode belahan yang dipakai banyak buku teks akan memberi angka yang berbeda setiap kali cacahnya bukan kelipatan empat. Cacahnya juga berpengaruh dengan cara lain: dengan kurang dari empat nilai setiap kuartil adalah hasil interpolasi, dan dengan satu nilai kelima angkanya adalah nilai itu dan rentang antarkuartilnya nol karena tidak ada sebaran yang bisa diukur. Daftar dibatasi 200 nilai, dan tulisan dengan pemisah ribuan ditolak alih-alih diduga-duga, karena satu titik di antara digit sudah dibaca sebagai tanda desimal di sini. Tidak ada bagian di halaman ini yang menandai pencilan: pagar 1,5 × IQR adalah aturan bakunya, dan menerapkannya adalah pekerjaan alat yang terpisah.

Bagaimana cara mencari kuartil sebuah kumpulan data?

Urutkan daftarnya, lalu baca tiga posisi: (n − 1) × 0,25 untuk Q1, (n − 1) × 0,50 untuk Q2, dan (n − 1) × 0,75 untuk Q3, dengan interpolasi ketika posisinya jatuh di antara dua nilai. Dengan delapan nilai, posisinya 1,75; 3,5; dan 5,25, sehingga Q1 = 4, Q2 = 4,5, dan Q3 = 5,5. Rentang antarkuartilnya lalu Q3 − Q1, yaitu 1,5 di sini. Ketiga kuartil itu plus nilai terkecil dan terbesar dicetak di atas, sehingga seluruh ringkasannya ada di satu layar.

Mengapa Q1 saya berbeda dari kalkulator lain?

Karena kuartil adalah konvensi dan bukan fakta, dan kedua konvensi yang lazim berselisih setiap kali cacahnya bukan kelipatan empat. Halaman ini menginterpolasi antar nilai tetangganya, mengikuti Hyndman–Fan tipe 7 — nilai bawaan di R dan NumPy. Banyak buku teks, termasuk OpenStax, sebaliknya membelah data di mediannya lalu mengambil titik tengah masing-masing belahan: untuk keempat belas nilainya sendiri itu memberi Q1 = 2 dan Q3 = 9, sedangkan halaman ini mengembalikan 2,5 dan 8,825. Keduanya aturan yang terdokumentasi. Q2, yaitu mediannya, keluar sama pada kedua cara.

Apa yang diberitahukan rentang antarkuartil kepada saya?

Ia lebar separuh bagian tengah data: rentang yang memuat 50% nilai yang berada di antara Q1 dan Q3. Satuannya sama dengan satuan data Anda, jadi rentang antarkuartil 1,5 berarti separuh bagian tengahnya terbentang sejauh 1,5 dari apa pun yang Anda ukur. Karena ia membuang seperempat bagian atas dan seperempat bagian bawah, satu pembacaan ekstrem nyaris tidak menggesernya, dan itulah sebabnya ia menjadi ukuran sebaran yang lazim dikutip bersama median. Rentang antarkuartil nol berarti separuh bagian tengahnya berupa satu nilai yang berulang — separuh data Anda atau lebih bernilai sama — dan bukan berarti ada yang salah.

Apa itu ringkasan lima angka?

Nilai terkecil, Q1, median, Q3, dan nilai terbesar — kelima angka yang dicetak halaman ini, biasanya ditulis dalam urutan itu. Ia cara baku menggambarkan sebuah kumpulan data tanpa mengandaikan bentuk tertentu, dan ia persis yang digambar diagram kotak-garis: sebuah kotak dari Q1 sampai Q3 dengan garis di median, dan garis rambut sampai kedua ujungnya. Rentang antarkuartil yang ditampilkan di bagian atas bukan salah satu dari kelima angka itu; ia Q3 − Q1, yaitu lebar kotaknya.

Bisakah sebuah kuartil berupa nilai yang tidak ada dalam data saya?

Bisa, dan pada daftar pendek biasanya memang begitu. Kuartil adalah posisi pada skala datanya, jadi 1,75 untuk empat nilai 1; 2; 3; dan 4 adalah kuartil pertama yang sepenuhnya wajar meskipun tidak ada nilai 1,75 dalam daftarnya. Ketika posisinya jatuh tepat pada bilangan bulat, kuartilnya berimpit dengan nilai teramati. Kedua kasus dicetak bersama cacahnya, sehingga Anda bisa melihat mana yang sedang Anda hadapi.

Apakah halaman ini menandai pencilan?

Tidak. Ia memberi Anda rentang antarkuartil, yang menjadi masukan bagi aturan bakunya: sebuah nilai diperlakukan sebagai kemungkinan pencilan kalau letaknya lebih dari 1,5 × IQR di bawah Q1 atau di atas Q3. Menerapkan pagar itu sengaja diserahkan kepada alat yang terpisah, supaya halaman ini tetap menjadi keterangan yang jujur tentang datanya alih-alih menjadi putusan tentang titik mana yang harus dibuang. Untuk delapan nilai di atas, 1,5 × IQR adalah 2,25, sehingga pagarnya membentang dari 1,75 sampai 7,75.

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 (defines the quartiles and the interquartile range as the spread of the middle half, and works through the 14-value example; its halves method differs from the interpolation used here) — OpenStax, Rice University
• quantile — R stats package reference (documents the nine quantile types; type 7, the default, is the convention used here for all three quartiles) — The R Project for Statistical Computing
• numpy.quantile — NumPy reference (the method="linear" default interpolates exactly as this page does) — NumPy