Kalkulator Distribusi Binomial

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) dengan C(n, k) = n! / (k! (n − k)!)

n

Jumlah percobaan, sampai 1.000 — pengulangan bebas dari kejadian ya-atau-tidak yang sama. Batasnya soal kinerja, bukan soal matematika: distribusi binomial tetap terdefinisi jauh di atas angka itu, tetapi bilangan yang dihitung sepanjang halaman ini tumbuh mengikuti n, dan halaman yang menggantung lebih buruk daripada halaman yang menolak

k

Jumlah keberhasilan yang Anda tanyakan. Angkanya tidak boleh melebihi n, karena keberhasilan yang lebih banyak daripada percobaannya bukan hasil yang tidak mungkin melainkan permintaan yang mustahil

p

Peluang berhasil pada satu percobaan, dimasukkan sebagai persentase dari 0 sampai 100. Nilainya sama untuk setiap percobaan, dan itulah yang membuat percobaannya setara satu sama lain sehingga jumlahnya berdistribusi binomial

C(n, k)

Koefisien binomial: berapa banyak cara k keberhasilan dapat ditata di antara n percobaan. Inilah sebabnya jumlah di sekitar tengah justru yang paling mungkin — jumlah yang dekat dengan tengah punya jauh lebih banyak penataan daripada jumlah yang ekstrem

p^k · (1 − p)^(n − k)

Peluang satu penataan tertentu yang memuat k keberhasilan dan n − k kegagalan. Mengalikannya dengan banyaknya penataan mengubah satu penataan menjadi penataan apa pun

np

Rata-rata jumlah keberhasilan. Variannya np(1 − p) dan simpangan bakunya akar kuadrat dari angka itu, dan ketiganya itulah tiga baris terakhir pada panel

Pakai ketika percobaannya dihitung, bukan diukur: berapa dari 20 komponen yang lolos inspeksi, berapa dari 12 lemparan bebas yang masuk, seberapa besar peluang muncul sedikitnya 8 gambar berturut-turut dalam 10 lemparan. Dua baris kumulatifnya yang paling sering dipakai, karena target hampir selalu berupa ambang — paling sedikit k untuk lolos gerbang mutu, paling banyak k untuk tetap di dalam anggaran — dan membaca ambang dari baris jumlah tepat berarti menjumlahkan sendiri baris demi baris. Pilih alat lain bila jumlah percobaannya tidak ditetapkan di muka, bila peluang keberhasilannya berubah dari percobaan ke percobaan, atau bila percobaannya saling memengaruhi; kasus ketiga itulah yang paling sering merusak asumsinya di lapangan.

1. Sepuluh percobaan, tiga keberhasilan, peluang 50% tiap kali

   1. Ada C(10, 3) = 120 cara menempatkan tiga keberhasilan di antara sepuluh percobaan
   2. Satu penataan berpeluang 0,5³ × 0,5⁷ = 1/1.024
   3. 120 / 1.024 = 0,1171875, jadi tepat tiga keberhasilan terjadi 11,72% dari seluruh kemungkinan
   4. Menjumlahkan jumlah 0 sampai 3 memberi 17,19% untuk paling banyak; rata-ratanya np = 10 × 0,5 = 5

   Selisih antara dua baris kumulatif itulah inti contoh ini: 17,19% untuk paling banyak dan 94,53% untuk paling sedikit menyisakan 11,72% di antaranya, dan potongan yang hilang itu persis peluang tiga keberhasilan — jumlah yang Anda tanyakan. Aritmetika inilah yang menangkap kekeliruan lazim membaca paling sedikit sebagai satu dikurangi paling banyak, yang akan menghasilkan 82,81% di sini. Rata-rata 5 dengan simpangan baku 1,58 juga memberi tahu Anda bahwa angka 3 bukan hal istimewa pada susunan ini: posisinya sedikit lebih dari satu simpangan baku di bawah rata-rata.

2. Dua puluh percobaan dengan peluang 25% tiap kali

   1. Rata-ratanya np = 20 × 0,25 = 5 keberhasilan
   2. Variannya np(1 − p) = 20 × 0,25 × 0,75 = 3,75, dan akar kuadratnya sekitar 1,94
   3. Tepat empat keberhasilan berpeluang 18,97%, jumlah paling mungkin di susunan ini
   4. Paling banyak empat 41,48%, dan paling sedikit empat 77,48%

   Empat keberhasilan sekaligus merupakan jumlah di dekat rata-rata dan jumlah tunggal yang paling mungkin, dan itulah sebabnya kedua angka kumulatifnya mengapitnya secara tidak seimbang: 41,48% dari seluruh distribusi berada pada atau di bawah jumlah yang paling mungkin itu. Ketidakseimbangan ini berlaku umum dan layak diingat — untuk jumlah apa pun yang berada pada atau di bawah rata-rata, peluang berada pada atau di bawahnya lebih besar daripada dugaan orang, karena distribusinya berekor atas panjang ketika p kecil. Baris ringkasan itulah yang membuat Anda bisa melihatnya tanpa menjumlahkan suku demi suku: simpangan baku 1,94 di sekitar rata-rata 5 menempatkan angka 4 jauh di dalam rentang yang biasa.

3. Seratus percobaan, tanpa keberhasilan, peluang 2% tiap kali

   1. Dengan k = 0 hanya ada satu penataan — tanpa keberhasilan sama sekali — jadi C(100, 0) = 1
   2. Peluangnya 0,98¹⁰⁰ ≈ 0,1326, jadi tidak mendapat keberhasilan sama sekali berpeluang 13,26%
   3. Paling banyak nol keberhasilan adalah kejadian yang sama, jadi barisnya sama persis
   4. Paling sedikit nol keberhasilan mencakup setiap hasil yang mungkin, jadi nilainya 100%

   Contoh inilah yang memastikan arti baris paling sedikit. Paling sedikit nol keberhasilan bukan batas yang tidak informatif melainkan kepastian — setiap hasil punya nol keberhasilan atau lebih — jadi 100% adalah jawaban yang benar dan bukan angka pengganti. Baca ketiga barisnya bersama-sama dan selisih satu itu menjadi terlihat: paling banyak 13,26% ditambah paling sedikit 100% melewati 100% karena jumlah tepat nol berada di dalam keduanya, dan besar tumpang tindihnya adalah 13,26% itu. Separuh contoh lainnya adalah soal rata-rata: dua keberhasilan yang diharapkan dari seratus percobaan terdengar aman, tetapi tidak mendapat satu pun tetap terjadi kira-kira satu kali dari delapan.

4. Seribu percobaan dengan peluang 50% tiap kali

   1. Rata-ratanya 1.000 × 0,5 = 500 keberhasilan dan variannya 250, jadi simpangan bakunya sekitar 15,81
   2. Tepat 500 keberhasilan — jumlah tunggal yang paling mungkin — berpeluang 2,52%
   3. Paling banyak 500 adalah 51,26%, dan paling sedikit 500 juga 51,26%, karena 500 berada tepat di tengah
   4. Kedua angka kumulatifnya sama di sini, dan itu hanya terjadi pada rata-rata

   Ada dua hal yang layak diambil dari contoh ini. Pertama, jumlah tunggal yang paling mungkin bukan berarti kejadian yang mungkin: 500 adalah puncak distribusinya dan tetap hanya terjadi sekitar satu kali dari empat puluh, karena ada seribu jumlah berbeda yang harus dibagi peluangnya. Kedua, kedua baris kumulatifnya sama persis di angka 51,26% — pemeriksaan diri yang berguna, sebab pada rata-rata distribusinya simetris dan setiap penyimpangan dari kesamaan berarti jumlahnya tidak berada di tengah. Perhatikan juga bahwa peluang 2,52% di sini dihitung dari koefisien binomial yang digitnya ratusan, dan itulah sebabnya alat ini membatasi jumlah percobaannya alih-alih nekat menghitungnya.

Model binomial bertumpu pada tiga asumsi, dan begitu salah satunya gagal, angkanya tetap masuk akal padahal sudah salah. Jumlah percobaannya harus ditetapkan di muka, bukan ditentukan sambil berjalan; peluang keberhasilannya harus sama pada setiap percobaan; dan percobaannya harus saling bebas — dan yang ketiga itulah yang paling sering gagal di lapangan, karena percobaan yang diambil dari batch yang sama, orang yang sama, atau hari yang sama cenderung bergerak bersama. Ketika keberhasilannya mengelompok, sebaran sebenarnya lebih lebar daripada yang dilaporkan halaman ini. Ada dua batas lain yang perlu dinyatakan. Jumlah percobaan dibatasi 1.000, dan itu batas kinerja, bukan batas matematis: modelnya masih terdefinisi jauh di atasnya, tetapi bilangan yang dihitung tumbuh mengikuti jumlah percobaan dan halaman yang menggantung tidak menolong siapa pun. Selain itu halaman ini tidak memuat tabel peluang per jumlah keberhasilan, karena tabel yang orang inginkan berisi satu baris untuk tiap kemungkinan jumlah keberhasilan dan bergantung pada jumlah percobaan serta peluang yang Anda masukkan — tabel rujukan di sini tidak bisa melihat masukan itu. Tiga baris pada panel adalah bentuk tabel tersebut untuk angka yang Anda pilih.

Mengapa paling sedikit k bukan sekadar 100% dikurangi paling banyak k?

Karena kedua kejadian itu bukan komplemen. Paling banyak k berarti nol sampai k keberhasilan; paling sedikit k berarti k sampai n. Jumlah tepat k berada di dalam keduanya, jadi mengurangkan yang satu dari 100% meninggalkan potongan bersama itu — padahal justru peluang itulah yang Anda tanyakan. Pakai baris paling banyak k − 1 bila Anda menginginkan komplemen dari paling sedikit k, atau baca ketiga barisnya bersama-sama: tepat k selalu menjadi selisih antara dua baris lainnya, dan selisih itu pemeriksaan yang berguna untuk ketiganya.

Bisakah peluang keberhasilannya 0% atau 100%?

Bisa, dan keduanya bermakna, bukan kasus tepi. Peluang 0% berarti kejadiannya tidak pernah terjadi, sehingga jumlah keberhasilannya pasti 0; peluang 100% berarti kejadiannya selalu terjadi, sehingga jumlahnya pasti n. Panel melaporkan baris 0% dan 100% yang dihasilkan apa adanya. Kalau Anda melihat angka 0% yang rata untuk jumlah yang Anda perkirakan kecil tetapi mungkin, periksa kembali kolom peluangnya — angka 0 yang dimasukkan padahal maksudnya 10 menghasilkan tepat tampilan seperti itu.

Mengapa tidak ada tabel yang memuat peluang setiap jumlah keberhasilan?

Karena tabel semacam itu bergantung pada jumlah percobaan dan peluang keberhasilan yang Anda masukkan, sementara tabel rujukan di halaman ini dihitung dari konstanta sehingga tidak bisa melihat masukan tersebut — tabel seperti itu akan menampilkan angka susunan orang lain di bawah judul yang terlihat seperti susunan Anda. Sebagai gantinya, tiga baris pada panel hasil memberi bentuk tabel itu pada jumlah yang Anda tanyakan: jumlah tepatnya, seluruh yang di bawahnya, dan seluruh yang di atasnya. Untuk melihat seluruh distribusinya, ubah jumlah keberhasilannya dan baca lagi baris tepat — nilai-nilai itulah tabelnya, satu baris setiap kali.

Apa yang diberitahu rata-rata yang tidak diberitahu peluang?

Rata-rata memberi tahu Anda di mana distribusinya berada, dan itulah yang membuat sebuah jumlah bisa ditafsirkan. Rata-rata 5 keberhasilan dengan simpangan baku 1,58 membuat angka 3 menjadi hasil yang biasa, sedangkan jumlah 3 yang sama terhadap rata-rata 12 akan sangat jauh di luar. Rata-ratanya np, variannya np(1 − p), dan simpangan bakunya akar kuadrat dari angka itu — tiga baris ringkasan itu adalah distribusi yang diceritakan lewat pusat dan sebarannya, bukan lewat satu peluang demi satu peluang.

Apa yang terjadi bila saya meminta keberhasilan lebih banyak daripada percobaannya?

Permintaan itu ditolak, bukan dijawab dengan 0%. Keberhasilan yang lebih banyak daripada percobaan bukan hasil yang tidak mungkin — itu bukan hasil sama sekali, dan melaporkan 0% akan menyiratkan modelnya sempat mempertimbangkannya lalu mencoretnya. Panel melaporkan galat, dan hal yang sama berlaku untuk jumlah percobaan di atas 1.000, yang ditolak sebagai batas kinerja dan bukan karena matematikanya berhenti bekerja di sana.

Apakah percobaannya benar-benar harus saling bebas?

Ya, dan inilah asumsi yang paling sering gagal pada data nyata. Bila keberhasilannya mengelompok — komponen dari batch produksi yang sama, tembakan oleh pemain yang sama di hari yang sama, pasien dari klinik yang sama — maka percobaannya saling membawa informasi, dan sebaran jumlah yang sebenarnya lebih lebar daripada kata binomial. Rata-ratanya masih kurang lebih benar meski ada pengelompokan, sedangkan simpangan baku dan peluang ekornya tidak, jadi tiga baris ringkasan itulah yang pertama harus dicurigai. Model yang sudah menyertakan tambahan keragaman adalah alat yang tepat bila Anda tahu percobaannya mengelompok.

• 1.3.6.6.18. Binomial Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the binomial probability function, its mean np and variance np(1 − p), and the assumptions the model rests on) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 4.3 Binomial Distribution — Introductory Statistics 2e (the fixed number of independent trials with a constant success probability, and the cumulative form used by the at most and at least rows) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for a count to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)