Kalkulator Kombinasi

kombinasi C(n, r) = n! / (r!(n − r)!) · permutasi P(n, r) = n! / (n − r)! · dengan pengulangan: C = (n + r − 1)! / (r!(n − 1)!) dan P = nʳ

n

Ada berapa banyak item berbeda yang bisa dipilih — ukuran kumpulannya, bukan banyaknya pengambilan

r

Berapa banyak item yang diambil. Bila pengulangan dimatikan, r tidak boleh melebihi n; bila dinyalakan, r boleh lebih besar daripada n, karena item yang sama diperbolehkan muncul dua kali

izinkan pengulangan

Apakah item yang sama boleh diambil lebih dari sekali. Ini bukan soal tampilan — sakelar ini memilih rumus yang berbeda, dan sakelar inilah yang menentukan apakah r lebih besar daripada n sah atau mustahil

C(n, r)

Jumlah kombinasi yang dibaca sebagai nCr: cara memilih r item ketika urutan pengambilannya diabaikan, sehingga ABC dan CBA dihitung sekali

P(n, r)

Jumlah permutasi: cara memilih lalu menyusun r item, sehingga ABC dan CBA menjadi dua hasil berbeda. Nilainya selalu jumlah kombinasinya dikali r!

Pakai setiap kali sebuah soal sebenarnya berbunyi ada berapa banyak cara, dan itu hampir selalu terjadi ketika peluang dihitung dengan mencacah alih-alih dengan rumus. Tangan kartu, penarikan undian, pemilihan panitia, dan penyusunan tempat duduk semuanya adalah perhitungan ini, dan satu keputusan yang harus diambil lebih dulu untuk semuanya adalah apakah urutannya berarti — tangan poker adalah kombinasi, sedangkan juara satu dua tiga adalah permutasi. Sakelar pengulangan baru penting pada kasus ketika pilihan yang sama bisa diambil dua kali: mengambil tiga scoop dari sekian rasa, dengan urutan tetap tidak berarti tetapi rasanya boleh berulang, adalah kombinasi dengan pengulangan dan bukan kombinasi biasa. Halaman ini tidak menghitung peluang, hanya pencacahan yang menjadi bahan peluang.

1. Sepuluh item, pilih tiga: 120 kombinasi atau 720 permutasi

   1. Dengan urutan diabaikan, C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120
   2. Dengan urutan dihitung, P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720
   3. Keduanya berbeda sebesar 3! = 6, yaitu banyaknya cara menyusun tiga item yang terpilih
   4. Periksa: 120 × 6 = 720

   Inilah pasangan yang keberadaannya menjadi alasan halaman ini dibuat. Tiga item yang sama punya satu kombinasi dan enam permutasi, jadi pencacahan yang dikutip tanpa menyebut yang mana bisa meleset sebesar faktor enam di sini — dan sebesar faktor 120 pada lima pengambilan, dan di situlah kekeliruannya berhenti terasa kecil. Langkah terakhir memuat hubungan yang layak diingat: jumlah permutasinya selalu jumlah kombinasinya dikali faktorial dari r, karena setiap pengambilan tanpa urutan bisa disusun tepat dalam r! cara.

2. Sepuluh dan tiga yang sama, dengan pengulangan

   1. Dengan pengulangan dan urutan diabaikan, C = (10 + 3 − 1)! / (3! × 9!) = C(12,3) = 220
   2. Dengan pengulangan dan urutan dihitung, P = 10³ = 1.000
   3. Bagi kombinasi, kumpulannya seolah menjadi lebih besar — rumusnya menambahkan r − 1 pada n — sedangkan bagi permutasi pencacahannya sekadar satu pilihan untuk setiap tempat
   4. Periksa: 220 bukan 120, dan 1.000 bukan 720 — membalik sakelarnya memindahkan kedua baris

   Kedua baris berubah, dan itulah inti sakelarnya, bukan rinciannya. Implementasi yang hanya menyesuaikan baris kombinasinya akan mencetak 220 dan 720 berdampingan, dan kedua angka itu akan terlihat masuk akal padahal menggambarkan aturan yang berbeda. Perhatikan juga bahwa jumlah permutasinya kini berupa pangkat dan bukan hasil kali menurun: dengan pengulangan ada n pilihan pada setiap tempat dari r tempat, sehingga pencacahannya berlipat menjadi nʳ alih-alih menyusut satu setiap kali.

3. Tangan poker lima kartu dari satu set 52 kartu

   1. Satu tangan tidak memperhatikan urutan, jadi pencacahannya C(52,5) = 52! / (5! × 47!)
   2. Kalikan kelima suku menurunnya: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200
   3. Bagi dengan 5! = 120: 311.875.200 / 120 = 2.598.960
   4. Baris kedua adalah langkah antara dari baris pertama — itulah arti ucapan bahwa satu tangan adalah pembagian berurutan dibagi banyaknya susunan

   Angka 2.598.960 adalah angka yang menjadi pembagi setiap peluang poker, dan itulah sel yang paling sering dikunjungi di halaman ini. Kedua barisnya layak dibaca bersama di sini karena baris permutasi memang pembilangnya sebelum dibagi 5! — lima kartu bisa dibagikan dalam 311.875.200 urutan, dan setiap tangan menempati 120 di antaranya. Melihat bahwa pencacahan tanpa urutan adalah pencacahan berurutan dibagi banyaknya susunan adalah cara tercepat untuk berhenti mencampuradukkan keduanya.

4. Enam item diambil semuanya: satu kombinasi, 720 permutasi

   1. Hanya ada satu cara untuk mengambil semuanya, jadi C(6,6) = 1
   2. Permutasinya adalah susunan keenam item itu: P(6,6) = 6! = 720
   3. Faktor antara kedua barisnya 720 = 6!, yang merupakan aturan r! pada r = n

   Pada r = n kedua barisnya berada sejauh mungkin satu sama lain, dan baris kombinasinya runtuh menjadi 1 — tidak ada lagi yang bisa dipilih ketika semuanya diambil. Ini kasus ekstrem yang berguna untuk diletakkan bersebelahan dengan tangan poker: di sana jaraknya faktor 120, di sini faktor 720, dan satu-satunya yang berubah adalah berapa banyak susunan yang diterima setiap pengambilan. Bila baris permutasi suatu kali justru yang Anda maksud, inilah bentuk kekeliruannya pada ukuran terbesarnya.

5. Tiga rasa, lima scoop: r lebih besar daripada n

   1. Lima scoop dari tiga rasa, urutan diabaikan, pengulangan diizinkan: C = C(3 + 5 − 1, 5) = C(7,5) = 21
   2. Dengan urutan ikut dihitung, P = 3⁵ = 243
   3. Keduanya sah hanya karena pengulangannya menyala — bila mati, memilih lima dari tiga adalah permintaan yang mustahil dan halaman ini menolak masukannya

   Kasus inilah yang menjadikan sakelarnya syarat kebenaran dan bukan sekadar kesukaan. Memilih lima benda dari kumpulan berisi tiga tidak bisa dilakukan tanpa pengulangan, jadi dengan pengulangan dimatikan halaman ini menolaknya mentah-mentah, sedangkan dengan pengulangan dinyalakan masukan yang sama memberi dua angka yang sepenuhnya biasa. Baris kombinasinya juga menunjukkan mengapa rumusnya menambahkan r − 1 pada kumpulannya: mengizinkan pengulangan membuat kumpulan itu berperilaku seolah lebih besar sebanyak satu lebih sedikit daripada jumlah pengambilannya, sehingga tiga rasa yang diambil lima kali sekaligus terhitung sebagai tujuh benda yang dipilih lima sekaligus.

Kedua pencacahannya berupa bilangan bulat eksak sampai suatu titik, dan melewati titik itu halaman ini menolak alih-alih membulatkan. Pencacahannya tumbuh cepat — seratus item yang dipilih lima puluh sekaligus menghasilkan sekitar tiga puluh digit — dan bilangan floating-point di komputer berhenti mampu menyimpan setiap bilangan bulat dengan tepat di sekitar digit keenam belas, sehingga pencacahan sebesar itu akan kembali dengan digit-digit terakhirnya salah dan tetap terlihat sepenuhnya biasa. Daripada mencetak angka yang salah dengan cara yang tidak akan ada orang menyadarinya, halaman ini melempar galat untuk pencacahan di luar rentang eksak; penolakan yang sama berlaku untuk kumpulan di atas seribu item dan untuk pencacahan negatif. Dua batas lain: halaman ini hanya mencacah dan tidak melakukan apa pun selain itu — tidak mendaftar kombinasinya, tidak menjabarkannya, dan tidak menghitung peluang menarik salah satunya, yang merupakan pencacahan dibagi totalnya. Dan sakelar pengulangan hanya berarti satu hal, yaitu item yang sama boleh diambil lebih dari sekali; sakelar itu tidak memodelkan pengambilan tanpa pengembalian dibanding pengambilan dengan pengembalian dalam arti satu set kartu, di mana kumpulannya menyusut ketika kartu keluar.

Apa bedanya kombinasi dan permutasi?

Kombinasi mengabaikan urutan pengambilannya, permutasi menghitungnya. Memilih tiga orang untuk panitia dari sepuluh orang adalah kombinasi, karena panitia berisi A, B, C sama saja dengan panitia berisi C, B, A; sedangkan memberikan hadiah pertama, kedua, dan ketiga kepada tiga orang itu adalah permutasi, karena penugasannya berbeda. Kedua pencacahannya tidak pernah berdekatan: jumlah permutasinya adalah jumlah kombinasinya dikali r!, yaitu banyaknya cara menyusun r item yang terpilih. Kedua barisnya dicetak di halaman ini supaya faktornya tidak pernah diduga-duga — pada r = 3 faktornya 6, dan pada r = 5 faktornya 120.

Apa arti tombol nCr di kalkulator saya?

nCr adalah fungsi kombinasi: n adalah ukuran kumpulannya dan r adalah berapa yang diambil, dan hasilnya banyaknya cara memilihnya dengan urutan diabaikan. Itu angka yang sama dengan baris kombinasi di halaman ini. Tombol pendampingnya, nPr, adalah pencacahan permutasi dengan urutan dihitung, dan itulah baris di bawahnya. Cara cepat menentukan mana yang diminta sebuah soal adalah bertanya apakah menukar dua item yang terpilih menghasilkan hasil yang berbeda — bila tidak, jawabannya nCr.

Apa yang berubah ketika pengulangan diizinkan?

Kedua rumusnya berubah, dan masukan mana yang sah juga berubah. Dengan pengulangan dimatikan, pencacahan permutasinya berupa hasil kali menurun — n × (n − 1) × … — dan pencacahan kombinasinya membagi hasil itu dengan r!; dengan pengulangan dinyalakan, pencacahan permutasinya sekadar n pangkat r, dan pencacahan kombinasinya menjadi pencacahan multiset, yang untuk n item yang diambil r sekaligus bernilai C(n + r − 1, r). Yang paling sering menjebak adalah soal keabsahannya: dengan pengulangan dimatikan, r yang lebih besar daripada n tidak bisa dikerjakan sama sekali dan ditolak, sedangkan dengan pengulangan dinyalakan permintaan itu biasa saja, seperti lima scoop dari tiga rasa.

Mengapa halaman ini menolak sebagian masukan besar alih-alih memberi jawaban?

Karena jawabannya akan salah pada digit-digit terakhirnya dan tidak akan terlihat salah. Pencacahan ini tumbuh sangat cepat — lima puluh pengambilan dari seratus item mencapai sekitar tiga puluh digit — dan bilangan yang dipakai komputer untuk berhitung berhenti menyimpan setiap bilangan bulat dengan tepat di sekitar digit keenam belas. Melewati garis itu, hasilnya adalah bilangan di dekatnya dengan awal yang tampak benar dan ekor yang salah, dan itu lebih buruk daripada tidak ada jawaban sama sekali bila pencacahannya akan masuk ke sebuah peluang atau laporan. Jadi halaman ini melempar galat untuk pencacahan yang tidak bisa dinyatakan secara eksak, sama seperti ia melempar galat untuk kumpulan di atas seribu item atau pencacahan negatif.

Apakah sakelar pengulangan berarti pengambilan dengan pengembalian?

Tidak dalam arti yang dipakai soal satu set kartu. Sakelar itu hanya menyatakan bahwa item yang sama boleh dipilih lebih dari sekali, dan itulah yang dihasilkan pengambilan dengan pengembalian pada kumpulan pilihan yang bebas. Pada soal kartu, kumpulannya juga menyusut ketika kartu keluar, dan hal itu sudah diperhitungkan rumus di atas lewat hasil kali menurun pada rumus tanpa pengulangan — tangan lima kartu adalah C(52,5), bukan 52 pangkat lima. Jadi sakelarnya soal boleh atau tidaknya pengulangan, sedangkan penyusutan kumpulannya ditangani oleh rumusnya dan bukan oleh sakelarnya.

Mengapa tidak ada tabel rujukan di bawah kalkulatornya?

Karena tabel seperti itu pasti berbeda dengan panelnya. Tabel yang diinginkan halaman semacam ini adalah kisi dengan n di satu sisi dan r di sisi lain, tetapi jawaban di panel dihitung dari n dan r yang Anda ketik, sehingga kisi yang nilainya tetap akan menampilkan angka yang berbeda untuk masukan yang sama. Halaman di situs ini yang memang memuat tabel rujukan adalah halaman yang tabelnya menggambarkan sekumpulan nilai tetap — batas kategori atau skala baku — dan bukan hasil perhitungan dari masukan. Di sini kedua baris panel itulah jawabannya, dan keduanya bergerak setiap kali Anda mengetik.

• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Multichoose — from Wolfram MathWorld (the number of multisets of a given length on a given number of symbols, which is the combinations with repetition count this page switches to) — Wolfram MathWorld