Kalkulator Segitiga Pascal

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k); C(n, 0) = C(n, n) = 1; jumlah baris = 2^n

n

Banyaknya baris yang dicetak, dengan satu angka 1 di puncak dihitung sebagai baris ke-0. Jadi n baris berarti baris ke-0 sampai baris ke-n - 1, dan baris terakhir yang tercetak berisi n angka. Masukannya berjalan dari 1 sampai 53, dan batas atas itu bukan soal lebar layar — lihat keterangan jumlah baris di bawah, karena kuantitas itulah yang lebih dulu kehabisan ruang

k

Posisi di dalam satu baris, dihitung dari 0 di tepi kiri. Baris ke-n punya angka pada k = 0 sampai k = n, yaitu n + 1 bilangan. Dua posisi di tepinya istimewa: C(n, 0) dan C(n, n) keduanya bernilai 1, dan pasangan angka 1 itulah yang berderet di sepanjang sisi segitiga. Semua yang berada di antara keduanya adalah jumlah dua angka dari baris di atasnya

C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

Aturan yang membangun seluruh segitiga, dan aturan yang diikuti halaman ini. Angka pada posisi k di baris n adalah jumlah dua angka di atasnya — yang tepat di kiri atas dan yang tepat di kanan atas, dan itulah sebabnya tepinya hanya pernah bertemu satu angka lalu tetap bernilai 1. Penjumlahannya dilakukan dengan cara ini dan bukan dengan rumus faktorial, sehingga setiap nilai antara bersifat eksak dan segitiga di layar benar-benar merupakan barisan penjumlahan yang dilakukan halaman ini

C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)

Sisi lain dari bilangan yang sama: koefisien binomial, yang menghitung banyaknya cara memilih k benda dari n ketika urutannya tidak penting. Ia memberi nilai yang sama dengan aturan penjumlahan, dan itulah makna angka-angka pada baris itu ketika segitiga dipakai untuk mencacah dan bukan untuk aljabar. Halaman ini tidak menghitung dengannya, karena keduanya lalu menjadi dua aritmetika terpisah yang bisa saling menyimpang

2^n

Jumlah baris ke-n, sekaligus alasan masukannya berhenti di tempatnya. Jumlahkan sebuah baris dan Anda selalu mendapat pangkat dari dua: baris ke-0 berjumlah 1, baris ke-1 berjumlah 2, baris ke-2 berjumlah 4, dan baris ke-6 berjumlah 64. Melipatduakan setiap baris itulah sebabnya jumlah baris meninggalkan rentang yang masih terwakili tepat sebelum koefisien mana pun melakukannya — baris ke-52 berjumlah 4.503.599.627.370.496 dan baris ke-53 berjumlah 9.007.199.254.740.992, satu langkah melewati bilangan bulat terakhir yang masih dipegang tepat oleh bilangan pecahan presisi ganda

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

Baris ke-6 yang dicetak lengkap, yaitu baris terakhir pada masukan bawaan yang berisi tujuh baris. Bacalah kembali terhadap baris di atasnya dan setiap angkanya adalah jumlah dua tetangganya: 6 adalah 1 + 5, 15 adalah 5 + 10, 20 adalah 10 + 10, lalu cerminnya. Baris itu selalu simetris terhadap bagian tengahnya, karena memilih k benda untuk dipertahankan dan memilih n - k benda untuk dibuang adalah pilihan yang sama yang dihitung dua kali

Segitiga ini cara tercepat menjabarkan binomial dengan tangan. Untuk menjabarkan (x + y) pangkat enam Anda membaca baris ke-6 langsung dari halaman ini lalu menuliskan 1x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + 1y⁶, tanpa mengalikan sukunya satu per satu. Ketika yang Anda butuhkan hanya satu koefisien, halaman kombinasi menghitungnya langsung dari n dan k tanpa membangun baris-baris di antaranya. Pertanyaan peluang dengan dua hasil memakai bilangan yang sama: peluang muncul tepat 4 sisi angka dalam 10 lemparan adalah C(10, 4) dibagi 2¹⁰, dan angka 1.024 pada penyebut itu adalah jumlah baris ke-10. Segitiga ini juga menjawab pertanyaan pencacahan yang kelihatannya tidak berhubungan — banyaknya jalur melintasi kisi dari satu sudut ke sudut di seberangnya, banyaknya cara mencapai sebuah petak tertentu kalau Anda hanya boleh bergerak ke kanan dan ke bawah, dan banyaknya himpunan bagian yang berukuran tertentu. Ketika pertanyaannya berapa bilangannya, halaman inilah yang mencetaknya; ketika pertanyaannya berapa banyak cara sesuatu bisa terjadi, halaman kombinasi jalur yang lebih pendek; dan ketika pertanyaannya menyangkut bilangan Fibonacci yang bersembunyi di diagonalnya, halaman Fibonacci membahas barisan itu secara langsung.

1. Tujuh baris, berakhir pada 1 6 15 20 15 6 1

   1. Baris ke-0 berisi 1, dan baris ke-1 berisi 1, 1 — kedua tepi setiap baris selalu bernilai 1
   2. Baris ke-2: 1 + 1 = 2 di tengahnya, sehingga menjadi 1, 2, 1
   3. Baris ke-3: 1 + 2 = 3 dua kali, sehingga menjadi 1, 3, 3, 1; baris ke-4: 1 + 3 = 4 dan 3 + 3 = 6, sehingga menjadi 1, 4, 6, 4, 1
   4. Baris ke-5 dan baris ke-6 berlanjut dengan cara yang sama, berakhir pada 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
   5. Jumlahkan baris ke-6: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64, yaitu dua pangkat enam

   Masukan bawaan, dan ada dua hal yang layak diperiksa terhadap layar. Pertama, setiap bilangan adalah jumlah dua bilangan di atasnya: 15 adalah 5 + 10, 20 adalah 10 + 10, dan barisnya simetris karena 20 berada di tengah tujuh angka lalu berpasangan di kedua sisinya. Kedua, jumlah baris berlipat dua setiap kali — 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 — sehingga pembaca yang tahu baris di atasnya berjumlah 32 bisa menduga baris ini sebelum menjumlahkannya. Pelipatduaan itu adalah fakta yang sama dengan dua angka 1 di tepinya: setiap baris di atasnya menyumbangkan seluruh totalnya dua kali, sekali ke paruh kiri dan sekali ke paruh kanan.

2. Empat baris, segitiga terpendek yang masih berguna

   1. Baris ke-0 berisi 1; baris ke-1 berisi 1, 1
   2. Baris ke-2 berisi 1, 2, 1, dengan angka 2 berasal dari 1 + 1
   3. Baris ke-3 berisi 1, 3, 3, 1, dengan setiap angka 3 berasal dari 1 + 2
   4. Jumlahkan baris terakhir: 1 + 3 + 3 + 1 = 8, yaitu dua pangkat tiga

   Baris ke-3 adalah baris terakhir di sini, dan di situlah segitiga mulai menarik: 1, 3, 3, 1 adalah koefisien ekspansi binomial (x + y) pangkat tiga, jadi x³ + 3x²y + 3xy² + y³ bisa dituliskan dari baris ini tanpa menjabarkan apa pun. Baris ini juga baris terakhir yang cukup kecil untuk diperiksa dengan tangan dalam beberapa detik, dan itulah alasannya layak dilihat sebelum baris-baris yang lebih panjang. Perhatikan bahwa 4 baris berarti baris ke-0 sampai baris ke-3 — angka yang Anda masukkan adalah banyaknya baris, bukan indeks baris terbesar.

3. Satu baris, kasus yang paling sederhana

   1. Baris ke-0 adalah satu angka 1, tanpa apa pun di atasnya untuk dijumlahkan
   2. Satu baris yang diminta dan satu baris yang dicetak
   3. Jumlah barisnya adalah 1, yaitu dua pangkat nol

   Masukan terkecil yang diterima halaman ini, dan ia diterima dan bukan diperlakukan sebagai kosong. Segitiga dengan satu baris tidak merosot — ia justru kasus dasar yang menjadi asal setiap baris berikutnya. Membacanya juga memastikan pengindeksannya: meminta 1 baris memberi baris ke-0, bukan baris ke-1, dan itu penting begitu Anda membandingkan segitiga ini dengan sebuah ekspansi binomial. Jumlahnya 1 dan bukan 0 adalah pernyataan aritmetika yang sama dengan puncak segitiga yang berupa satu angka 1.

Banyaknya baris harus bilangan bulat dari 1 sampai 53. Batas atas itu ada karena setiap bilangan yang dicetak harus bilangan yang masih diwakili tepat oleh komputer, dan di atas titik itu dua bilangan bulat yang bertetangga melebur menjadi nilai yang sama — angka yang tercetak masih terlihat sepenuhnya biasa, hanya saja ia tidak lagi mewakili bilangan yang diklaimnya. Yang lebih dulu menyerah adalah jumlah baris: baris ke-52 berjumlah 4.503.599.627.370.496 dan baris ke-53 berjumlah 9.007.199.254.740.992, satu langkah melewati bilangan bulat terbesar yang masih dipegang tepat oleh bilangan pecahan presisi ganda, yaitu 9.007.199.254.740.991. Koefisien satuannya sendiri bertahan lebih lama — yang pertama melewati batas itu adalah C(57, 28) pada baris ke-57 — tetapi segitiga dicetak baris demi baris, jadi jumlah baris yang menentukan. Nol baris ditolak: segitiga kosong tidak mencetak apa pun, sehingga tidak ada jawaban yang bisa diberikan. Pecahan baris ditolak dan tidak dibulatkan, karena dua setengah baris bukanlah sesuatu yang ada. Baris-barisnya kembali sebagai satu baris datar berisi angka-angka yang dipisahkan koma, dengan baris-baris dipisahkan titik koma, dan tanpa pemisah ribuan di mana pun, sehingga koefisien besar tercetak sebagai deretan angka yang panjang tanpa pengelompokan. Pada segitiga yang lebar itu berarti satu baris panjang yang harus Anda gulir. Tabel rujukan di bawah memperlihatkan tujuh baris pertama dan tidak mengikuti masukan Anda, dan tidak ada satu baris pun yang bisa diminta langsung — halaman ini selalu mencetak dari atas ke bawah.

Segitiga Pascal dipakai untuk apa?

Terutama untuk menjabarkan binomial. Angka-angka pada baris ke-n adalah koefisien yang Anda dapat ketika menjabarkan (x + y) pangkat n, jadi baris ke-6 memungkinkan Anda menuliskan ketujuh suku (x + y) pangkat enam seketika, tanpa mengalikan sukunya satu per satu. Bilangan yang sama juga mencacah: C(n, k) adalah angka pada posisi k di baris n, sehingga keduanya menjawab pertanyaan seperti berapa banyak cara memilih 4 orang dari 10. Bilangan itu juga muncul di peluang, ketika peluang muncul tepat 4 sisi angka dalam 10 lemparan koin adalah C(10, 4) dari 2¹⁰ — dan angka 1.024 itu adalah jumlah baris ke-10. Pencacahan jalur pada kisi juga memakainya: banyaknya rute melintasi kisi dari satu sudut ke sudut di seberangnya dengan hanya bergerak ke kanan dan ke bawah adalah salah satu angka pada segitiga ini.

Mengapa masukannya berhenti pada 53 baris?

Karena jumlah baris berhenti menjadi bilangan bulat yang bisa diwakili tepat oleh komputer. Baris ke-52 berjumlah 4.503.599.627.370.496 dan baris ke-53 berjumlah 9.007.199.254.740.992, dan angka kedua itu satu langkah melewati nilai terbesar yang masih dipegang tepat oleh bilangan presisi ganda. Di atas titik itu dua bilangan bulat yang bertetangga menjadi nilai yang sama, sehingga angka yang tercetak masih terlihat biasa sementara ia sudah tidak lagi mewakili bilangan yang diklaimnya. Koefisien satuannya bertahan lebih lama — yang pertama melewati batas adalah C(57, 28), pada baris ke-57 — tetapi segitiga dicetak baris demi baris, jadi jumlah baris yang menentukan. Mencetak satu baris yang totalnya salah sementara angka-angkanya benar adalah hal yang membingungkan untuk dikirim ke pembaca.

Mengapa baris terakhir dicetak dua kali?

Karena pada segitiga yang besar baris terakhir adalah satu-satunya bagian yang diinginkan sebagian besar pembaca, dan menemukannya di dalam satu baris angka yang panjang adalah pekerjaan tersendiri. Mintalah 40 baris dan keluaran segitiganya menjadi dinding angka yang baris Anda ada di ujung kanannya; keluaran baris terakhir adalah baris yang sama, tersendiri, dalam ukuran yang bisa dibaca. Keduanya berasal dari perhitungan yang sama, jadi keduanya tidak mungkin berselisih. Jumlah baris dicetak untuk ketiga kalinya dengan alasan yang sama — ia satu bilangan yang menjawab pertanyaan yang tidak dijawab sekilas pandang oleh deretan angka itu.

Barisnya dimulai dari 0 atau dari 1?

Dari 0, yaitu kesepakatan yang biasanya dipakai untuk mengindeks koefisien. C(n, k) berarti angka pada posisi k di baris n, jadi satu angka 1 di puncak adalah baris ke-0 dan meminta 7 baris memberi Anda baris ke-0 sampai baris ke-6, berakhir pada 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 — tujuh angka, karena baris ke-n selalu berisi n + 1 angka. Ini penting ketika Anda membandingkan segitiga ini dengan sebuah ekspansi binomial: baris koefisien untuk (x + y) pangkat enam adalah baris ke-6, bukan baris ke-7. Angka yang Anda masukkan adalah banyaknya baris, bukan indeks baris terbesar.

Apa itu jumlah baris, dan mengapa selalu pangkat dari dua?

Jumlahkan baris mana pun dan Anda mendapat 2 pangkat indeks baris itu: baris ke-0 memberi 1, baris ke-6 memberi 64, baris ke-10 memberi 1.024. Alasannya adalah aturan yang membangun segitiga ini. Setiap baris dibuat dari baris di atasnya, dijumlahkan dengan dirinya sendiri yang digeser satu tempat, sehingga setiap bilangan pada baris di atasnya terhitung dua kali di baris bawahnya — sekali di sisi kiri dan sekali di sisi kanan. Total yang berlipat dua setiap kali menghasilkan pangkat dari dua. Fakta yang sama dibaca dengan cara lain: jumlah baris ke-n mencacah setiap himpunan bagian dari himpunan beranggota n, dan himpunan beranggota n punya 2ⁿ himpunan bagian. Itu sebabnya angka 1.024 pada dasar peluang sepuluh lemparan koin berasal langsung dari baris ke-10.

Dari mana bilangan Fibonacci muncul di segitiga ini?

Dari diagonal dangkalnya. Jumlahkan bilangan-bilangan di sepanjang garis yang menanjak ke kiri — misalnya 1, lalu 4, lalu 3 — dan total berjalannya keluar sebagai 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Itulah bilangan Fibonacci, yang setiap sukunya adalah jumlah dua suku sebelumnya. Alasannya, setiap angka pada sebuah diagonal dibangun dari dua angka di atasnya, satu di diagonal yang sama dan satu di diagonal berikutnya, sehingga diagonal-diagonal itu mewarisi langsung aturan Fibonacci. Kalkulator Fibonacci membahas barisan itu tersendiri kalau Anda ingin mengikutinya lebih jauh.

• Pascal's Triangle — the array of binomial coefficients, its additive rule, and the identities that fall out of it — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Coefficient — what C(n, k) counts, the factorial formula, and why the additive rule gives the same values — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Theorem — the expansion of (x + y)^n, whose coefficients are the rows of the triangle — Wolfram MathWorld (United States)