Kalkulator Fibonacci

F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n − 1) + F(n − 2) ⇒ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …; perbandingan dua suku berurutan → φ = (1 + √5) / 2 = 1,6180339887…

F(1) = F(2) = 1

Dua nilai awalnya, dan pilihan yang dinyatakan tegas oleh halaman ini. Menghitung mulai dari 1 berarti F(1) dan F(2) keduanya 1 dan F(10) adalah 55. Kesepakatan lain yang lazim menetapkan F(0) = 0 dan F(1) = 1, yang menggeser setiap indeks satu langkah sehingga suku kelima adalah 5 dan bukan 8. Tidak ada yang salah, tetapi keduanya berbeda pendapat tentang setiap indeks

F(n) = F(n − 1) + F(n − 2)

Pengulangannya, dan itulah keseluruhan definisinya. Setiap suku adalah jumlah dua suku sebelumnya: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8. Bekerja maju dari dua nilai awal adalah sebabnya halaman ini bisa menghasilkan seribu suku sama mudahnya dengan sepuluh suku — tidak ada rumus yang harus dipecahkan, hanya penjumlahan yang diulang

n

Banyaknya suku yang Anda inginkan, dari 2 sampai 78. Batas bawahnya 2 dan bukan 1 karena keluaran rasionya memerlukan satu suku dan suku sebelumnya, sehingga satu suku saja tidak punya pembagi; halaman ini menolaknya alih-alih mencetak rasio yang kosong. Batas atasnya adalah titik tempat sukunya berhenti eksak dalam aritmetika pecahan biasa

F(78) = 8.944.394.323.791.464

Suku terakhir yang bisa dicapai halaman ini, dan alasan ia berhenti di situ. F(79) adalah 14.472.334.024.676.221, yang melampaui bilangan bulat terbesar yang bisa disimpan secara eksak oleh bilangan berpresisi ganda — 9.007.199.254.740.991 — sehingga sejak titik itu angka yang tercetak hanya penghampiran dan bukan deretnya lagi. Halaman ini menolak 79 alih-alih mencetak suku yang hampir benar

F(n) / F(n − 1)

Keluaran rasionya. Nilainya bukan rasio emas, dan halaman ini tidak mengklaim demikian: 1,6667 adalah nilai pada suku kelima dan masih jauh dari 1,618. Yang ia adalah sebuah taksiran yang membaik dengan cepat — suku kedua puluh sudah tepat sampai delapan angka di belakang koma, yaitu ketelitian yang dicetak halaman ini

φ = 1.6180339887…

Rasio emas, bilangan yang didekati rasio-rasio itu. Ia adalah penyelesaian positif dari x² = x + 1, yaitu pengulangan yang sama bila ditulis sebagai persamaan — itu bukan kebetulan, melainkan sebabnya rasio Fibonacci mendarat di bilangan itu. Perhatikan bahwa taksiran yang dicetak paling banyak 1,61803399: halaman ini menampilkan delapan angka di belakang koma, dan nilai sebenarnya masih berlanjut melewatinya

Memeriksa satu suku adalah pemakaian yang lugas: sebuah teka-teki meminta suku kesepuluh Fibonacci atau sebuah buku teks meneruskan deretnya melewati titik yang masih nyaman dijumlahkan dengan tangan, dan halaman ini memberi nilainya beserta deretan suku yang menuju ke sana. Keluaran rasionya melayani pertanyaan yang berbeda, yaitu dari mana rasio emas datang. Melihat 2, 1,5, 1,6667, 1,6, 1,625, 1,615 menuju 1,618 adalah jalan yang jauh lebih pendek untuk memahami kaitannya daripada membaca pembuktian, dan tabel referensi di halaman ini disusun justru untuk bacaan itu. Pemakaian ketiga ada di dunia pemrograman dan perkuliahan, tempat pengulangan ini menjadi contoh pertama yang baku untuk rekursi, dan deretnya menjadi contoh baku definisi rekursif yang jauh lebih murah dihitung secara iteratif — perulangan di halaman ini adalah versi iteratifnya, dan itulah sebabnya 78 suku tidak memakan biaya apa pun. Angka-angkanya juga muncul dalam soal taksiran yang pertumbuhannya menumpuk pada dirinya sendiri: banyaknya cara menutup sebidang jalur dengan persegi dan domino, banyaknya jalan menaiki tangga satu atau dua langkah sekali, serta jumlah percabangan tumbuhan yang terbelah setiap musim semuanya mengikuti pengulangan yang sama. Kalau pertanyaannya menyangkut rasionya dan bukan deretnya, Kalkulator Rasio Emas membahasnya sebagai bilangan dengan sifatnya sendiri; kalau yang dibahas pola pertumbuhannya, kalkulator pertumbuhan eksponensial menangani versi mulus dari apa yang didekati suku-suku ini setahap demi setahap.

1. Sepuluh suku pertama: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

   1. Mulai dari 1 dan 1, dua nilai awal yang dipakai halaman ini
   2. 1 + 1 = 2, lalu 1 + 2 = 3, lalu 2 + 3 = 5, lalu 3 + 5 = 8
   3. Lanjutkan: 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55
   4. Sepuluh suku, jadi suku kesepuluhnya 55; rasio dua suku terakhir adalah 55 ÷ 34 = 1,61764706

   Masukan bawaan. Perhatikan bahwa suku kesepuluh adalah 55 dan rasio 55 terhadap 34 adalah 1,61764706 — dekat dengan rasio emas tetapi masih terlihat menyimpang pada angka ketiga di belakang koma. Itulah yang membuat deret ini layak diamati alih-alih sekadar dihafal: pemusatannya cepat, tetapi tidak seketika, dan sepuluh suku belum cukup untuk membuat delapan angka yang dicetak mencapai 1,61803399.

2. Deret terpendek: dua suku

   1. Dua suku adalah permintaan terkecil yang diterima halaman ini
   2. Deretnya hanya dua nilai awalnya: 1 dan 1
   3. Suku keduanya 1, jadi keluaran suku ke-n adalah 1
   4. Rasionya 1 ÷ 1 = 1 — sejauh yang bisa dicapai halaman ini dari rasio emas

   Batas bawahnya, dan alasan batas itu 2 dan bukan 1. Keluaran rasio memerlukan dua suku agar ada sama sekali; dengan satu suku tidak ada yang bisa dijadikan pembagi, sehingga halaman ini menolak 1 alih-alih mencetak rasio yang kosong atau bernilai nol. Rasio 1 juga merupakan titik awal seluruh pemusatan ini: setiap rasio sesudahnya adalah satu langkah menjauh darinya, dan perjalanan dari 1 ke 1,618 itulah yang diuraikan tabel di bawah suku demi suku.

3. Tempat rasionya menetap: dua puluh suku

   1. Lanjutkan pengulangannya dari suku kesepuluh: 34 + 55 = 89, 55 + 89 = 144, dan seterusnya
   2. Suku kedua puluhnya 6.765, dan suku kesembilan belasnya 4.181
   3. 6.765 ÷ 4.181 = 1,61803396317…
   4. Dibulatkan ke delapan angka di belakang koma yang dicetak halaman ini, hasilnya 1,61803396

   Dua puluh suku sudah cukup. Rasio emas yang sebenarnya dimulai dengan 1,6180339887, dan taksiran di sini sepakat dengannya sampai tujuh angka di belakang koma — penyimpangannya kini berada di angka kedelapan, yaitu angka terakhir yang dicetak. Bandingkan dengan kasus sepuluh suku tadi, yang galatnya sudah terlihat pada angka ketiga. Inilah maksud yang ingin disampaikan halaman ini: pengulangan itu sama sekali tidak menyebut rasio emas di dalam definisinya, tetapi ia menghasilkannya, dengan cepat dan hanya dari penjumlahan.

Banyaknya suku harus bilangan bulat dari 2 sampai 78. Satu ditolak karena keluaran rasio memerlukan dua suku agar ada sama sekali, dan 79 ditolak karena sukunya berhenti eksak di situ: F(78) adalah 8.944.394.323.791.464, bilangan Fibonacci terakhir yang masih muat secara eksak dalam nilai berpresisi ganda, sedangkan F(79) sudah melampaui batas 9.007.199.254.740.991. Halaman ini menolak permintaannya alih-alih mengembalikan suku yang menghampiri, karena bilangan yang hampir benar tetapi dicetak sampai enam belas angka terlihat persis seperti bilangan yang benar. Hitungannya dimulai dari 1, dan halaman ini memakai F(1) = F(2) = 1. Kesepakatan lain yang juga luas dipakai menetapkan F(0) = 0 dan F(1) = 1, yang menggeser setiap indeks satu langkah — menurut kesepakatan itu suku kelima adalah 5, sedangkan di sini 8. Kedua kesepakatan dipakai di buku teks maupun di perangkat lunak, jadi kalau Anda membandingkan halaman ini dengan sumber lain lalu angkanya meleset satu posisi, itulah sebabnya dan bukan kekeliruan. Keluaran rasionya adalah taksiran dan dicetak sampai delapan angka di belakang koma; nilainya tidak pernah persis sama dengan rasio emas untuk banyak suku yang berhingga mana pun, meskipun pada suku ketujuh puluh delapan nilai yang tercetak dan rasio emasnya sama pada delapan angka itu. Panel di atas mencetak rasionya dengan titik sebagai tanda desimal, sedangkan teks di halaman ini memakai koma sesuai kaidah bahasa Indonesia. Suku-sukunya sendiri dicetak sebagai daftar berpisah koma tanpa pemisah ribuan, sehingga suku yang panjang terbaca sebagai satu deretan angka dan membacanya dengan lisan lebih baik memakai keluaran suku ke-n. Terakhir, tabel referensi di bawah dipatok pada sepuluh suku pertama dan tidak mengikuti masukan Anda; tabel itu ada untuk memperlihatkan rasionya menetap, bukan untuk menjawab apa yang Anda ketik.

Deretnya dimulai dari F(0) atau F(1)?

Halaman ini mulai dari F(1), sehingga F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2, dan suku kesepuluhnya 55. Kesepakatan lain yang luas dipakai menetapkan F(0) = 0 dan F(1) = 1, yang menggeser setiap indeks satu langkah — menurut kesepakatan itu suku kelima adalah 5, sedangkan di sini 8. Keduanya dipakai di buku teks maupun di perangkat lunak, dan tidak satu pun keliru. Tetapi kalau Anda membandingkan halaman ini dengan sumber lain dan nilainya berselisih satu posisi, inilah sebabnya; ini cara paling umum sebuah jawaban Fibonacci menjadi salah.

Mengapa rasionya terus berubah dan tidak langsung menetap?

Karena ia sebuah limit dan bukan kesamaan. Setiap suku adalah jumlah dua suku sebelumnya, sehingga rasio suku-suku berurutan bergerak menurut aturannya sendiri, dan gerakannya bergantian di atas dan di bawah sasaran dengan setiap ayunan kira-kira setengah ukuran ayunan sebelumnya. Tabel di halaman ini memperlihatkannya: 2; 1,5; 2; 1,667; 1,6; 1,625; lalu menyempit ke 1,615 dan 1,619. Sepuluh suku sudah dekat, dua puluh suku cukup untuk delapan angka yang dicetak halaman ini, dan tidak ada banyak suku yang berhingga yang nilainya persis sama dengan rasio emas — hanya semakin dekat.

Apa itu rasio emas, dan mengapa deret ini menghasilkannya?

Rasio emas adalah 1,6180339887…, penyelesaian positif dari x² = x + 1. Persamaan itu adalah pengulangan Fibonacci yang ditulis dengan cara lain — kalau rasionya menetap pada suatu bilangan, bilangan itu harus memenuhi persamaan tersebut — dan itulah sebabnya deret ini mendarat di sana serta mengapa pemusatannya bukan kebetulan atau keanehan. Bilangan ini juga paling sulit didekati dengan pecahan, karena pecahan berlanjutnya berisi angka 1 semua, dan sifat itulah yang dimanfaatkan tumbuhan ketika menata jarak daun dan bijinya.

Mengapa saya hanya bisa meminta 78 suku?

Karena F(79) lebih besar daripada bilangan bulat terbesar yang masih bisa disimpan secara eksak oleh nilai berpresisi ganda, yaitu 9.007.199.254.740.991. F(78) adalah 8.944.394.323.791.464 dan eksak; F(79) adalah 14.472.334.024.676.221 dan akan tersimpan sebagai bilangan yang dekat dengannya tetapi tidak sama. Halaman ini menolak permintaannya alih-alih mencetak penghampiran, karena suku yang dicetak sampai enam belas angka terlihat persis seperti suku yang benar — galatnya tidak bisa dilihat dari keluarannya. Batas suku ini fakta aritmetika pecahan, bukan fakta matematis; deretnya sendiri berlanjut tanpa akhir.

Dari mana masalah kelinci masuk ke sini?

Fibonacci memperkenalkan deret ini lewat sebuah teka-teki: mulai dari sepasang kelinci, biarkan setiap pasangan butuh satu bulan untuk dewasa lalu menghasilkan sepasang baru setiap bulan, dan hitung pasangannya di awal setiap bulan. Hasil hitungannya 1, 1, 2, 3, 5, 8, dan seterusnya, karena semua pasangan yang sudah dewasa bulan lalu masih ada, sedangkan pasangan baru bulan ini berasal dari pasangan yang sudah dewasa sebulan sebelumnya — itulah pengulangannya, yang dicapai dari arah yang sama sekali berbeda. Kisah ini layak diketahui karena menunjukkan deret ini tidak didefinisikan oleh satu pemakaian saja.

Bisakah suku ke-n dihitung tanpa mendaftar semua suku sebelumnya?

Pada prinsipnya bisa, dan keluaran suku ke-n di halaman ini memberi Anda bilangan itu pada barisnya sendiri, tetapi bilangan itu dihasilkan oleh perulangan yang sama dan bukan oleh rumus pintasan. Alasannya ketepatan: ada bentuk tertutup, yaitu rumus Binet, yang memberi bilangan Fibonacci ke-n langsung dari rasio emas, tetapi bentuk itu melibatkan bilangan irasional yang dipangkatkan, dan dalam aritmetika pecahan nilainya menyimpang dari bilangan bulat sebenarnya untuk n yang besar. Menjumlahkan bilangan bulat bersifat eksak sedangkan rumus itu tidak, jadi halaman ini menjumlahkan. Bekerja maju dari dua nilai awal juga menjadi sebab 78 suku tidak memakan biaya apa pun — tidak ada rumus yang harus dipecahkan, hanya penjumlahan yang diulang 76 kali.

• Fibonacci Number — the recurrence, the closed form in terms of the golden ratio, and the identity that makes the ratio converge on it — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Ratio — the number 1.6180339887…, its definition as the positive root of x² = x + 1, and why it is the hardest number to approximate with fractions — Wolfram MathWorld (United States)
• Continued Fraction — why the all-ones continued fraction of the golden ratio is exactly what makes the Fibonacci ratios converge on it — Wolfram MathWorld (United States)