Lewati ke konten utama
CalcMax

Kalkulator Hukum Sinus

Rentang: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Rentang: 0 ° – 180 °

Rentang: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Hasil

2

Jumlah solusi (1 atau 2)

Sudut B
41,81 °
Sudut C
108,19 °
Sisi c
11,40 cm

Kalkulator hukum sinus menyelesaikan sebuah segitiga dari dua sisi dan satu sudut yang tidak diapit oleh kedua sisi itu, dan ia memberi tahu berapa banyak segitiga yang dibentuk oleh ketiga bagian tersebut sebelum menghitung satu pun di antaranya. Hukum ini juga disebut aturan sinus, dan rumusnya sama saja dengan nama apa pun yang Anda pakai. Bunyinya: di dalam segitiga mana pun, perbandingan sebuah sisi terhadap sinus sudut di hadapannya adalah sama untuk ketiga pasangannya — satu bilangan yang dipakai bersama oleh seluruh segitiga. Satu kenyataan itu sudah cukup untuk membawa Anda mengelilingi bangunnya: kalau Anda tahu satu sisi beserta sudut yang menghadapnya, perbandingannya sudah tetap, dan sisi maupun sudut lain bisa dipulihkan dari situ. Bentuk yang diambilnya adalah dua sisi dan satu sudut yang tidak berada di antara keduanya — ditulis SSA, dari sisi-sisi-sudut — dan itulah yang membedakannya dari halaman hukum kosinus di sebelahnya: bukan aljabarnya, melainkan pertanyaan yang datang lebih dulu. Tiga sisi menentukan sebuah segitiga secara lengkap; dua sisi dengan sudut yang diapit keduanya juga. Dua sisi dan satu sudut yang tidak diapit keduanya tidak. Sebabnya, sudut itu memastikan arah salah satu sisi tetapi tidak memastikan ke arah mana sisi yang lain berayun, dan ada dua cara menutup bangunnya dengan sisi kedua — yang satu bersandar ke belakang sehingga bertemu alas lebih awal dan menghasilkan segitiga kecil, yang satu bersandar ke depan sehingga menghasilkan segitiga yang lebih besar dengan satu sudut tumpul di tempat yang tadi lancip. Apakah keduanya bertahan bergantung pada apakah sisi kedua cukup panjang untuk menjangkau. Kalau terlalu pendek, tidak ada segitiga sama sekali dan halaman ini mengatakannya. Kalau tepat cukup panjang — mendarat tegak lurus di sisi ketiga — segitiganya tepat satu dan berbentuk siku-siku. Kalau lebih panjang daripada itu tetapi masih lebih pendek daripada sisi pertama, ada dua. Dan kalau lebih panjang daripada sisi pertama, segitiganya terkunci dan kembali hanya satu, sebab kedudukan kedua sudah melewati titik tempat ia masih bisa menutup. Inilah yang di buku pelajaran disebut kasus ambigu. Karena itu halaman ini menjawab dalam dua bagian: jumlah solusi, yaitu berapa banyak segitiga yang diperbolehkan oleh ketiga bagian itu, lalu ukuran-ukuran segitiga yang digambar dengan sudut terkecil dari kedua kemungkinan. Himpunan lengkapnya, termasuk pasangan tumpulnya kalau ada, ada di tabel rujukan di bawah. Sisi dapat Anda masukkan dalam sentimeter, meter, milimeter, inci, maupun kaki, dan sudutnya dalam derajat, radian, atau gradian; jawabannya tetap dilaporkan dalam sentimeter dan derajat.

Tujuh set bagian, dan segitiga yang dihasilkan masing-masingnya

Sisi a (cm)Sudut A (°)Sisi b (cm)Jumlah solusiSudut B (°)Sudut C (°)Sisi c (cm)Sudut B lainnya (°)
6308241.81108.1911.4138.19
5457281.8753.135.6698.13
7508261.168.98.53118.9
73510255.0289.9812.2124.98
8306122.02127.9812.61—
10609151.2168.7910.76—
920418.74151.2612.65—

Setiap baris adalah salah satu kasus yang dikerjakan halaman ini sendiri, dihitung dengan cara yang sama seperti panel menghitungnya, sehingga sebuah baris bisa ditandingkan dengan kotak isian di atas dan akan cocok sampai angka terakhir. Empat baris pertama memuat dua segitiga — pada setiap barisnya sisi kedua lebih panjang daripada sisi pertama, jadi ia bisa berayun ke sisi mana pun dari garis tegak lurus — dan tiga baris terakhir memuat satu. Baca kolom jumlah solusi dari atas ke bawah dan peralihannya terlihat: begitu melewati batasnya, jawabannya berhenti berupa pilihan. Kolom terakhir adalah yang perlu dilihat ketika jumlah solusinya 2. Kolom itu memuat pasangan tumpul dari sudut B, yaitu sudut yang dipakai segitiga kedua sebagai ganti sudut yang lancip, dan sudut ketiga segitiga itu ikut mengecil — pada baris pertama menyempit menjadi 11,81 derajat di tempat panel melaporkan 108,19 derajat. Kolom itu terbaca sebagai tanda pisah setiap kali hanya ada satu segitiga, sebab tidak ada sudut kedua untuk disebutkan; tanda itu adalah tanda pisah dan bukan angka nol, karena pasangan tumpulnya selalu ada sebagai sudut, dan yang tidak ada adalah segitiga yang dibangun di atasnya.

Rumus

a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C sin B = b · sin A ÷ a C = 180° − A − B c = a · sin C ÷ sin A

a dan A
Sisi yang Anda ketahui beserta sudut di hadapannya. Keduanya adalah pasangan yang menetapkan perbandingan untuk seluruh segitiga, dan salah satunya wajib ada agar hukum ini bisa dipakai sama sekali
b
Sisi kedua yang Anda ketahui. Inilah yang menentukan berapa banyak segitiga yang diperbolehkan, dan seluruh kasus ambigu bergantung pada bagaimana panjangnya dibandingkan dengan sisi a
B
Sudut di hadapan sisi b. Mengambil invers sinus dari perbandingannya selalu mengembalikan sudut lancip antara nol dan sembilan puluh derajat, dan ketika pasangan tumpulnya juga masih muat di dalam sudut lurus, ada segitiga kedua yang memakainya
C dan c
Sudut ketiga dan sisi ketiga, keduanya diperoleh setelah B ditetapkan: sudutnya dengan mengurangkan kedua sudut lain dari sudut lurus, sisinya dari perbandingan bersama yang sama

Pakai halaman ini ketika Anda mengetahui dua sisi dan satu sudut yang tidak berada di antara keduanya — dua arah bidik dan satu jarak menyeberangi teluk, dua kaki jalur pengukuran tanah yang sudutnya berada di ujung jauh — dan Anda ingin sisa segitiganya. Bentuk sudut-dan-sisi inilah satu-satunya yang tidak bisa ditangani hukum kosinus dengan nyaman, dan ia juga satu-satunya yang jawabannya bisa berupa pilihan dan bukan ukuran, sehingga halaman ini memimpin dengan jumlah solusinya. Kalau ketiga bagian itu memuat dua segitiga, periksa sudutnya dan bukan hanya sisinya sebelum memutuskan Anda sedang berdiri di segitiga yang mana: juru ukur yang membidik dua tanda medan biasanya tahu apakah sudut di depannya tajam atau tumpul, dan satu kenyataan itu sudah cukup untuk memilih. Memilih antara hukum sinus dan kosinus sebenarnya mudah: kalau ketiga sisinya yang Anda punya, atau dua sisi dengan sudut yang diapit keduanya, halaman hukum kosinus adalah alat yang tepat dan di sana tidak ada ambiguitas sama sekali. Dan kalau yang Anda butuhkan hanya satu sisi dari sebuah segitiga siku-siku, halaman segitiga siku-siku lebih pendek daripada keduanya.

Contoh hitungan

  1. Dua sisi dan sudut yang terbuka lebar, 6, 30 derajat, dan 8

    1. Perbandingan bersamanya adalah sisi a dibagi sinus sudut A, yaitu 6 sentimeter dibagi 0,5, atau 12
    2. Sinus sudut B adalah sisi b dibagi perbandingan itu, yaitu 8 dibagi 12, atau 0,6667
    3. Sudut yang sinusnya 0,6667 adalah 41,81 derajat — dan pelengkapnya, 138,19 derajat, punya sinus yang sama, jadi keduanya calon jawaban
    4. Sudut C adalah sisa dari sudut lurus: 180 dikurangi 30 dikurangi 41,81 sama dengan 108,19
    5. Sisi c datang dari perbandingan yang sama, 12 kali sinus 108,19 derajat, yaitu 11,4

    Nilai awal halaman ini sendiri, sekaligus gambaran buku ajar untuk kasus ambigu: sisi kedua lebih panjang daripada sisi pertama, jadi ia bisa berayun ke sisi mana pun dari garis tegak lurus dan tetap menutup bangunnya. Keempat bacaan di atas menggambarkan segitiga yang dibangun di atas sudut B yang lancip — yang sisi keduanya bersandar ke arah alas. Segitiga yang satunya memakai pasangan tumpul dari 41,81 derajat, yaitu 138,19 derajat, dan ia berada di kolom terakhir tabel di bawah; sudut ketiganya menyempit menjadi 11,81 derajat, bukan 108,19 derajat yang tercetak di sini. Keduanya jawaban yang benar untuk ketiga bagian informasi yang sama.

  2. Sudut yang sama dengan sisi kedua yang lebih pendek, 8, 30 derajat, dan 6

    1. Perbandingan bersamanya adalah 8 dibagi sinus 30 derajat, atau 16
    2. Sinus sudut B adalah 6 dibagi 16, atau 0,375
    3. Sudut yang sinusnya 0,375 adalah 22,02 derajat; pelengkapnya yang 157,98 derajat tidak menyisakan ruang untuk sudut A, sebab 30 ditambah 157,98 sudah melewati sudut lurus, jadi hanya pilihan lancip yang bertahan
    4. Sudut C adalah 180 dikurangi 30 dikurangi 22,02, yaitu 127,98
    5. Sisi c adalah 16 kali sinus 127,98 derajat, yaitu 12,61

    Tukar kedua sisinya dan ambiguitasnya hilang: 6 lebih pendek daripada 8, sehingga kedudukan kedua tidak lagi bisa menutup bangunnya dan hanya satu segitiga yang tersisa. Jumlah solusinya turun dari dua menjadi satu tanpa satu pun angka lain berubah sifatnya, dan itulah gunanya mencetak jumlah solusi lebih dulu — tiga jenis masukan yang sama menghasilkan jawaban yang berbeda hanya karena panjang kedua sisinya dibandingkan. Perhatikan bahwa segitiga yang bertahan justru yang tumpul di C, pada 127,98 derajat, sebab dengan sisi kedua yang lebih pendek bangunnya harus ditutup dengan menjangkau lebih jauh.

  3. Kasus batas, 5, 30 derajat, dan 10

    1. Perbandingan bersamanya adalah 5 dibagi sinus 30 derajat, atau 10
    2. Sinus sudut B adalah 10 dibagi 10, yang tepat sama dengan 1
    3. Sinus yang bernilai 1 memastikan sudutnya 90 derajat tanpa pilihan kedua, sebab tidak ada sudut lain antara nol dan 180 yang sinusnya sama
    4. Sudut C adalah 180 dikurangi 30 dikurangi 90, yaitu 60, dan sisi c adalah 10 kali sinus 60 derajat, yaitu 8,66

    Sisi keduanya cukup panjang untuk menjangkau tepat sekali: ia turun tegak lurus ke sisi ketiga dan segitiganya menjadi segitiga siku-siku dengan B tepat 90 derajat. Inilah garis pemisah antara tidak ada segitiga dan ada dua segitiga, dan menarik untuk memperhatikan apa yang terjadi ketika Anda melewatinya dari bawah — kedua penyelesaian muncul bersamaan begitu sisinya sedikit lebih panjang daripada ini, satu di atas sembilan puluh derajat dan satu lagi sedikit di bawahnya, lalu keduanya berpisah semakin jauh seiring sisinya bertambah panjang. Pada nilai tepatnya hanya ada satu, dan sinusnya keluar tepat 1 tanpa pembulatan.

  4. Sudut 90 derajat yang diberikan, bukan yang dicari

    1. Perbandingan bersamanya adalah 10 dibagi sinus 90 derajat, yaitu 10 itu sendiri
    2. Sinus sudut B adalah 6 dibagi 10, atau 0,6, sehingga sudutnya 36,87 derajat
    3. Sudut C adalah 180 dikurangi 90 dikurangi 36,87, yaitu 53,13
    4. Sisi c adalah 10 kali sinus 53,13 derajat, yaitu 8

    Di sini sudut siku-sikunya termasuk bagian yang Anda berikan, bukan sesuatu yang ditemukan oleh aritmetikanya, dan perbandingan bersamanya menjadi sisi miring dibagi satu — yaitu sisi miring itu sendiri. Dari situ hukum sinus memberi kedua sudut lancipnya secara langsung, dan sisi ketiganya keluar tepat 8, bilangan yang bersih karena ini tidak lain adalah segitiga tiga-empat-lima yang diperbesar dua kali. Ini pemeriksaan yang berguna untuk seluruh halaman: setiap kali sisi yang menghadap sudut siku-siku adalah yang terpanjang di antara ketiganya, semuanya harus cocok dengan teorema Pythagoras, dan di sini memang cocok.

Batasan

Ada tiga batas yang perlu dinyatakan terus terang. Pertama, panel mencetak satu segitiga, bukan dua. Ketika jumlah solusinya 2, keempat bacaan di bawahnya milik segitiga yang dibangun di atas sudut B yang lancip, sedangkan pasangan tumpulnya disebutkan di kolom terakhir tabel rujukan, bukan ditampilkan di panel — panel punya satu tempat untuk sebuah jawaban dan tidak punya cara menyajikan dua jawaban berdampingan, jadi pilihannya adalah mencetak sudut yang lebih kecil lalu menunjuk ke sudut yang lain. Kedua, ketiga bagian itu harus masuk akal sebelum apa pun bisa diselesaikan: sudut yang diberikan harus benar-benar berada di antara nol dan seratus delapan puluh derajat, dan kalau sisi kedua terlalu pendek untuk mencapai sisi ketiga maka tidak ada segitiga dan halaman ini melaporkan hal itu daripada mengarang satu segitiga. Sudut yang tepat nol atau tepat sudut lurus ditolak, bukan didekati, sebab segitiga dengan sudut nol tidak punya bentuk untuk diselesaikan. Ketiga, bacaannya diberikan sampai dua angka di belakang koma, dan itu berhenti berarti pada segitiga yang sangat besar: sisi sepanjang beberapa ratus juta sentimeter tidak sanggup lagi memuat perseratusan di dalam bilangan pecahan ganda, jadi perlakukan angka di belakang koma pada panjang sisi yang tercetak sebagai petunjuk saja begitu bangunnya sebesar itu. Sudutnya tidak menghadapi masalah ini, sebab seperseratus derajat tetap seperseratus derajat berapa pun besar segitiganya.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa yang dimaksud kasus ambigu pada hukum sinus?
Kasus ambigu adalah keadaan ketika dua sisi dan satu sudut yang tidak diapit keduanya memungkinkan dua segitiga yang berbeda, bukan satu. Sudut yang diberikan memastikan arah salah satu sisi tetapi tidak memastikan ke arah mana sisi yang lain berayun, sehingga sisi kedua bisa bersandar ke belakang dan menutup bangunnya lebih awal, atau bersandar ke depan dan menutupnya lebih lambat — segitiga yang satu kecil dengan satu sudut tumpul di tempat segitiga yang lain besar dan lancip. Keduanya memakai tiga bagian informasi yang sama. Halaman ini menghitung jumlah solusinya lebih dulu lalu menyelesaikan yang lancip, sebab apakah kedudukan kedua ada sama sekali bergantung pada bagaimana panjang kedua sisinya dibandingkan.
Bagaimana saya tahu ada satu segitiga atau dua?
Bandingkan sisi kedua dengan sisi pertama. Hitung sisi kedua dikalikan sinus sudut yang diberikan lalu dibagi sisi pertama: kalau bilangan itu di atas satu, ketiga bagian itu tidak membentuk segitiga sama sekali, sebab tidak ada sudut yang sinusnya lebih besar daripada satu. Kalau di bawah satu, Anda mendapat sudut yang lancip, dan ada segitiga kedua setiap kali pasangan tumpulnya masih menyisakan ruang untuk sudut yang diberikan — yaitu setiap kali kedua sudut itu bila dijumlahkan tetap di bawah 180 derajat. Halaman ini melakukan perbandingan itu untuk Anda dan mencetak jumlah solusinya sebagai jawaban utamanya.
Segitiga yang mana yang ditampilkan kalkulator ini?
Segitiga yang dibangun di atas sudut B yang lebih kecil, yaitu segitiga yang sudut ketiganya lebih besar. Panel mencetak jumlah solusinya lalu keempat bacaan untuk segitiga itu, dan pasangan tumpul dari B muncul di kolom terakhir tabel rujukan di sebelahnya, sehingga keduanya ada di halaman ini. Alasan menampilkan satu dan bukan keduanya adalah karena panel hasil hanya punya satu tempat untuk sebuah jawaban; mencetak dua set berisi empat angka tanpa ruang untuk memberi label justru lebih buruk daripada mencetak satu lalu menyebutkan yang lain.
Mengapa halaman ini menolak sudut 0 atau 180 derajat?
Karena segitiga dengan sudut nol bukanlah segitiga — ia hanya ruas garis dengan sebuah titik di atasnya, dan sisi yang menghadap sudut nol itu harus ikut bernilai nol. Kedua nilai itu berada di batas tempat bangunnya berhenti ada, bukan di tepi aritmetikanya, dan jawaban yang jujur adalah mengatakannya daripada mengembalikan sudut nol dan sisi nol yang terlihat seperti penyelesaian. Sudut di antara keduanya tidak masalah, termasuk sudut yang sangat dekat ke salah satu ujungnya, tempat segitiganya menjadi sangat panjang dan sangat tipis tetapi tetap segitiga yang sungguhan.
Kapan memakai hukum sinus dan kapan memakai hukum kosinus?
Pakailah hukum sinus bila Anda punya sebuah sisi beserta sudut di hadapannya dan satu bagian lain, dan hukum kosinus bila Anda punya ketiga sisinya atau dua sisi dengan sudut yang diapit keduanya. Kasus yang menentukan pilihan adalah dua sisi dengan sudut yang tidak berada di antara keduanya: itulah bentuk halaman ini, dan itulah yang ditangani hukum kosinus dengan canggung karena harus menyelesaikan persamaan kuadrat. Bentuk itu juga yang membawa ambiguitas, dan karena itulah halaman ini menghabiskan jawaban utamanya untuk jumlah solusi.
Mengapa panjang sisi yang tercetak hanya akurat sampai dua angka di belakang koma?
Dua angka di belakang koma adalah pembulatan yang dipakai halaman ini, dan untuk segitiga biasa itu jauh di dalam batas yang sanggup diwakili bilangan pecahan ganda. Pada segitiga yang sangat besar tidak demikian: sisi sepanjang beberapa ratus juta sudah menghabiskan presisi bilangannya sebelum angka di belakang koma sempat berarti, jadi angka terakhir pada bacaan seperti itu ikut terbawa saja dan bukan hasil pengukuran. Sudutnya tidak mengalami masalah ini, sebab seperseratus derajat tetap seperseratus derajat berapa pun besar segitiganya.

Referensi

Kalkulator terkait

Kalkulator Hukum KosinusHitung ketiga sudut segitiga dari ketiga sisinya.Kalkulator SegitigaSisi ketiga, sudut, dan luas dari dua sisi dan satu sudut.Kalkulator Luas SegitigaSetengah alas dikali tinggi tegak lurusnya.Kalkulator Segitiga Siku-sikuHitung segitiga siku-siku dari dua nilai: sisi, sudut, luas.Kalkulator TrigonometriSatu sudut, tiga nilai: sinus, kosinus, dan tangennya.