Kalkulator Hukum Kosinus

a² = b² + c² − 2bc·cos A cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc)

a, b, c

Ketiga sisi segitiga, dalam satuan apa pun yang Anda suka asalkan ketiganya memakai satuan yang sama. Sisi a adalah sisi di hadapan sudut A, dan kedua sisi lain mengikuti pola yang sama

A

Sudut di hadapan sisi a — sudut yang dipulihkan oleh bentuk hukum ini. Kedua sudut lain datang dari rumus yang sama dengan huruf-hurufnya diputar

cos A

Kosinus sudut tersebut, dan itulah yang diberikan ketiga sisi secara langsung. Memulihkan sudutnya dari kosinus adalah langkah terpisah, dan langkah itulah yang menempatkan bacaannya di antara nol dan seratus delapan puluh derajat

2bc

Dua kali hasil kali kedua sisi yang bertemu di sudut itu. Inilah suku koreksi yang tidak dimiliki teorema Pythagoras, dan inilah yang membuat hukum ini bekerja ketika tidak ada sudut yang siku-siku

Pakai halaman ini ketika Anda memiliki ketiga sisi sebuah segitiga dan ingin sudutnya — sebidang tanah yang diukur mengelilingi batasnya, sebuah braket yang dipotong menurut tiga panjang, atau segitiga di atas peta yang sisinya bisa Anda langkahi tetapi sudutnya tidak bisa Anda bidik. Halaman ini satu-satunya di antara kedua halaman segitiga yang tidak membutuhkan sudut untuk memulai, dan justru di situlah hukum sinus sama sekali tidak menolong. Halaman ini juga cara tercepat untuk mengetahui apakah tiga panjang bisa membentuk segitiga sebelum Anda membangun apa pun: masukkan ketiganya, lalu entah tiga sudut kembali atau sebuah pesan memberi tahu sisi mana yang terlalu panjang. Kalau yang Anda punya dua sisi beserta sudut di antara keduanya, itu bentuk sisi-sudut-sisi, yang menjadi wilayah halaman segitiga dan mendarat di teorema yang sama dari ujung yang lain. Kalau yang Anda inginkan luas segitiganya dan bukan sudutnya, ketiga sisi itu juga satu-satunya yang dibutuhkan rumus Heron. Dan kalau yang Anda punya sebuah sisi dengan dua sudut, atau dua sisi dengan sudut yang tidak berada di antara keduanya, halaman hukum sinus adalah yang tepat.

1. Segitiga tiga-empat-lima, yang satu sudutnya tepat siku-siku

   1. Ambil sudut di hadapan sisi yang panjangnya 5 sentimeter
   2. Kuadrat kedua sisi lainnya berjumlah 9 ditambah 16, yaitu 25
   3. Suku koreksinya adalah dua kali 3 kali 4 kali kosinus sudut itu; menyamakan seluruh bentuknya dengan 25 menyisakan kosinus bernilai nol, jadi sudutnya 90 derajat
   4. Kedua sudut lain mengikuti rumus yang sama dengan huruf-hurufnya diputar, dan keluar 36,87 serta 53,13

   Nilai awal halaman ini sendiri, dan segitiga yang sudah ditemui setiap pembaca. Inilah kasus tempat hukum kosinus dan teorema Pythagoras sepakat: suku koreksinya lenyap karena kosinus sudut siku-siku adalah nol, dan rumusnya menyusut kembali menjadi teorema itu. Kedua sudut lancipnya adalah pasangan yang menunjukkan mengapa halaman ini bisa dipercaya — jumlahnya tepat 90, dan sudut ketiganya bulat 90 tanpa pembulatan apa pun.

2. Segitiga sama sisi, yang tidak menyisakan pembulatan

   1. Ketiga sisinya sama panjang, jadi ketiga sudutnya juga sama besar
   2. Ketiga sudutnya berjumlah 180 derajat
   3. 180 dibagi 3 tepat 60, jadi setiap bacaan adalah 60 tanpa satu pun angka di belakang koma yang hilang

   Tiga sisi yang sama memberi tiga sudut yang sama, dan karena ketiganya harus berjumlah sudut lurus, masing-masingnya tepat enam puluh derajat — satu-satunya baris di tabel bawah yang ketiga bacaannya eksak dan tidak satu pun bernilai nol. Baris ini juga pemeriksaan yang berguna untuk rumusnya: suku koreksinya di sini adalah dua kali 5 kali 5 kali kosinus enam puluh derajat, yaitu 25, dan 25 ditambah 25 dikurangi 25 adalah 25, yaitu kuadrat sisi ketiganya. Rumusnya sepakat dengan dirinya sendiri.

3. Segitiga tumpul dengan sisi 2, 3, dan 4

   1. Ambil sudut di hadapan sisi terpanjang, yaitu sudut yang mungkin tumpul
   2. Kuadrat kedua sisi lainnya berjumlah 4 ditambah 9, yaitu 13
   3. Kurangi dengan kuadrat sisi terpanjang, 16, sehingga tersisa minus 3
   4. Bagi dengan dua kali hasil kali kedua sisi lainnya, yaitu 12, sehingga kosinusnya minus 0,25
   5. Sudut yang kosinusnya minus 0,25 adalah 104,48 derajat, dan kedua sudut lain menyusul pada 28,96 serta 46,57

   Sudut di hadapan sisi terpanjang adalah yang tumpul, dan itu aturan dan bukan kebetulan: sisi terbesar menghadap sudut terbesar, dan begitu satu sisi lebih panjang daripada akar dari jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, sudut di hadapannya melewati sudut siku-siku. Di sini 4 lebih panjang daripada akar tiga belas, jadi sudut di hadapannya 104,48 derajat. Perhatikan jumlah ketiga bacaannya: 180,01, satu per seratus di atas sudut lurus, karena masing-masing dibulatkan sendiri-sendiri. Paragraf batasan di bawah berbicara tepat tentang hal ini.

4. Tiga sisi yang hanya pas-pasan, 3, 4, dan 7

   1. Tiga ditambah empat sama dengan tujuh, tepat sepanjang sisi terpanjangnya
   2. Suku koreksinya mencapai nilai ekstremnya, dan kosinus sudut di hadapan sisi terpanjang keluar bernilai minus satu
   3. Sudut yang kosinusnya minus satu adalah 180 derajat, dan kedua sudut lain mengecil menjadi nol

   Tujuh tepat tiga ditambah empat, jadi segitiganya tidak menyisakan ruang sama sekali: kedua sisi yang lebih pendek tergeletak rata di sepanjang sisi terpanjang dan bangunnya menjadi garis lurus dengan ketiga sudutnya runtuh ke atasnya. Inilah batas yang diperbolehkan ketaksamaan segitiga, dan batas itu dicetak dan bukan ditolak karena ia nilai batas yang sungguhan — sudutnya memang menuju 0, 0, dan 180. Naikkan salah satu sisi pendek itu sedikit saja dan segitiga yang sesungguhnya muncul, dengan sudut positif yang membesar seiring kedua sisinya berpisah; turunkan, dan halaman ini melaporkan bahwa tidak ada segitiga dengan ketiga sisi tersebut.

Ada tiga batas yang perlu dinyatakan terus terang. Pertama, ketiga sudutnya dihitung sendiri-sendiri dari ketiga sisinya dan masing-masing dibulatkan ke dua angka di belakang koma, sehingga ketiganya sering berjumlah 180,01 atau 179,99 dan bukan tepat sudut lurus — segitiga dua-tiga-empat meleset seperseratus, seperti ditunjukkan contoh ketiga di atas. Pilihan yang lain adalah menghitung dua sudut lalu menurunkan sudut ketiga dengan pengurangan, dan cara itu selalu berjumlah tepat 180 — tetapi cara itu merusak kesimetriannya dari ujung yang lain: segitiga sama kaki dengan dua sisi sepanjang 3 dan alas 3,3 memiliki dua sudut alas 56,63 derajat, dan cara tersebut mencetaknya sebagai 56,63 dan 56,64, karena sudut ketiganya dikurangkan dari dua nilai yang sudah dibulatkan lebih dulu. Meleset seperseratus derajat dinilai sebagai kebohongan yang lebih kecil. Kedua, ketiga sisinya harus memenuhi ketaksamaan segitiga: setiap sisinya lebih pendek daripada jumlah kedua sisi lainnya. Halaman ini menolak semua yang tidak memenuhinya, dan menerima kasus batas ketika satu sisi tepat sama dengan jumlah kedua sisi lainnya, yang menghasilkan segitiga gepeng dengan sudut 0, 0, dan 180 derajat. Ketiga, halaman ini tidak mencetak panjang sisi maupun luas. Sisi-sisinya bukan hilang — ketiganya adalah bilangan yang Anda ketik sendiri, dan segitiganya ditentukan sepenuhnya oleh ketiga bilangan itu, jadi tidak ada lagi yang perlu dilaporkan. Kalau yang Anda inginkan luasnya, itu keluaran lain dari ketiga bilangan yang sama.

Hukum kosinus dipakai untuk apa?

Untuk dua pekerjaan yang tidak bisa dilakukan teorema Pythagoras. Pertama, ketika Anda memiliki ketiga sisi sebuah segitiga dan ingin sudutnya, dan itulah yang dikerjakan halaman ini: teorema itu hanya menghasilkan sudut kalau salah satunya sudah siku-siku, sedangkan suku koreksi tambahannya yang membuatnya bekerja di segitiga lain. Kedua, ketika Anda memiliki dua sisi beserta sudut di antara keduanya dan ingin sisi ketiganya — halaman segitiga di sebelah memakainya dengan cara itu. Kedua arah itu adalah persamaan yang sama, dibaca dari ujung mana pun.

Mengapa ketiga sudut saya berjumlah 180,01 dan bukan 180?

Karena setiap sudut dihitung dari ketiga sisinya masing-masing lalu dibulatkan ke dua angka di belakang koma, dan tiga pembulatan terpisah belum tentu saling menghapus. Ini bukan cacat dan bukan berarti segitiganya mustahil; ini berarti setiap bacaan yang tercetak berada dalam jarak seperseratus derajat dari sudut yang sebenarnya. Pilihan yang lain — hitung dua sudut lalu dapatkan sudut ketiga dengan mengurangkannya dari 180 — selalu berjumlah tepat, tetapi cara itu membulatkan dua sudut lalu mengurangkannya, sehingga segitiga sama kaki dengan dua sudut alas 56,63 derajat keluar sebagai 56,63 dan 56,64, yang justru kebohongan lebih buruk ke arah yang berbeda.

Apakah sembarang tiga panjang sisi bisa membentuk segitiga?

Tidak. Setiap sisi harus lebih pendek daripada gabungan kedua sisi lainnya, dan itulah ketaksamaan segitiga: rute terpendek antara dua sudut adalah sisi yang menghubungkan keduanya secara langsung, jadi berkeliling lewat sudut ketiga tidak mungkin lebih pendek. Kalau satu sisi lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya, halaman ini menolak masukannya daripada mengembalikan sudut yang mustahil. Kalau panjangnya tepat sama, segitiganya gepeng dan sudutnya keluar sebagai 0, 0, dan 180, dan itu diterima halaman ini karena merupakan batas yang sungguhan dan bukan kesalahan.

Mengapa halaman ini memberi tiga sudut dan tidak memberi panjang sisi?

Karena ketiga sisinya adalah masukannya. Segitiga dengan tiga sisi yang diberikan sudah ditentukan sepenuhnya — hanya ada satu bentuk yang mungkin, di luar pergeseran dan pemutaran — sehingga mencetak sisinya kembali hanya mengulang apa yang baru saja Anda ketik. Yang ditambahkan halaman ini adalah bagian yang tidak bisa Anda lihat: di mana letak ketiga sudutnya. Ketiga bilangan yang sama juga memberi luasnya, dan itu alat yang terpisah.

Bagaimana saya tahu segitiganya punya sudut tumpul?

Lihat sisi terpanjangnya. Kalau kuadratnya lebih besar daripada jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, sudut di hadapannya tumpul; kalau keduanya sama, sudut itu tepat siku-siku; kalau lebih kecil, ketiga sudutnya lancip. Segitiga 2-3-4 pada contoh di atas adalah kasus tumpulnya — enam belas berbanding tiga belas — dan sudut yang menjadi tumpul selalu sudut terbesar, karena sisi terbesar menghadap sudut terbesar.

Kapan memakai halaman ini dan kapan memakai hukum sinus?

Pakailah halaman ini bila Anda mengetahui ketiga sisinya, atau dua sisi beserta sudut di antara keduanya. Pakailah hukum sinus bila Anda mengetahui sebuah sisi beserta sudut di hadapannya dan satu bagian lain, karena itulah informasi yang dibutuhkan perbandingan sisi terhadap sinus. Kasus tempat kedua halaman bertumpang tindih adalah dua sisi dengan sudut yang tidak berada di antara keduanya, dan di sana hukum sinus adalah alat yang lebih baik — sekaligus kasus tempat sebuah segitiga bisa punya dua bentuk berbeda, yang tidak pernah perlu dikhawatirkan halaman ini.

• Law of Cosines — the relation between the three sides of a triangle and the cosine of one of its angles, and its reduction to the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the sine, cosine and tangent of an angle, their ranges, and why recovering an angle from a cosine gives a value between zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Cosines — the theorem worked through from first principles, with the side-angle-side and three-sides cases shown separately — Math is Fun (United Kingdom)