Kalkulator Sudut Ganda

sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos²θ − sin²θ tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

θ

Sudut awal yang Anda masukkan, dalam derajat atau radian. Nilainya boleh negatif dan boleh melewati satu putaran penuh; yang digandakan halaman ini adalah sudut ini, bukan angka yang dihasilkannya

2θ

Sudut hasil lipatan. Nilainya dilaporkan lebih dulu, dalam derajat, karena semua bacaan lain di halaman ini diambil pada sudut itu, bukan pada sudut yang Anda ketik

sin θ, cos θ

Sinus dan kosinus sudut asal. Identitasnya mengalikan keduanya, bukan menggandakan salah satunya — sebab itu jawabannya bukan dua kali lipat apa pun

Pakai halaman ini ketika sebuah sudut akan dilipatgandakan dan Anda ingin tahu ke mana sudut itu mendarat tanpa menghitung identitasnya dengan tangan — rotasi yang dikenakan dua kali, fase yang maju sebesar dua langkah, panjang gelombang atau periode yang dibaca pada frekuensi dua kali lipat. Rumus sudut ganda di bawah halaman ini adalah tiga identitas yang sama dengan yang dipakai kalkulator, jadi halaman ini sekaligus bisa dipakai untuk memeriksa hitungan tangan. Kalau yang Anda punya justru bacaan sudut gandanya dan Anda ingin sudut asalnya kembali, itu arah setengah sudut, dan itu bukan fungsi halaman ini. Dan kalau Anda ingin ketiga nilai pada sudut yang Anda ketik, bukan pada lipatannya, halaman trigonometri melakukan tepat itu, dan kedua halaman sepakat di semua tempat keduanya terdefinisi.

1. Sudut 30 derajat yang berlipat menjadi 60

   1. Dua kali tiga puluh derajat adalah enam puluh derajat, jadi semua bacaan diambil di sana
   2. sin 60 adalah √3/2, sekitar 0,866, dan cos 60 adalah setengah
   3. Tangennya adalah perbandingan keduanya, √3, sekitar 1,7321

   Sudut yang dipakai halaman ini saat dibuka, dan sudut yang menunjukkan alasan halaman ini ada. Sinus 30 derajat adalah 0,5, jadi dua kali nilai itu seharusnya 1 — tetapi sinus 60 derajat adalah 0,866, dan melipatgandakan bacaan pertama berapa kali pun tidak menghasilkan yang kedua. Identitasnya menjelaskan dari mana 0,866 datang: dua kali 0,5 kali 0,866, hasil kali sinus dan kosinus 30 derajat. Sudut gandanya dua kali lebih besar daripada sudut asalnya; nilainya tidak.

2. Sudut 22,5 derajat yang berlipat menjadi 45

   1. Dua kali dua puluh dua setengah adalah empat puluh lima derajat
   2. Pada 45 derajat titiknya berada di garis y = x, jadi sinus dan kosinusnya sama
   3. Bacaan yang sama berarti tangennya tepat satu, tanpa pembulatan

   22,5 derajat adalah setengah dari 45 derajat, dan itulah yang membuat baris ini menjadi rumus setengah sudut yang dibaca pada arah yang biasanya dicari orang. 45 derajat adalah satu dari sedikit sudut yang ketiga nilainya eksak, dan sudut itu tidak ada di tabel baku mana pun, jadi jalan menujunya adalah lewat sudut ganda, bukan lewat hafalan. Kedua nilai keluar 0,7071 karena pada sudut itu kedua koordinatnya sama besar, dan tangennya tepat satu, bukan 0,9999.

3. Sudut 90 derajat yang berlipat menjadi 180

   1. Dua kali sembilan puluh adalah seratus delapan puluh derajat, setengah putaran
   2. Titiknya berada di sumbu x negatif, jadi kosinusnya minus satu dan sinusnya nol
   3. Tangennya nol dibagi minus satu, yaitu nol

   Ini satu-satunya baris yang sudut gandanya mencapai nilai ekstrem: kosinusnya berada di nilai terkecil yang mungkin, minus satu. Tidak ada yang gagal di 90 derajat pada halaman ini, walaupun 90 derajat adalah sudut yang ditolak halaman trigonometri — tangennya tidak dibaca di sana, melainkan dibaca di 180 derajat, tempat nilainya baik-baik saja dan sama dengan nol. Memindahkan bacaan ke sudut lain sudah cukup untuk menjauhkannya dari kutub.

4. Sudut yang melewati satu putaran penuh, 750 derajat

   1. Tujuh ratus lima puluh derajat adalah tiga puluh derajat ditambah dua putaran penuh
   2. Melipatgandakannya menghasilkan 1.500 derajat, yaitu enam puluh derajat ditambah empat putaran penuh
   3. Empat putaran penuh tidak mengubah apa pun, jadi bacaannya sama seperti pada 60 derajat

   Keempat kolomnya identik dengan baris 30 derajat, dan memang seharusnya begitu: 750 derajat dan 30 derajat adalah sudut yang sama, jadi keduanya punya sudut ganda yang sama dan tiga nilai yang sama di sana. Tidak ada yang memperlakukan sudut besar sebagai kasus khusus — sudut gandanya dikembalikan ke rentang sebelum dibaca, dan putaran penuh dibuang. Sudut lima derajat di bawah satu juta berperilaku sama dengan alasan yang sama.

Ada tiga hal yang tidak dilakukan halaman ini. Pertama, tangen sudut ganda ditolak pada 45 derajat, pada 135 derajat, dan pada setiap sudut yang lipatannya sudut siku-siku atau tiga per empat putaran — termasuk versi negatif dan versi yang melewati satu putaran penuh dari sudut-sudut itu. Penolakan itu membawa serta seluruh sudutnya, walaupun sinus dan kosinus sudut gandanya di sana adalah bilangan biasa. Kedua, bacaannya diberikan sampai empat angka di belakang koma, dan sebagian besar di antaranya irasional: sinus eksak dari 30 derajat yang digandakan adalah akar tiga per dua, dan 0,866 adalah tempat nilai itu mendarat setelah pembulatan. Kosinusnya berperilaku lebih buruk daripada sinusnya di sini — identitasnya mengurangkan dua kuadrat, dan keduanya hampir sama besar di sekitar 45 derajat, jadi jawaban kecil yang keluar adalah selisih dua bilangan yang lebih besar. Ketiga, halaman ini tidak bisa dijalankan terbalik. Diberi sinus 0,866 untuk sebuah sudut ganda, sudut ganda itu bisa 60 derajat atau 120 derajat, dan sudut asalnya bisa salah satu dari tak hingga banyak sudut yang berlipat menjadi keduanya — memulihkan satu sudut dari sebuah nilai menuntut keputusan yang tidak diambil halaman ini.

Apakah sinus sudut ganda sama dengan dua kali sinus sudutnya?

Tidak, dan inilah kesalahan yang menjadi dasar halaman ini. Sinus 30 derajat adalah 0,5, tetapi sinus 60 derajat adalah 0,866, bukan 1. Melipatgandakan sudut bukan berarti menskalakan nilainya. Sinus sudut ganda yang sebenarnya adalah dua kali hasil kali sinus dan kosinus sudut asal — perkalian dua bacaan yang berbeda, bukan penggandaan satu bacaan.

Mengapa halaman ini menolak 45 derajat?

Karena 45 derajat berlipat menjadi 90 derajat, dan tangen 90 derajat tidak punya nilai. Sinus dan kosinus di 90 derajat baik-baik saja — satu dan nol — tetapi halaman ini juga melaporkan tangennya, dan jawaban sebagian yang disajikan sebagai jawaban utuh lebih buruk daripada tidak ada jawaban. Penolakan yang sama berlaku untuk 135 derajat, yang berlipat menjadi 270 derajat, dan untuk setiap sudut yang berjarak setengah putaran dari keduanya.

Apa saja tiga identitas sudut ganda?

Sinus sudut ganda adalah dua kali hasil kali sinus dan kosinus sudut asal. Kosinus sudut ganda adalah kuadrat kosinus dikurangi kuadrat sinus, yang juga bisa ditulis sebagai satu dikurangi dua kali kuadrat sinus atau dua kali kuadrat kosinus dikurangi satu — ketiganya bilangan yang sama, dan bentuk yang dipakai adalah bentuk yang nilai asalnya sudah Anda punya. Tangen sudut ganda adalah dua kali tangen asal dibagi satu dikurangi kuadrat tangen asal.

Mengapa 22,5 derajat layak diketahui?

Karena lipatannya adalah 45 derajat, dan 45 derajat adalah satu dari sedikit sudut dengan nilai eksak — setengah untuk sinus dan kosinus, dan tepat satu untuk tangennya. 22,5 derajat tidak ada di tabel baku mana pun, tetapi ia setengah dari sudut yang ada di sana, jadi ia bisa dicapai dengan membaca rumus sudut ganda dari arah sebaliknya. Bacaan terbalik itulah yang disebut rumus setengah sudut.

Bisakah sudutnya negatif atau lebih besar daripada satu putaran penuh?

Bisa, dan keduanya ditangani dengan cara yang sama: sudutnya digandakan lalu hasilnya dikembalikan ke rentang, sehingga 750 derajat terbaca persis seperti 30 derajat dan minus 30 derajat terbaca persis seperti 330 derajat. Putaran penuh dibuang karena tidak mengubah arah sudut gandanya. Satu-satunya yang perlu diperhatikan adalah bacaannya selalu dilaporkan pada rentang nol sampai satu putaran penuh.

Bisakah saya memasukkan sudut dalam radian?

Bisa — ada pemilih satuan di samping kotak isiannya, dan sudut gandanya tetap dilaporkan dalam derajat, karena itulah satuan yang dideklarasikan keluarannya. Sepertiga pi radian dan 60 derajat adalah sudut yang sama dan menghasilkan empat angka yang sama. Seperti biasa, periksa satuan apa yang dipakai sumber pembanding Anda, karena sebagian besar tabel terbitan memaksudkan derajat.

• Double-Angle Formulas — the three identities this page applies, and how they follow from the addition formulas — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Addition Formulas — the identities the double angle ones are a special case of, with everything derived rather than asserted — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — the ratios in a right triangle, from first principles — Math is Fun (United Kingdom)