Kalkulator Setengah Sudut

sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)

θ

Sudut awal yang Anda masukkan, dalam derajat atau radian. Nilainya boleh negatif dan boleh melewati satu putaran penuh; sudut ini dibawa ke rentang lebih dulu, baru dibagi dua

θ/2

Sudut separuh, selalu dilaporkan pada rentang nol sampai setengah putaran. Semua bacaan lain di halaman ini diambil pada sudut ini, bukan pada sudut yang Anda ketik

cos θ

Kosinus sudut penuh. Hanya bacaan ini yang dibutuhkan identitas sinus dan kosinus — tidak ada sinus di dalamnya, sebab itu kedua bentuk akar itu kembar kecuali pada satu tanda

sin θ

Sinus sudut penuh, dipakai oleh kedua bentuk pecahan tangen. Inilah pembeda antara bentuk akar dan kedua bentuk pecahan: di 90 derajat bentuk akarnya masih bekerja sedangkan bentuk pecahannya tidak

Pakai halaman ini ketika sebuah sudut akan dibagi dua dan Anda ingin ketiga perbandingan pada separuhnya tanpa menurunkan identitasnya dengan tangan — osilator pada setengah frekuensi penggeraknya, sudut antara dua permukaan cermin, tali busur yang dilihat dari setengah sudut pusatnya, atau satu langkah yang besarnya setengah putaran penuh maupun seperempat putaran. Rumus setengah sudut di bawah halaman ini adalah tiga identitas yang sama dengan yang dipakai kalkulator, jadi halaman ini sekaligus bisa dipakai untuk memeriksa hitungan tangan. Dua tetangganya menutup sisanya. Kalau yang Anda punya justru sudut separuhnya dan Anda ingin sudut penuhnya kembali, rumus sudut ganda berjalan ke arah sebaliknya, dan kedua halaman sepakat di semua tempat keduanya terdefinisi. Dan kalau Anda ingin ketiga perbandingan pada sudut yang ada di kotak isian, bukan pada separuhnya, halaman trigonometri membacanya di sana dan tidak ada yang dibagi dua.

1. Sudut 30 derajat yang terbagi menjadi 15

   1. Setengah dari tiga puluh derajat adalah lima belas derajat, jadi semuanya dibaca di sana
   2. Untuk sinusnya: kosinus 30 derajat adalah 0,866, jadi satu dikurangi itu sama dengan 0,134, dan setengah dari 0,134 adalah 0,067, yang akarnya 0,2588
   3. Kosinusnya memakai akar yang sama dengan tanda tambah: satu ditambah 0,866 adalah 1,866, setengahnya 0,933, dan akarnya 0,9659
   4. Tangennya adalah perbandingan keduanya, 0,2588 dibagi 0,9659, yaitu 0,2679

   Sudut yang dipakai halaman ini saat dibuka. Perhatikan dua baris terakhir: 0,2588 dan 0,9659 sama sekali bukan setengah dari 0,5 dan 0,866, walaupun kedua pasangan angka itu tidak berjarak jauh. Yang benar-benar terjadi adalah kedua bacaan itu dihitung ulang dari kosinus sudut penuhnya, lewat sebuah akar, bukan dengan membagi dua bacaan yang lama. Angka 0,2679 pada tangennya juga bukan separuh dari tangen 30 derajat, yang besarnya 0,5774.

2. Sudut 90 derajat yang terbagi menjadi 45

   1. Setengah dari sembilan puluh derajat adalah empat puluh lima derajat
   2. Kosinus 90 derajat adalah nol, jadi kedua identitas menyusut menjadi akar dari setengah, yaitu 0,7071
   3. Kedua akarnya menjadi bilangan yang sama di sini karena pada 45 derajat titiknya berada di garis y = x
   4. Tangennya adalah satu, dan tepat satu, bukan 0,9999

   Ini baris tempat identitasnya paling mudah dilihat: kosinus sudut penuhnya nol, sehingga satu dikurangi nol dan satu ditambah nol sama-sama menghasilkan satu. Pada sudut lain kedua bentuk akar itu berbeda, dan perbedaannya justru seluruh isi dari kedua rumus itu. Sudut 90 derajat juga sudut yang ditolak halaman trigonometri karena tangennya tidak punya nilai di sana, sedangkan di halaman ini 90 derajat baik-baik saja: yang dibaca adalah separuhnya, dan pada 45 derajat tangennya justru sama dengan satu.

3. Sudut 400 derajat, yang sama dengan 40 derajat

   1. Empat ratus derajat adalah empat puluh derajat ditambah satu putaran penuh
   2. Satu putaran penuh tidak mengubah ke arah mana sudutnya menunjuk, jadi sudutnya dibaca pada empat puluh derajat
   3. Setengah dari empat puluh adalah dua puluh, jadi ketiga perbandingannya diambil pada 20 derajat

   Baris ini memperlihatkan aturan yang paling mudah terlewat: sudutnya dibawa ke rentang lebih dulu, baru dibagi dua. Kalau urutannya dibalik, 400 derajat akan terbagi menjadi 200 derajat, dan jawabannya akan meleset jauh sementara angkanya tetap terlihat masuk akal. Karena urutannya seperti ini, 400 derajat dan 40 derajat menghasilkan keempat angka yang sama persis, dan begitu pula setiap sudut lain yang berjarak kelipatan satu putaran penuh darinya.

4. Sudut minus 30 derajat yang terbagi menjadi 165

   1. Minus tiga puluh derajat sama dengan tiga ratus tiga puluh derajat, yaitu sepertiga putaran sebelum satu putaran penuh
   2. Setengah dari tiga ratus tiga puluh adalah seratus enam puluh lima
   3. Seratus enam puluh lima derajat berada di kuadran kedua, jadi sinusnya tetap positif sedangkan kosinus dan tangennya negatif
   4. Sinusnya 0,2588, kosinusnya −0,9659, dan tangennya −0,2679

   Sudut negatif tidak menghasilkan separuh yang negatif, dan itu memang aturannya, bukan kesalahan: yang dilaporkan selalu sudut di paruh atas lingkaran. Bandingkan baris ini dengan baris 15 derajat di atas — nilai mutlak ketiga angkanya sama persis, hanya tandanya yang berbeda pada dua kolom terakhir. Itu bukan kebetulan: 165 derajat dan 15 derajat adalah dua sudut yang bercermin terhadap sumbu tegak, dan pencerminan itu membalik tanda kosinus sekaligus tandanya pada tangen, sedangkan sinusnya dibiarkan.

Ada tiga hal yang tidak dilakukan halaman ini. Pertama, tangen ditolak pada 180 derajat, pada 540 derajat, pada minus 180 derajat, dan pada setiap sudut yang diwakili ketiganya ditambah atau dikurangi kelipatan satu putaran penuh, karena separuh dari masing-masing adalah sudut siku-siku dan tangen tidak punya nilai di sana. Penolakan itu membawa serta seluruh bacaannya, walaupun sinus dan kosinus pada separuhnya di situ adalah bilangan biasa — satu dan nol. Kedua, ketiga perbandingannya dilaporkan sampai empat angka di belakang koma dan sebagian besar di antaranya irasional; sudut separuhnya sendiri lain perkara, sebab membagi bilangan bulat derajat paling buruk menghasilkan setengah derajat, dan dua angka di belakang koma sudah cukup untuk memuatnya dengan tepat. Ketiga, halaman ini tidak bisa dijalankan terbalik. Separuh sebuah sudut dimiliki bersama oleh semua sudut yang berjarak satu putaran penuh darinya dan tidak oleh sudut lain, jadi bacaan 20 derajat memberi tahu Anda bahwa sudut asalnya 40 derajat, atau 400 derajat, atau salah satu dari tak hingga banyak sudut di antaranya — sementara separuh dari 195 derajat akan berasal dari sudut asal di luar rentang yang diterima kotak isian, sehingga arah itu tidak punya jawaban di sini sama sekali.

Apakah sinus setengah sudut sama dengan setengah sinus sudutnya?

Tidak, dan itulah kesalahan yang menjadi dasar halaman ini. Sinus 30 derajat adalah 0,5, jadi setengahnya 0,25 — sedangkan sinus 15 derajat adalah 0,2588. Kedua angka itu cukup berdekatan sehingga jawaban yang salah terlihat masuk akal, dan karena itulah halaman ini mencetak jawaban yang benar beserta langkahnya. Sinus setengah sudut yang sebenarnya adalah akar dari satu dikurangi kosinus sudut penuh, dibagi dua: sebuah akar dari kosinus, bukan pecahan dari sinus.

Apa saja tiga identitas setengah sudut?

Sinus setengah sudut adalah akar dari satu dikurangi kosinus sudut penuh, dibagi dua. Kosinus setengah sudut adalah akar yang sama dengan tanda tambah di dalamnya, bukan tanda kurang. Tangen setengah sudut bisa ditulis tiga cara — satu dikurangi kosinus dibagi sinus, sinus dibagi satu ditambah kosinus, atau akar dari satu dikurangi kosinus per satu ditambah kosinus — dan ketiganya menghasilkan bilangan yang sama. Kedua bentuk pecahan biasanya yang paling sering dipakai, karena keduanya sama sekali tidak menuntut penarikan akar.

Mengapa sudut negatif tidak menghasilkan separuh yang negatif?

Karena sudutnya dibawa ke rentang sebelum dibagi, bukan sesudah. Minus 30 derajat sama dengan 330 derajat, dan setengah dari 330 derajat adalah 165 derajat. Kalau dibagi lebih dulu, hasilnya minus 15 derajat, yang juga sudut sungguhan, tetapi sudut itu tidak berada dalam rentang yang dilaporkan keluaran halaman ini dan akan berbeda dengan bagian lain halaman tentang sudut mana dari kedua sudut kembar itu yang dimaksud. Yang selalu dilaporkan adalah sudut di paruh atas lingkaran.

Mengapa halaman ini menolak 180 derajat?

Karena setengah dari 180 derajat adalah 90 derajat, dan tangen 90 derajat tidak punya nilai. Sinus dan kosinus di 90 derajat baik-baik saja — satu dan nol — tetapi halaman ini melaporkan tangennya bersama keduanya, dan jawaban sebagian yang disajikan sebagai jawaban utuh lebih buruk daripada tidak ada jawaban. Penolakan yang sama mencakup 540 derajat dan minus 180 derajat, yang merupakan sudut yang sama dengan 180 derajat, serta setiap sudut yang berjarak satu putaran penuh dari ketiganya.

Apa bedanya dengan rumus sudut ganda?

Keduanya adalah tiga hubungan yang sama, dibaca dari arah berlawanan. Rumus sudut ganda berangkat dari sebuah sudut dan memberi sinus, kosinus, serta tangen pada sudut dua kalinya; rumus setengah sudut berangkat dari sebuah sudut dan memberi ketiga perbandingan pada separuhnya. Perbedaan yang paling terasa adalah di mana pembulatannya mendarat. Menggandakan sudut membiarkan Anda tetap di derajat bulat, sehingga bacaan pada dua kali 30 derajat tepat 60 derajat; membagi dua sering kali membawa Anda keluar dari tabel baku, sehingga separuh dari 30 derajat adalah 15 derajat dan ketiga bacaannya irasional.

Bisakah saya memasukkan sudut dalam radian?

Bisa — ada pemilih satuan di samping kotak isiannya, dan sudut separuhnya tetap dilaporkan dalam derajat, karena itulah satuan yang dideklarasikan keluarannya. Seperenam pi radian dan 30 derajat adalah sudut yang sama dan menghasilkan keempat angka yang sama. Satu hal yang perlu diperhatikan: satuannya berlaku untuk sudut yang Anda ketik, bukan untuk separuhnya, yang selalu ditampilkan dalam derajat.

• Half-Angle Formulas — the three identities this page applies, with the sign questions the page resolves by keeping the half in the upper half of the circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Double-Angle Formulas — the same relations read the other way, and the page these identities are usually met from first — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — the ratios in a right triangle, from first principles — Math is Fun (United Kingdom)