इकाई वृत्त कैलकुलेटर
नतीजा
sine
- cosine
- 0.8660
- tangent
- 0.5774
इकाई वृत्त कैलकुलेटर कोई भी कोण लेता है और उसकी sine, cosine तथा tangent लौटाता है, त्रिज्या एक वाले वृत्त पर से पढ़कर। त्रिज्या एक का एक वृत्त काग़ज़ पर खींचिए जिसका केंद्र मूल बिंदु पर हो। जो कोण दिया गया हो उसे लीजिए, धनात्मक x-अक्ष पर खड़े होइए और उतना वामावर्त घूमिए; जिस बिंदु पर पहुँचेंगे उसके निर्देशांक ही जवाब हैं। x-निर्देशांक cosine है और y-निर्देशांक sine — यह कोई संयोग या ऊपर से थोपी गई परिपाटी नहीं, यही इन दोनों फलनों की परिभाषा है। tangent इन दोनों का अनुपात है, y बटा x, और इसीलिए वह तीनों में अलग-सा लगता है: वह निर्देशांक नहीं बल्कि ढाल है, और ढाल वहाँ बिगड़ जाती है जहाँ रेखा ऊर्ध्वाधर हो। ऐसा समकोण पर होता है और पौने तीन चक्कर पर भी, जहाँ बिंदु वृत्त के ऊपर या नीचे पहुँच जाता है और उसका x-निर्देशांक शून्य हो जाता है। शून्य से भाग देने का कोई जवाब नहीं होता, इसलिए 90 डिग्री की tangent कोई बहुत बड़ी संख्या नहीं है — वह कोई संख्या ही नहीं है, और यह पेज यही कहता है, कोई बहुत बड़ा आँकड़ा छाप देने के बजाय। यही एक जगह है जहाँ पेज इनकार करता है, और यह जान लेना काम का है कि वहाँ sine और cosine बिल्कुल ठीक व्यवहार करती हैं: 90 डिग्री पर बिंदु वृत्त के ऊपर है, इसलिए sine एक है और cosine शून्य। दूसरी बात यह है कि कोण एक ही चक्कर तक सीमित नहीं है। दो चक्कर लगाइए, या ऋणात्मक कोणों की ओर पीछे चलिए, आप वृत्त पर कहीं भी उतरेंगे, और चूँकि मायने सिर्फ़ उस बिंदु का है, 390 डिग्री ठीक वही तीन पठन देती है जो 30 देती है। यही वजह है कि यह पेज औरों से अलग है: जो पेज अपने ख़ाने को शून्य से 360 तक सीमित रखते हैं वे आपको पहले हाथ से चक्कर घटाने पर मजबूर करते हैं, और यहाँ वह काम पहले ही हो चुका होता है। जो सारणी नीचे है वही कोण हैं, मगर दशमलव के बजाय ठीक भिन्नों में लिखे हुए, क्योंकि असल में उन्हीं शक्लों में उनका इस्तेमाल होता है। इन्हें त्रिकोणमितीय फलनों का वह चार्ट कहा जाता है जिसे हर कोर्स रटवाता है, और यह पेज वही चार्ट है जिसमें आप कोई भी कोण टाइप कर सकते हैं। इकाई वृत्त के सामान्य कोण — 30, 45, 60 — इतने काम के हैं कि उन्हें एक बार समझ लेने पर बाक़ी सब अनुपात बन जाता है।
विशेष कोणों पर sine, cosine और tangent के ठीक मान
| कोण (डिग्री में) | sine | cosine | tangent |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90 | 1 | 0 | — |
| 120 | √3/2 | -1/2 | -√3 |
| 180 | 0 | -1 | 0 |
| 270 | -1 | 0 | — |
आठ कोण और चार कॉलम, और मान दशमलव के बजाय ठीक भिन्नों में लिखे हैं क्योंकि इस चार्ट का इस्तेमाल इन्हीं शक्लों में होता है — आधा और तीन का वर्गमूल बटा दो वह है जो याद रखना है, और 0.5 तथा 0.866 वह जो कैलकुलेटर छापता है। पहली चार पंक्तियाँ वे पहले चतुर्थांश के कोण हैं जो हर कोर्स रटवाता है: शून्य, तीस, पैंतालीस और साठ, जहाँ sine कुछ न होने से बढ़कर तीन का वर्गमूल बटा दो तक पहुँचती है और cosine एक से उतरकर आधी रह जाती है। पाँचवीं पंक्ति पहला ध्रुव है, नब्बे डिग्री, और उसका tangent वाला ख़ाना संख्या के बजाय एक डैश है — यही पेज का तरीक़ा है यह कहने का कि वहाँ कोई मान नहीं है, और यही वजह है कि कैलकुलेटर भी वही कोण जवाब देने के बजाय ठुकरा देता है। छठी पंक्ति दूसरे चतुर्थांश का कोण है, जहाँ पैटर्न उलट जाता है: sine अब भी धनात्मक है मगर cosine ऋणात्मक हो चुकी है, और उस चतुर्थांश के चिह्नों का मतलब यही है। सातवीं और आठवीं पंक्तियाँ आधा चक्कर और पौना तीन चक्कर हैं, जिनमें दूसरा ध्रुव है। sine वाले कॉलम को ऊपर से नीचे पढ़कर फिर cosine वाला पढ़ना यह देखने का सबसे तेज़ तरीक़ा है कि ये दोनों वृत्त के चारों ओर घूमते बिंदु के निर्देशांक हैं। सारणी का हर आँकड़ा पेज बनते समय दोबारा निकाला जाता है।
फ़ॉर्मूला
sin θ = y, cos θ = x, tan θ = y ÷ x
- θ
- कोण, धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त नापा हुआ। यह ऋणात्मक हो सकता है और पूरे चक्कर से ज़्यादा भी हो सकता है — मायने सिर्फ़ इसका है कि वह वृत्त पर कहाँ उतरता है, और 390 डिग्री ठीक वहीं उतरता है जहाँ 30
- cos θ
- उस बिंदु का x-निर्देशांक जहाँ कोण उतरता है। शून्य डिग्री पर बिंदु (1, 0) पर है, इसलिए cosine एक है; 90 डिग्री पर वह शून्य हो जाती है
- sin θ
- उसी बिंदु का y-निर्देशांक। शून्य डिग्री पर वह शून्य है; 90 डिग्री पर बिंदु वृत्त के ऊपर है और sine एक है
- tan θ
- sine बटा cosine, जो मूल बिंदु से उस बिंदु तक जाती रेखा की ढाल है। जहाँ cosine शून्य होती है वहाँ इसका कोई मान नहीं होता, क्योंकि वहाँ रेखा ऊर्ध्वाधर होती है — 90 और 270 डिग्री पर यानी, और उनसे पूरे चक्कर के अंतर पर पड़ने वाले हर कोण पर
- त्रिज्या एक
- निर्देशांक सीधे क्यों पढ़े जा सकते हैं। बिंदु मूल बिंदु से एक इकाई दूर है, इसलिए पाइथागोरस से उसके दोनों निर्देशांकों का वर्ग करके जोड़ने पर हमेशा एक आता है — और यही सर्वसमिका cos²θ + sin²θ = 1 है। वृत्त का नाम इकाई वृत्त इसी वजह से पड़ा
- डिग्री या रेडियन
- आप जो भी लिखें, पेज हिसाब शुरू करने से पहले उसे डिग्री में बदल देता है, इसलिए जवाब दोनों तरह से एक ही आता है। पौना चक्कर 90 डिग्री है, या रेडियन में pi का आधा — दोनों एक ही कोण हैं और तीनों पठन वही रहते हैं
- चार दशमलव स्थान
- तीनों पठन कितने चौड़े लिखे जाते हैं। ठीक-ठीक आने वाले पठन गिने-चुने हैं — 30 की sine आधी, 45 की tangent ठीक एक, और अक्षों पर बैठे कोणों के सारे मान पूर्ण संख्याएँ — और बाक़ी सब दो का वर्गमूल बटा दो जैसे मान हैं जिन्हें आख़िर में पूर्णांकित करना ही पड़ता है
इकाई वृत्त वह सारणी है जिसे हर त्रिकोणमिति कोर्स रटवाता है, क्योंकि तीनों त्रिकोणमितीय फलन उस पर बैठे किसी बिंदु के निर्देशांकों से ज़्यादा कुछ नहीं हैं — और यह पेज वही सारणी है जिसमें कोई भी कोण टाइप करने का ख़ाना लगा हो। सबसे सीधा इस्तेमाल वह है जहाँ आपके पास कोण है और उसके घटक चाहिए: किसी बल या वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर हिस्सों में बाँटना, जो sine और cosine की जोड़ी के अलावा कुछ नहीं है; इलेक्ट्रॉनिकी में किसी कला का हिसाब निकालना; किसी कोण पर छोड़ी गई चीज़ की क्षैतिज पहुँच जानना। सर्वेक्षण और नौवहन इसे हर उस मौक़े पर लगाते हैं जब किसी दिशा को पूर्व की दूरी और उत्तर की दूरी में बदलना हो, और वे ठीक यही दो निर्देशांक होते हैं। ग्राफ़िक्स और गेम इसे हर घूमती चीज़ पर लगाते हैं — घूमता हुआ कोई चित्र, चक्कर लगाता कैमरा, पहिए पर कोई बिंदु — क्योंकि घूमते बिंदु की जगह cosine और sine ही होती है, और इसे एक बार इस फलन से लिख देना ही घुमाव वाला कोड छोटा बनाता है। इसके बाद सीखने वाला शुद्ध इस्तेमाल है, और यह पेज असल में उसी के लिए बना है: विशेष कोण रटने लायक़ हैं, और 90 डिग्री टाइप करके tangent को इनकार करते देख लेना यह याद रखने का कहीं बेहतर तरीक़ा है कि वहाँ उसका कोई मान नहीं होता, बजाय यह बताए जाने के। नीचे की सारणी में वही कोण हैं, मगर ठीक भिन्नों में, क्योंकि असल में उन्हीं शक्लों में उनका इस्तेमाल होता है।
हल किए हुए उदाहरण
30 डिग्री का कोण
- धनात्मक x-अक्ष से 30 डिग्री वामावर्त घूमिए
- जिस बिंदु पर पहुँचते हैं वह (√3/2, 1/2) है
- cosine x-निर्देशांक है: 0.8660
- sine y-निर्देशांक है: 0.5
- tangent इनका अनुपात है: 0.5 ÷ 0.8660 = 0.5774
वही कोण जिसके साथ पेज खुलता है, और सारणी की पहली पंक्ति जिसमें विशेष कोण पढ़ाए जाते हैं। इसके ठीक मान तीन का वर्गमूल बटा दो, आधा, और तीन का वर्गमूल बटा तीन हैं — यहाँ दशमलव दिखाए गए हैं, ठीक भिन्न नीचे की सारणी में।
45 डिग्री का कोण
- 45 डिग्री वामावर्त घूमिए, जिससे बिंदु विकर्ण पर आ जाता है
- sine और cosine बराबर हैं क्योंकि बिंदु दोनों अक्षों से 45 डिग्री पर है: √2/2 = 0.7071
- tangent इनका अनुपात है, और किसी संख्या को उसी से भाग देने पर एक आता है
शून्य और नब्बे के बीच का अकेला कोण जिसकी sine और cosine बराबर होती हैं, और ऐसा इसलिए होता है कि बिंदु y = x रेखा पर पड़ता है। ठीक 1 आती tangent उसका बीजगणितीय सबूत है — और 45 डिग्री की ढाल को एक-में-एक ढाल कहने की वजह भी यही है।
180 डिग्री का कोण
- आधा चक्कर घूमिए, जिससे बिंदु ऋणात्मक x-अक्ष पर आ जाता है
- cosine x-निर्देशांक है: -1
- sine y-निर्देशांक है: 0
- tangent शून्य बटा माइनस एक है, यानी 0
आधा चक्कर, और वह चिह्न जो लोगों को उलझाता है: cosine माइनस एक है, एक नहीं, क्योंकि बिंदु वृत्त के उलटी ओर चला गया है। sine यहाँ ठीक शून्य आती है, हालाँकि पेज के भीतर के हिसाब में रास्ते में एक बहुत छोटी संख्या बनती है — पठन आख़िर में पूर्णांकित किया जाता है, और यही इसे सँभालने का ईमानदार तरीक़ा है।
390 डिग्री का कोण
- एक पूरा चक्कर आपको शुरू की जगह पर वापस ले आता है, इसलिए 390 डिग्री 30 जैसा ही है
- बिंदु (√3/2, 1/2) है, ठीक वैसा ही जैसा 30 डिग्री के लिए था
30 डिग्री वाले उदाहरण के ठीक वही तीन पठन, क्योंकि एक चक्कर और लगाने पर वही बिंदु आता है। यही इस पेज को शून्य से एक चक्कर के बाहर के कोणों के लिए काम का बनाता है — लपेटने का काम आपके लिए पहले ही हो चुका होता है, उसे पहले हाथ से घटाना नहीं पड़ता, जो मायने रखता है क्योंकि दिशाएँ और घुमाव अक्सर पूरे चक्कर से आगे चले जाते हैं।
सीमाएँ
यह पेज एक कोण लेता है और उसकी sine, cosine तथा tangent लौटाता है। tangent का 90 डिग्री या 270 डिग्री पर कोई मान नहीं है, और उनसे पूरे चक्कर के अंतर पर पड़ने वाले किसी भी कोण पर भी नहीं, क्योंकि बिंदु वहाँ पहुँच जाता है जहाँ उसका x-निर्देशांक शून्य है और अनुपात के पास भाग देने को कुछ नहीं बचता। जब ऐसा होता है तो पेज कोई बहुत बड़ी संख्या छापने के बजाय इनकार करता है और वजह बताता है, जबकि sine और cosine वहाँ बिल्कुल ठीक परिभाषित हैं — एक और शून्य — मगर यह पेज तीनों एक साथ लौटाता है, इसलिए वह दो देने के बजाय तीनों रोक लेता है; नीचे की सारणी में उन दोनों के ठीक मान मौजूद हैं। इन मानों के बहुत नज़दीक के कोण स्वीकार होते हैं और बहुत बड़ी tangent देते हैं, जो गणित की दृष्टि से सही है — ऊर्ध्वाधर के क़रीब ढाल सचमुच बहुत तेज़ होती है — इसलिए नज़दीक पड़ना और ठीक उस पर पड़ना एक बात नहीं है और पेज भी इन्हें एक नहीं मानता। तीनों पठन बिना किसी इकाई के सादे अंक हैं, चाहे ड्रॉपडाउन कुछ भी कहे; ड्रॉपडाउन यह तय करता है कि कोण किस रूप में डाला जाएगा, यह नहीं कि बाहर क्या निकलेगा। चार दशमलव प्रदर्शन की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं, और ज़्यादातर कोणों के ठीक दशमलव मान होते ही नहीं — इसीलिए सारणी आम कोणों को ठीक भिन्नों में देती है। यहाँ उलटी दिशा का कोई काम नहीं होता: पेज कोण को निर्देशांकों में बदलता है मगर निर्देशांकों को वापस कोण में नहीं बदलेगा, और न यह चाप की लंबाई देता है, न त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, न यह कि कोण वृत्त पर कितनी दूर चला गया।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
- 90 डिग्री पर tangent का जवाब क्यों नहीं आता?
- क्योंकि tangent, sine बटा cosine है और 90 डिग्री पर cosine शून्य होती है। बिंदु वृत्त के ऊपर पहुँच चुका है, उसका x-निर्देशांक शून्य है, और भाग देने को कुछ बचा ही नहीं। सच्ची बात यही है कि वहाँ tangent का कोई मान नहीं होता — यह नहीं कि वह बहुत बड़ी होती है। उसी कोण पर sine और cosine बिल्कुल ठीक परिभाषित हैं — बिंदु वृत्त के ऊपर है, इसलिए sine एक और cosine शून्य। यह पेज तीनों एक साथ बताता है, इसलिए वह दो देने के बजाय तीनों ही नहीं देता: कोण ठुकरा देता है और वजह बता देता है। नीचे की सारणी में उस पंक्ति के ठीक मान फिर भी मौजूद हैं।
- क्या 360 डिग्री से बड़ा कोण डाल सकते हैं?
- हाँ, और ऋणात्मक कोण भी। मायने सिर्फ़ इसका है कि कोण वृत्त पर कहाँ उतरता है, इसलिए 390 डिग्री ठीक वही तीन पठन देती है जो 30 देती है, और माइनस 30 वही जो 330 देती है। पेज कोण को आपके लिए घटा देता है, पहले हाथ से घटाने पर मजबूर नहीं करता, और यह ज़रूरी है क्योंकि दिशाएँ तथा घुमाव नियमित रूप से पूरे चक्कर से आगे चले जाते हैं।
- स्कूल के चार्ट में भिन्न होते हैं, तो यहाँ दशमलव क्यों?
- क्योंकि नतीजे का पैनल एक कैलकुलेटर है और सारणी एक चार्ट है। विशेष कोणों के ठीक मान दो का वर्गमूल बटा दो, तीन का वर्गमूल बटा दो और उनके भाई-बंद होते हैं, और उन्हें ठीक दशमलव में लिखा ही नहीं जा सकता — 0.7071 उनमें से एक का पूर्णांकित रूप है। नीचे की सारणी वही कोण ठीक भिन्नों में देती है, और उन्हीं शक्लों में वे रटने लायक़ हैं।
- tangent असल में किस काम की है?
- वह एक ढाल है। किसी कोण की tangent मूल बिंदु से उस बिंदु तक जाती रेखा की ऊँचाई बटा फैलाव है, और इसीलिए वह ढालों, छत की ढलानों और ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज के अनुपात में नापी जाने वाली हर चीज़ में मिलती है। sine और cosine निर्देशांक हैं; tangent उन दोनों के बीच का अनुपात है, और यही फ़र्क़ वह वजह है कि तीनों में सिर्फ़ tangent की परिभाषा में छेद हैं।
- क्या इकाई का कोई मतलब है?
- ड्रॉपडाउन बस यह तय करता है कि कोण किस रूप में डाला जाएगा — डिग्री, रेडियन या ग्रेड — और कुछ नहीं। तीनों पठन बिना किसी इकाई के सादे अंक हैं, क्योंकि त्रिज्या एक वाले वृत्त पर किसी निर्देशांक की कोई इकाई नहीं होती और उन दोनों के अनुपात की भी नहीं। पेज भीतर ही आपके कोण को डिग्री में बदल देता है, इसलिए रेडियन में 0.5236 और 30 डिग्री एक ही जवाब देते हैं।
- क्या यह समकोण त्रिभुज कैलकुलेटर जैसा ही है?
- यह उसका विशेष रूप है। किसी भी समकोण त्रिभुज में sine सामने की भुजा बटा कर्ण होती है और cosine आधार बटा कर्ण; इकाई वृत्त पर कर्ण एक होता है, इसलिए अनुपात बस दोनों भुजाएँ ही रह जाती हैं। हर समकोण त्रिभुज इकाई वृत्त की किसी तस्वीर की बड़ी की हुई प्रतिलिपि है, और इसीलिए इस पेज के आँकड़े किसी भी नाप के त्रिभुज के लिए चल जाते हैं।
संदर्भ
- Unit Circle — the circle of radius one, why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine, and the special angles that have exact values — Wolfram MathWorld (United States)
- Trigonometric functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined wherever the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
- Tangent — the ratio this page divides to get, its period of a half turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)