सह-सीमांत कोण कैलकुलेटर

θ′ = θ + 360°n सह-सीमांत कोण = θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋

θ

आपका डाला हुआ कोण, डिग्री में। यह ऋणात्मक भी हो सकता है और एक पूरे चक्कर से बहुत बड़ा भी; दोनों यहाँ आम इनपुट हैं, ख़ास मामले नहीं

n

कोई भी पूर्ण संख्या — धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य। n का हर मान उस परिवार का एक सदस्य चुनता है जिसकी अंतिम भुजा एक ही है, इसलिए ऐसे कोण अनगिनत हैं और पेज उनमें से काम के दो छापता है

360°

एक पूरा चक्कर। इसे घटाने पर किरण ठीक वहीं रहती है जहाँ थी, और यही दो कोणों को अलग-अलग होने के बजाय सह-सीमांत बनाता है

⌊θ ÷ 360°⌋

कितने पूरे चक्कर हटाए जाते हैं, नीचे की ओर पूर्णांकित — शून्य की ओर नहीं। शून्य की ओर पूर्णांकन करने पर ऋणात्मक कोण घेरे के बाहर पड़ा रह जाता, अंदर लिपटने के बजाय, और यही एक जगह है जहाँ यह पेज चुपचाप ग़लत हो सकता है

सह-सीमांत कोण

0 से लेकर 360 से ठीक पहले तक वाला प्रतिनिधि। त्रिकोणमिति की सारणियाँ और इकाई वृत्त इसी के हिसाब से लिखे गए हैं, और ज़्यादातर जवाब इसी रूप में चाहिए होते हैं

ऋणात्मक सह-सीमांत कोण

उसी किरण को ऋणात्मक घुमाव की तरह बताया हुआ: सिमटा हुआ कोण घटा एक पूरा चक्कर, यानी −360 से लेकर शून्य से ठीक पहले तक। यह हमेशा दूसरे आँकड़े से ठीक 360 नीचे होता है

दो दशमलव स्थान

रीडिंग कितनी चौड़ी छपती हैं। कोण आम तौर पर डिग्री के किसी अंश तक नापे जाते हैं, सेकंड के अंश तक नहीं, और दो दशमलव उतना ही बारीक है जितना कोई चाँदा ईमानदारी से बता सकता है

जब भी कोई कोण एक पूरे चक्कर से आगे लिपट चुका हो और जवाब एक चक्कर के भीतर चाहिए हो। शाफ़्ट और घूमती मशीनें सबसे सीधा मामला हैं: सवा तीन फेरे घुमाई गई कोई कपलिंग आख़िर में जिस दिशा में रुकती है, वह 360 से कम के कोण में बताई जाती है, और यही सिमटाना कैम, क्रैंक, टर्नटेबल और उस रोबोट जोड़ पर भी लगता है जिसकी चाल फेरों में बताई जाती है। लपेटना और कुंडली दूसरा मामला है: चौदह बार लिपटी कोई कुंडली, खोली और फिर चढ़ाई गई कोई केबल, तय फेरों तक घुमाई गई कोई स्प्रिंग — ये सब फेरों में गिने जाते हैं और डिग्री में चाहिए होते हैं। नापने के यंत्र तीसरा मामला हैं: किसी संकेत के कई चक्रों में जमा हुआ फ़ेज़ कोण, बिना रीसेट हुए ऊपर गिनती जाती किसी एनकोडर से पढ़ा गया कुल कोण, जमा होता हुआ दिक्क़ों का फ़र्क़, और कोई भी ऐसा यंत्र जो एक चक्कर से आगे निकल चुका कोण बताता हो। दिक्क़ा और सर्वेक्षण इसे उन दिशाओं के लिए इस्तेमाल करते हैं जिन्हें जोड़ते-घटाते हुए 0 से 360 के बाहर पहुँचा दिया गया हो, और दो दिशाओं के फ़र्क़ के लिए भी, इसीलिए −30 डिग्री की दिशा को आम तौर पर 330 लिख दिया जाता है। गणित में यह लगभग हर त्रिकोणमिति हिसाब का पहला क़दम है — sine और cosine की सारणी एक ही चक्कर ढकती है, इसलिए उससे बाहर का कोई भी कोण सारणी में देखने से पहले वापस उस घेरे में लाना पड़ता है। कक्षा में यह आवर्तिता का आँखों देखा प्रदर्शन है: 30, 390 और 750 डिग्री की एक ही अंतिम भुजा खींचिए, देखिए कि तीनों भुजाएँ एक ही रेखा पर पड़ती हैं, और फिर यह बात कि sine हर 360 डिग्री पर दोहराता है, रटने का नियम नहीं रह जाती। और रोज़मर्रा के हिसाब में यह उन गिने-चुने मौक़ों का है जहाँ एक कोण को दूसरे से घटाने पर जवाब ऋणात्मक निकलता है — और यहीं ज़्यादातर लोगों को पहली बार ऋणात्मक के बजाय 0 से 360 वाला जवाब चाहिए होता है।

1. 400 डिग्री का कोण

   1. पूरे चक्कर गिनिए: 400 ÷ 360 = 1.11, यानी एक चक्कर हटेगा
   2. उसे घटाइए: 400 − 360 = 40
   3. ऋणात्मक साथी के लिए एक और चक्कर घटाइए: 40 − 360 = −320

   यह वही जोड़ी है जिसके साथ पेज खुलता है, और इसे इसलिए चुना गया है कि यह पूरे चक्कर से ज़रा ही आगे है — जिस पाठक ने यह बात पहली बार सुनी हो, वह पूरी कार्रवाई एक ही क़दम में देख लेता है। दोनों जवाब 360 के फ़ासले पर हैं, जो सारणी की हर पंक्ति पर सच है और किसी भी नतीजे को परखने का सबसे तेज़ तरीक़ा है।

2. 750 डिग्री का कोण

   1. पूरे चक्कर गिनिए: 750 ÷ 360 = 2.08, यानी दो चक्कर हटेंगे
   2. उन्हें घटाइए: 750 − 720 = 30
   3. एक और चक्कर घटाइए: 30 − 360 = −330

   वही अंतिम भुजा जो 30 डिग्री की है, बस दो पूरे चक्कर आगे, और यही वह जोड़ी है जो बताती है कि सारणी किस काम की है। सिमटाने का हिसाब चक्कर वाले कॉलम से पढ़ना — 750 में से दो चक्कर हटे तो 30 बचे — ठीक वही तरीक़ा है जिससे यह काग़ज़ पर किया जाता है, और इसीलिए वह कॉलम सारणी में रखा गया है।

3. माइनस 30 डिग्री का कोण

   1. पूरे चक्कर गिनिए, नीचे की ओर पूर्णांकित करके: −30 ÷ 360 = −0.08, जो नीचे की ओर −1 होता है
   2. वह चक्कर वापस जोड़िए: −30 − 360 × (−1) = 330
   3. ऋणात्मक पक्ष के लिए एक चक्कर घटाइए: 330 − 360 = −30

   यही वह दिशा है जिससे ज़्यादातर लोग यहाँ पहुँचते हैं, क्योंकि एक दिशा को दूसरी से घटाने पर ऋणात्मक कोण ही निकलता है। ग़ौर कीजिए कि ऋणात्मक साथी मूल कोण ही है, बिना बदले: माइनस 30 पहले से ऋणात्मक घेरे के भीतर है। यहाँ पूर्णांकन नीचे की ओर ही जाना चाहिए — शून्य की ओर जाने पर माइनस 30 जहाँ था वहीं रह जाता, उस धनात्मक घेरे के बाहर जहाँ उसे होना चाहिए।

4. 1000 डिग्री का कोण

   1. पूरे चक्कर गिनिए: 1000 ÷ 360 = 2.78, यानी दो चक्कर हटेंगे
   2. उन्हें घटाइए: 1000 − 720 = 280
   3. एक और चक्कर घटाइए: 280 − 360 = −80

   दो चक्कर और 280 का बचा हुआ हिस्सा, और यहीं हिसाब सीधा-सादा रह जाता है: जवाब शून्य के क़रीब नहीं बल्कि पूरे चक्कर के क़रीब है, और जिस पाठक को पिछले उदाहरणों वाला छोटा बचा हुआ हिस्सा याद रह गया हो वह चौंकेगा। पेज दस लाख डिग्री भी लेता है, जो इसी 280 और माइनस 80 पर उतरता है — चक्करों की संख्या बदलती है, अंतिम भुजा नहीं।

5. 0 डिग्री का कोण

   1. कोई पूरा चक्कर नहीं हटता: 0 पहले से घेरे के भीतर है
   2. धनात्मक प्रतिनिधि 0 है
   3. ऋणात्मक पक्ष के लिए एक चक्कर घटाइए: 0 − 360 = −360

   यही वह मामला है जो ऋणात्मक पक्ष का नियम तय करता है। दूसरी परिपाटी दोनों आँकड़ों के लिए शून्य छापती, जो ऐसा पढ़ा जाता जैसे पेज ने कुछ किया ही नहीं। ऋणात्मक साथी को सिमटे हुए कोण से एक पूरा चक्कर नीचे मान लेने पर दोनों छपे आँकड़े कभी बराबर नहीं हो सकते, और यह इसी सिरे पर भी उतना ही सच है जितना बाक़ी हर जगह।

यह पेज कोण को सिमटाता है और बस इतना ही: यह नहीं बताता कि अंतिम भुजा किस चतुर्थांश में पड़ती है, कोई संदर्भ कोण नहीं देता, और कोई त्रिकोणमितीय फलन नहीं निकालता। इनमें से हर एक का अपना पेज है। सिर्फ़ डिग्री ली जाती हैं — रेडियन में कोई आउटपुट नहीं है, और रेडियन में दिया गया कोण डालने से पहले बदलना पड़ता है। इनपुट दोनों दिशाओं में दस लाख डिग्री तक सीमित है, यानी क़रीब अठाईस सौ पूरे चक्कर; उससे आगे यह आँकड़ा ऐसी किसी चीज़ से मेल नहीं खाता जिसे कोई नापता हो, चाहे हिसाब चलता रहे। छपे हुए दोनों आँकड़े हमेशा ठीक 360 डिग्री के फ़ासले पर रहते हैं और ऋणात्मक वाला हमेशा नीचे वाला होता है, इसलिए ऋणात्मक इनपुट से धनात्मक जवाब निकल सकता है और इसका उलटा भी। सख़्त परिभाषा के मुताबिक़ सह-सीमांत कोण वे होते हैं जो अलग-अलग हों मगर जिनकी अंतिम भुजा एक ही हो, इसलिए आपका डाला हुआ कोण उस सख़्त मतलब में ख़ुद का सह-सीमांत नहीं है — वह ख़ुद से मिलता है। पेज पन्ने पर आम बोलचाल की परिभाषा चलाता है, जिसमें एक ही अंतिम भुजा वाला हर कोण गिना जाता है, और यह बात यहाँ पाद-टिप्पणी में नहीं बल्कि साफ़ शब्दों में लिखी है। कोण दो दशमलव तक पूर्णांकित होते हैं, जो प्रदर्शन की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं। यहाँ डिग्री, मिनट और सेकंड को अलग-अलग इकाइयों की तरह संभालने का कोई इंतज़ाम नहीं है, और ग्रेडियन या फेरों में नापे गए कोण भी नहीं आते।

मैंने 40 डाला और सह-सीमांत कोण भी 40 ही आया। कुछ हुआ या नहीं?

ज़रूरत ही नहीं पड़ी: 40 पहले से एक चक्कर के भीतर है, इसलिए वह ख़ुद अपना प्रतिनिधि है और सिमटाने से वैसा ही रहता है। सख़्त परिभाषा के मुताबिक़ सह-सीमांत कोण वे होते हैं जो अलग-अलग हों मगर एक ही किरण पर ख़त्म हों, इसलिए वह परिभाषा कोई कोण ख़ुद का सह-सीमांत नहीं होता — वह ख़ुद से मिलता है। यह पेज आम बोलचाल वाली परिभाषा चलाता है, जिसमें एक ही अंतिम भुजा पर पड़ने वाला हर कोण गिना जाता है, इसलिए जब आपका इनपुट पहले से सिमटा हुआ हो तो पहला आँकड़ा वही दोहरा देता है। बदलने वाला दूसरा आँकड़ा है।

ऋणात्मक कोण सिर्फ़ माइनस लगाया हुआ वही कोण क्यों नहीं है, बल्कि एक पूरा चक्कर नीचे क्यों है?

क्योंकि ज़ाहिर-सा दूसरा तरीक़ा शून्य पर टूट जाता है। अगर ऋणात्मक साथी को −360 से लेकर शून्य तक कुछ भी मान लिया जाए, तो शून्य डालने पर शून्य और शून्य छपेगा — दो एक जैसे आँकड़े, जो ऐसे पढ़े जाते हैं जैसे पेज ने कुछ किया ही नहीं। उसे सिमटे हुए कोण से ठीक एक चक्कर नीचे मानने पर दोनों छपे आँकड़े कभी बराबर नहीं होते, और उनका फ़ासला हमेशा ठीक 360 डिग्री रहता है, जिसे सारणी की हर पंक्ति पर जाँचा जा सकता है।

क्या मैं ऋणात्मक कोण डाल सकता हूँ?

हाँ, और यह सबसे आम इनपुट में से है। ऋणात्मक कोण तब आते हैं जब एक दिशा को दूसरी से घटाया जाए या घुमाव वामावर्त नापा जाए, और माइनस 30 डिग्री को आम तौर पर 330 लिख दिया जाता है। सिमटाने में नीचे की ओर पूर्णांकन ठीक इसीलिए होता है: शून्य की ओर पूर्णांकन करने पर माइनस 30 उस घेरे के बाहर पड़ा रह जाता जिसके अंदर उसे लिपटना था।

दोनों जवाब हमेशा 360 डिग्री के फ़ासले पर क्यों होते हैं?

क्योंकि दूसरा वाला पहले से एक पूरा चक्कर घटाकर बनाया जाता है, यह रचना का हिस्सा है। किसी कोण से 360 डिग्री घटाने पर किरण ठीक वहीं रहती है जहाँ थी, इसलिए दोनों आँकड़े एक ही अंतिम भुजा बताते हैं और उनका फ़ासला ठीक एक चक्कर है। यह इस पेज के किसी भी नतीजे को परखने का सबसे तेज़ तरीक़ा है: छोटे आँकड़े में 360 जोड़िए, बड़े पर पहुँच जाना चाहिए।

क्या यह बताता है कि कोण किस चतुर्थांश में है?

नहीं — यह कोण को सिमटाकर वहीं रुक जाता है। अंतिम भुजा किस चतुर्थांश में पड़ती है और उस भुजा तथा निकटतम अक्ष के बीच का संदर्भ कोण क्या है, यह संदर्भ कोण और इकाई वृत्त वाले पेजों का विषय है। यह पेज जो सिमटाना करता है, वह उन दोनों से पहले का क़दम है, इसीलिए यह किसी और के आउटपुट की एक पंक्ति होने के बजाय अपना पूरा पेज है।

क्या मैं रेडियन डाल सकता हूँ?

इस पेज पर नहीं — यह सिर्फ़ डिग्री लेता है और यहाँ इकाई बदलने का कोई स्विच नहीं है। रेडियन में दिया गया कोण पहले बदलना पड़ेगा, 180 से गुणा करके और π से भाग देकर। सिमटाने का ख़याल दोनों इकाइयों में एक ही है, मगर पेज को पहले यह जानना पड़ेगा कि आपका मतलब कौन-सी इकाई है, तभी वह तय कर सकेगा कि एक पूरा चक्कर क्या है।

• Coterminal Angle — angles whose terminal sides coincide, with the definition this page implements and the n = 0 case that is coincident rather than coterminal — Wolfram MathWorld (United States)
• Angle — what an angle is, including angle in standard position, from which the initial side and the terminal side are defined — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometry — why an angle is reduced into a single turn before a table of values can be used, which is the commonest reason to want this reduction — Wolfram MathWorld (United States)