यहाँ दो पाठ क्यों दिखते हैं?

क्योंकि कोण की दो चली-आई इकाइयाँ हैं और पेज बदलने का काम आपके लिए कर देता है। रेडियन वाला पाठ चाप की लंबाई बटा त्रिज्या है, जो रेडियन की परिभाषा ही है; डिग्री वाला पाठ उसी संख्या को 180/π से गुणा करके बनता है। दोनों एक ही कोण हैं, और दोनों मिलने का मतलब है कि आपको हाथ से बदलना या यह देखना नहीं पड़ता कि किसी सूत्र को कौन-सी इकाई चाहिए।

मेरा जवाब 360.0008 डिग्री आया है। क्या वह ग़लत है?

नहीं, वह सही है, और यह तब होता है जब आपने जो चाप डाला वह पहले से पूर्णांकित आँकड़ा था। दो की त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि 12.5663706 है, जिसे पेज 12.5664 छापता है — ऊपर की ओर पूर्णांकित करके। वही छपा हुआ मान वापस लिखिए तो कोण पूरे चक्कर से एक डिग्री के अंश भर ऊपर आता है। जो आप देख रहे हैं वह आपके इनपुट का पूर्णांकन है, भाग की ग़लती नहीं।

क्या त्रिज्या शून्य हो सकती है?

नहीं। कोण चाप की लंबाई बटा त्रिज्या है, इसलिए शून्य त्रिज्या का कोई जवाब ही नहीं — कोई वृत्त ही नहीं है जिस पर कोण नापा जाए। पेज ख़ाली जगह या अनंत छापने के बजाय यह बात कह देता है। इसके उलट चाप की लंबाई शून्य हो सकती है, और उससे कोण शून्य आता है, जो सचमुच एक जवाब है।

चाप सबसे बड़ा कितना हो सकता है?

उस वृत्त की परिधि जितना। चाप वृत्त का एक टुकड़ा है, इसलिए वह पूरे वृत्त से लंबा नहीं हो सकता, और पेज उससे आगे कुछ नहीं लेता — पाँच की त्रिज्या के लिए सीमा 31.4159 है। उससे आगे केंद्र पर कोई कोण ढूँढ़ने को नहीं बचता, क्योंकि चाप एक बार से ज़्यादा चक्कर लगा चुका होता।

इसका चाप की लंबाई वाले कैलकुलेटर से क्या रिश्ता है?

दोनों एक ही समीकरण हैं, उलटी-उलटी दिशाओं में पढ़ा हुआ। यह पेज त्रिज्या और चाप लेकर कोण देता है; वह पेज त्रिज्या और कोण लेकर चाप देता है। दोनों इसलिए हैं क्योंकि सवाल दोनों तरफ़ से आते हैं — वक्र नापने पर लंबाई मिलती है, त्रिज्यखंड बनाने पर कोण — और दोनों की सारणी में एक ऐसी पंक्ति है जो दूसरा पेज भी छापता है।

क्या रेडियन भी डिग्री जैसी ही एक और इकाई है?

इकाई तो है, मगर डिग्री की तरह मनमानी नहीं है। डिग्री पूरे चक्कर का तीन सौ साठवाँ हिस्सा है, जो बेबीलोन के हिसाब से विरासत में मिली बँटवारा है; रेडियन वह कोण है जो तब बनता है जब चाप ठीक त्रिज्या जितना लंबा हो। इसीलिए इस पेज के भाग में π नहीं आता: π सिर्फ़ तब आता है जब आप नतीजे को डिग्री में बदलते हैं।

केंद्रीय कोण कैलकुलेटर

नतीजा

57.2958 °

केंद्रीय कोण

केंद्रीय कोण (रेडियन में): 1.0000 rad

केंद्रीय कोण कैलकुलेटर किसी वृत्त की त्रिज्या और उस पर खींचे गए चाप की लंबाई लेता है और बताता है कि केंद्र पर बनने वाला कोण कितना बड़ा है — यानी वह कोण जिसके सामने वह चाप पड़ता है — डिग्री में और रेडियन में। दोनों एक ही कोण को दो तरह से लिखते हैं, और इस पेज में दिलचस्प बात यह है कि इन दोनों में से पहले कौन आता है। केंद्र पर बने कोण का रेडियन में नाप परिभाषा से ही चाप की लंबाई बटा त्रिज्या है — यह कोई निकाला हुआ सूत्र नहीं, यही रेडियन की परिभाषा है — इसलिए रेडियन वाला आँकड़ा एक भाग है जिसमें कहीं π नहीं आता, और डिग्री वाला आँकड़ा उसी संख्या को 180/π से गुणा करके बनता है। जिस जोड़ी के साथ यह पेज खुलता है वह यही दिखाती है: पाँच की त्रिज्या और पाँच का चाप ठीक एक रेडियन देते हैं, क्योंकि चाप त्रिज्या जितना ही लंबा है, और एक रेडियन 57.2958 डिग्री होता है। यहाँ का बाक़ी हर हिसाब वही भाग है, बस उसमें दूसरी संख्याएँ हैं। इसीलिए यह पेज और चाप की लंबाई वाला पेज दो अलग पेज हैं, एक नहीं। दोनों एक ही समीकरण हैं जिसे उलटी-उलटी दिशाओं में पढ़ा गया है: एक कोण लेकर चाप देता है, दूसरा चाप लेकर कोण। दोनों रखने लायक़ हैं, क्योंकि सवाल दोनों तरफ़ से आते हैं — मुड़ी हुई दीवार नापने वाले के पास लंबाई होती है और वह जानना चाहता है कि वह कितने कोण पर मुड़ती है, जबकि कोई त्रिज्यखंड बनाने वाला कोण से शुरू करता है और जानना चाहता है कि किनारा कितना लंबा होगा। जो एक चेतावनी यहाँ से साथ ले जानी चाहिए वह छोटे सूत्र L = rθ के बारे में है। उस रूप में θ हमेशा रेडियन में होता है, क्योंकि वह रूप सिर्फ़ उसी तरह चलता है। उसमें डिग्री डालिए तो जवाब क़रीब 57 गुना बड़ा आता है, और वह ग़लत नहीं दिखेगा — बस लंबा दिखेगा। यह पेज दोनों पाठ देता है, इसलिए बदलने का काम आपके लिए हो चुका है; वह चेतावनी तब काम आती है जब वह छोटा रूप आपको कहीं और मिले।

चाप की लंबाई और उसके वृत्त की त्रिज्या से केंद्र पर बना कोण

त्रिज्या (cm)	चाप की लंबाई (cm)	केंद्रीय कोण (डिग्री में)	केंद्रीय कोण (रेडियन में)
5	5	57.2958	1
10	5	28.6479	0.5
5	10	114.5916	2
4	1	14.3239	0.25
3	3	57.2958	1
6	0	0	0
5	31.4159	359.9997	6.2832
2	12.5664	360.0008	6.2832

आठ चाप और चार कॉलम — दो नाप अंदर, वही कोण दो बार बाहर। पहली पंक्ति वही जोड़ी है जिसके साथ पेज खुलता है और एक ही पंक्ति में रेडियन की परिभाषा: त्रिज्या जितना लंबा चाप ठीक 1 देता है, यानी 57.2958 डिग्री। दूसरी और तीसरी पंक्ति उसी भाग को नीचे-ऊपर ले जाती हैं — त्रिज्या का आधा चाप आधा रेडियन देता है और दुगुना चाप दो — इसलिए दोनों को साथ पढ़ने पर दिखता है कि रेडियन वाला कॉलम ठीक वैसा ही सादा भाग है जैसा वह दिखता है। चौथी पंक्ति एक चौथाई रेडियन है: चार की त्रिज्या पर एक का चाप 0.25 देता है, यानी 14.3239 डिग्री, तो डिग्री वाला कॉलम भी रेडियन वाले आँकड़े को 57.2958 से गुणा किए हुए ही चलता रहता है। पाँचवीं पंक्ति पहली जैसी ही है और फिर भी अलग सबक़ देती है: तीन की त्रिज्या पर तीन का चाप फिर 1 रेडियन देता है, क्योंकि रेडियन की परिभाषा वृत्त के आकार पर नहीं, अनुपात पर टिकी है। छठी पंक्ति शून्य चाप है, जहाँ चाप सिकुड़कर एक बिंदु रह जाता है और कोण 0° आता है — यह वह जायज़ शून्य है जिसे पेज ठुकराता नहीं। आख़िरी दो पंक्तियाँ एक ही बात के दो उलटे सिरे हैं और यही इस सारणी की जान हैं: पाँच की त्रिज्या को उसकी अपनी छपी हुई परिधि दी जाए तो 359.9997 डिग्री आता है और दो की त्रिज्या को उसकी अपनी दी जाए तो 360.0008, क्योंकि एक पूर्णांकन नीचे गया और दूसरा ऊपर। इसलिए 360 से ज़रा ऊपर का पाठ सही है, और ये दोनों पंक्तियाँ यही कहने के लिए यहाँ रखी गई हैं।

फ़ॉर्मूला

θ (रेडियन में) = L ÷ r θ (डिग्री में) = θ (रेडियन में) × 180 ÷ π

चाप की लंबाई: वक्र के साथ-साथ की दूरी, सेंटीमीटर में — वृत्त के उस टुकड़े की लंबाई, उसके दोनों सिरों के बीच की सीधी दूरी नहीं
त्रिज्या: केंद्र से चाप तक की दूरी, सेंटीमीटर में। यह शून्य से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि चाप की लंबाई इसी से भाग दी जाती है
θ (थीटा): केंद्र पर बना कोण, रेडियन में — चाप की लंबाई बटा त्रिज्या, यानी वही चीज़ जो रेडियन की परिभाषा है। एक पूरा चक्कर 2π रेडियन का होता है, क़रीब 6.2832
180 ÷ π: एक रेडियन में कितनी डिग्री होती हैं, क़रीब 57.2958। रेडियन वाले आँकड़े को इससे गुणा करने पर डिग्री वाला आँकड़ा मिलता है, और पूरे हिसाब में π बस यहीं आता है
डिग्री: वही कोण, उस तरह लिखा हुआ जिस तरह ज़्यादातर लोग कोण पढ़ते हैं, पूरे चक्कर के 360 में से। यही पाठ पहले दिखाया जाता है, क्योंकि चाँदा भी यही दिखाता
L = rθ: इसी रिश्ते का छोटा रूप, जिसमें θ रेडियन में होता है। पलटने पर यही वह भाग बनता है जो यह पेज करता है; जैसा लिखा है वैसा ही रेडियन की जगह डिग्री डालकर इस्तेमाल करने पर जवाब क़रीब 57 गुना बड़ा आता है
चार दशमलव स्थान: दोनों पाठ कितने चौड़े लिखे जाते हैं। एक पूरा चक्कर 6.2832 रेडियन या 360 डिग्री होता है, और उसी के आसपास इनपुट के चार दशमलव जवाब में झलकने लगते हैं

जब भी कुछ वक्र के साथ नापा गया हो और अब उसे कोण में बदलना हो। मशीन की दुकान सबसे साफ़ मामला है: मुड़ी हुई खाँच, मोड़ी गई नली, लपेटे गए छल्ले का कोई टुकड़ा — ये सब लंबाई लेकर आते हैं और चित्र में कोण लिखा होता है; यही वह भाग है जो एक से दूसरे तक पहुँचाता है। बनाने और बनाने-धराने के काम में भी वही सवाल है: लंबाई के साथ नापी गई मुड़ी रेलिंग, मुड़ा हुआ किनारा, मेहराबदार दरवाज़ा, ईंटों का कोई चाप — इन सबमें कुछ भी नापने से पहले केंद्र का कोण चाहिए होता है। दिक्क़ा और खगोल विज्ञान इसी का दूसरा सिरा इस्तेमाल करते हैं, ज़मीन पर या आसमान में नापे गए चाप को अक्षांश, देशांतर या दिशा की डिग्री में बदलकर। एक कक्षा वाला इस्तेमाल भी है जो इस इकाई को समझने का सचमुच सबसे साफ़ तरीक़ा है। एक वृत्त खींचिए, त्रिज्या जितना लंबा धागा काटिए, और उसे वृत्त की परिधि पर रखिए: केंद्र पर जो कोण बनता है वह एक रेडियन है, और ऐसे छह से ज़रा ज़्यादा टुकड़े पूरा चक्कर भर देते हैं। एक बार करके देख लीजिए, तो रेडियन रटने की कोई मनमानी इकाई नहीं रह जाती। और एक काम का इस्तेमाल भी है जो सॉफ़्टवेयर तथा इंजीनियरिंग दोनों में बार-बार आता है — त्रिज्या और लंबाई देखकर निकालना कि वृत्त का कितना हिस्सा इस्तेमाल हुआ। वह हिस्सा रेडियन वाले पाठ को 2π से भाग देकर निकलता है, और इस पेज के दोनों पाठ इसी काम के हैं।

हल किए हुए उदाहरण

पाँच की त्रिज्या और पाँच का चाप
1. चाप को त्रिज्या से भाग दीजिए: 5 ÷ 5 = 1 रेडियन
2. डिग्री में बदलिए: 1 × 180 ÷ π = 57.2958
यही वह जोड़ी है जिसके साथ पेज खुलता है, और एक ही पंक्ति में रेडियन की परिभाषा: त्रिज्या जितना लंबा चाप केंद्र पर एक रेडियन का कोण बनाता है। डिग्री वाला आँकड़ा 57.2958 वही संख्या है जो याद रखने लायक़ है अगर रेडियन के बारे में एक ही बात याद रखनी हो। ग़ौर कीजिए कि रेडियन वाला पाठ ठीक-ठीक निकला — कोई पूर्णांकन नहीं लगा — क्योंकि यह जोड़ी ही भाग को साफ़ निकलने के लिए चुनी गई थी।
दस की त्रिज्या और पाँच का चाप
1. चाप को त्रिज्या से भाग दीजिए: 5 ÷ 10 = 0.5 रेडियन
2. डिग्री में बदलिए: 0.5 × 180 ÷ π = 28.6479
वही चाप, बड़े वृत्त पर, इसलिए कोण छोटा — यहाँ चाप त्रिज्या का आधा भर है, पूरा नहीं। आधा रेडियन, यानी 28.6479 डिग्री। यही वह पंक्ति है जो दिखाती है कि कोण चाप अकेले पर नहीं, अनुपात पर टिका है — वही बात जो चाप की लंबाई वाला पेज दूसरे सिरे से कहता है।
चार की त्रिज्या और परिधि का चौथाई
1. पूरी परिधि: 2 × π × 4 = 25.1327
2. उसका चौथाई: 25.1327 ÷ 4 = 6.2832 = π
3. चाप को त्रिज्या से भाग दीजिए: 12.5664 ÷ 4 = 3.1416 रेडियन
4. डिग्री में बदलिए: 3.1416 × 180 ÷ π = 180.0004
आधा चक्कर, और वह पंक्ति जो दिखाती है कि इनपुट के चार दशमलव कहाँ जाकर बैठते हैं। कोण सचमुच 180 डिग्री ही है, मगर चाप पूर्णांकित चौथाई-परिधि 12.5664 के रूप में डाला गया, और किसी पूर्णांकित संख्या को 4 से भाग देने पर वही पूर्णांकन जवाब में 0.0004 डिग्री बनकर झलकता है। रेडियन वाला पाठ चार स्थानों तक π है, जो यह देखने का दूसरा तरीक़ा है कि यह आधा चक्कर है।
दो की त्रिज्या और छपी हुई परिधि
1. पूरी परिधि: 2 × π × 2 = 12.5664, चार दशमलव तक छपी हुई
2. चाप को त्रिज्या से भाग दीजिए: 12.5664 ÷ 2 = 6.2832 रेडियन
3. डिग्री में बदलिए: 6.2832 × 180 ÷ π = 360.0008
पूरा चक्कर, और 360 डिग्री से ज़रा ऊपर का पाठ — जो ग़लती नहीं बल्कि सही है। दो की त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि 12.5663706 है, जिसे पेज 12.5664 छापता है, यानी ऊपर की ओर पूर्णांकित करके। वही पूर्णांकित आँकड़ा वापस डालिए तो कोण पूरे चक्कर से एक डिग्री के अंश भर ऊपर आता है। जो झलक रहा है वह इनपुट का पूर्णांकन है, हिसाब की ख़राबी नहीं।
छह की त्रिज्या और शून्य चाप
1. चाप को त्रिज्या से भाग दीजिए: 0 ÷ 6 = 0 रेडियन
2. डिग्री में बदलिए: 0 × 180 ÷ π = 0
चाप है ही नहीं, तो कोण भी नहीं: दोनों त्रिज्याएँ एक-दूसरे पर आ बंद हुई हैं और चाप सिकुड़कर एक बिंदु रह गया है। शून्य यहाँ जायज़ इनपुट है और जवाब सचमुच शून्य है। जो ख़ाना शून्य नहीं हो सकता वह त्रिज्या है — चाप की लंबाई उसी से भाग दी जाती है, इसलिए शून्य त्रिज्या का कोई जवाब ही नहीं है।

सीमाएँ

यह पेज कोण लौटाता है और बस वही: न चाप, न त्रिज्या, न त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल। कोण और त्रिज्या दिए हों तो चाप की लंबाई दूसरा पेज देता है। त्रिज्या शून्य से बड़ी होनी चाहिए — चाप की लंबाई इसी से भाग दी जाती है, इसलिए शून्य त्रिज्या का कोई जवाब नहीं है, और पेज ख़ाली जगह छोड़ने के बजाय यह बात कह देता है। चाप की लंबाई शून्य हो सकती है, जिससे कोण शून्य आता है। चाप उस वृत्त की पूरी परिधि से लंबा नहीं हो सकता: पाँच की त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि 31.4159 है, इसलिए 32 का चाप ठुकरा दिया जाता है। यह सीमा उस परिधि के हिसाब से जाँची जाती है जैसी पेज उसे छापता है, चार दशमलव तक, न कि पूरी सटीकता वाले मान के हिसाब से, और इसका एक दिखने वाला नतीजा है: 360 डिग्री से ज़रा ऊपर का पाठ मुमकिन है और वह सही है। अगर आपके वृत्त की परिधि का आख़िरी अंक छापते समय ऊपर की ओर पूर्णांकित होता है, तो वही छपा हुआ आँकड़ा वापस डालने पर 360.0008 डिग्री जैसा कोण आता है, क्योंकि पूर्णांकन पहले से उस संख्या में मौजूद था जो आपने लिखी। यह पेज के अपनी सीमा लाँघने की बात नहीं है। दोनों इनपुट एक ही इकाई में लिए जाते हैं और कुछ बदला नहीं जाता; दोनों आउटपुट ड्रॉपडाउन से बेफ़िक्र, हमेशा डिग्री और रेडियन में ही होते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

यहाँ दो पाठ क्यों दिखते हैं?: क्योंकि कोण की दो चली-आई इकाइयाँ हैं और पेज बदलने का काम आपके लिए कर देता है। रेडियन वाला पाठ चाप की लंबाई बटा त्रिज्या है, जो रेडियन की परिभाषा ही है; डिग्री वाला पाठ उसी संख्या को 180/π से गुणा करके बनता है। दोनों एक ही कोण हैं, और दोनों मिलने का मतलब है कि आपको हाथ से बदलना या यह देखना नहीं पड़ता कि किसी सूत्र को कौन-सी इकाई चाहिए।
मेरा जवाब 360.0008 डिग्री आया है। क्या वह ग़लत है?: नहीं, वह सही है, और यह तब होता है जब आपने जो चाप डाला वह पहले से पूर्णांकित आँकड़ा था। दो की त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि 12.5663706 है, जिसे पेज 12.5664 छापता है — ऊपर की ओर पूर्णांकित करके। वही छपा हुआ मान वापस लिखिए तो कोण पूरे चक्कर से एक डिग्री के अंश भर ऊपर आता है। जो आप देख रहे हैं वह आपके इनपुट का पूर्णांकन है, भाग की ग़लती नहीं।
क्या त्रिज्या शून्य हो सकती है?: नहीं। कोण चाप की लंबाई बटा त्रिज्या है, इसलिए शून्य त्रिज्या का कोई जवाब ही नहीं — कोई वृत्त ही नहीं है जिस पर कोण नापा जाए। पेज ख़ाली जगह या अनंत छापने के बजाय यह बात कह देता है। इसके उलट चाप की लंबाई शून्य हो सकती है, और उससे कोण शून्य आता है, जो सचमुच एक जवाब है।
चाप सबसे बड़ा कितना हो सकता है?: उस वृत्त की परिधि जितना। चाप वृत्त का एक टुकड़ा है, इसलिए वह पूरे वृत्त से लंबा नहीं हो सकता, और पेज उससे आगे कुछ नहीं लेता — पाँच की त्रिज्या के लिए सीमा 31.4159 है। उससे आगे केंद्र पर कोई कोण ढूँढ़ने को नहीं बचता, क्योंकि चाप एक बार से ज़्यादा चक्कर लगा चुका होता।
इसका चाप की लंबाई वाले कैलकुलेटर से क्या रिश्ता है?: दोनों एक ही समीकरण हैं, उलटी-उलटी दिशाओं में पढ़ा हुआ। यह पेज त्रिज्या और चाप लेकर कोण देता है; वह पेज त्रिज्या और कोण लेकर चाप देता है। दोनों इसलिए हैं क्योंकि सवाल दोनों तरफ़ से आते हैं — वक्र नापने पर लंबाई मिलती है, त्रिज्यखंड बनाने पर कोण — और दोनों की सारणी में एक ऐसी पंक्ति है जो दूसरा पेज भी छापता है।
क्या रेडियन भी डिग्री जैसी ही एक और इकाई है?: इकाई तो है, मगर डिग्री की तरह मनमानी नहीं है। डिग्री पूरे चक्कर का तीन सौ साठवाँ हिस्सा है, जो बेबीलोन के हिसाब से विरासत में मिली बँटवारा है; रेडियन वह कोण है जो तब बनता है जब चाप ठीक त्रिज्या जितना लंबा हो। इसीलिए इस पेज के भाग में π नहीं आता: π सिर्फ़ तब आता है जब आप नतीजे को डिग्री में बदलते हैं।

संदर्भ

Central Angle — the angle at the centre of a circle subtended by an arc, and the relation between it, the arc and the radius — Wolfram MathWorld (United States)
Radian — the unit the radians reading is in, defined as the angle subtended by an arc equal in length to the radius, which is the division this page performs — Wolfram MathWorld (United States)
Circle — the circumference that bounds an arc, and the 2π radians a full turn comes to — Wolfram MathWorld (United States)

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