वृत्तखंड और त्रिज्यखंड में क्या फ़र्क़ है?

त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा टुकड़ा है — पाई का टुकड़ा। वृत्तखंड वह बचता है जब आप उस टुकड़े में से त्रिभुज काट देते हैं: सिर्फ़ ज्या रेखा और चाप के बीच का क्षेत्र। बग़ल वाला त्रिज्यखंड कैलकुलेटर टुकड़ा निकालता है, और यह पेज वह निकालता है जो उसमें से ½r²sin θ हटा देने पर बचता है।

270 अंश पर पेज बड़ा क्षेत्र क्यों देता है?

क्योंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल ½r²sin θ है, और 180 अंश के बाद ज्या ऋणात्मक हो जाती है, इसलिए उसे घटाने से घटता नहीं, जुड़ जाता है। गिनती सही है और जवाब ज्या रेखा से बने दोनों क्षेत्रों में बड़ा वाला है। पेज जानबूझकर किसी जवाब पर बड़ा या छोटा का ठप्पा नहीं लगाता: सिर्फ़ त्रिज्या और कोण से यह पता नहीं चलता कि आपकी मुराद किस क्षेत्र की थी, इसलिए वह एक निकालता है और पढ़ना आप पर छोड़ देता है।

वृत्तखंड की ऊँचाई किस काम की है?

यह बताती है कि ज्या रेखा के बीच से ऊपर चाप कितना उभरता है — यानी वृत्तखंड की गहराई। यह इस पेज पर इसलिए है क्योंकि यह वह माप है जो आप सचमुच ले सकते हैं: सपाट भुजा पर फ़ुटा रखिए और वक्र के सबसे गहरे बिंदु तक नापिए, ऊँचाई मिल जाती है, कोण की ज़रूरत नहीं। यह शून्य कोण पर 0 से लेकर पूरे चक्कर पर पूरे व्यास तक जाती है, और आधे भरे पाइप को बयान करने का यही आम तरीक़ा है।

ज्या रेखा और चाप त्रिज्यखंड वाले पेज जितने ही क्यों हैं?

क्योंकि इनमें से कोई भी उस त्रिभुज का हिस्सा नहीं है जो काटा जाता है। घटाव उस क्षेत्र को हटाता है जो दोनों त्रिज्याओं और ज्या रेखा से घिरा है; ज्या रेखा ख़ुद उस त्रिभुज की सीमा है, उसका भीतरी हिस्सा नहीं, और चाप को तो छुआ ही नहीं जाता। इसलिए एक ही वृत्त के 120 अंश के वृत्तखंड और 120 अंश के त्रिज्यखंड की ज्या रेखा एक जैसी और चाप एक जैसा होता है, क्षेत्रफल अलग।

यह आकृति कहाँ काम आती है?

हर वह जगह जहाँ कोई सीधी रेखा किसी वृत्त को काटती है। आधे भरे पड़े पाइप या टंकी की काट वृत्तखंड होती है, इसीलिए पीपे में भरे तरल का आयतन वृत्त का नहीं, वृत्तखंड का सवाल है। मेहराबदार खिड़की, सीधी दीवारों पर टिकी सुरंग की छत, सीधी ज़मीन की सीमा और मुड़ी सड़क के बीच का क्षेत्र, गोल छड़ पर तिरछा कट लगाने पर बची कतरन, और गोल बिस्कुट में से निकाला गया कौर — सब वृत्तखंड हैं।

क्या मैं ऊँचाई से कोण निकाल सकता हूँ?

इस पेज पर नहीं — ऊँचाई यहाँ पाठ है, इनपुट नहीं। उससे कोण निकाला जा सकता है, क्योंकि ऊँचाई r(1 − cos(θ/2)) है, पर उसके लिए कोज्या के लिए हल करके उलटा फलन लगाना पड़ता है, और यह पेज वह नहीं करता। अगर आपके पास गहराई का नाप है, तो काम का रास्ता यह है कि कोण बदल-बदलकर देखिए जब तक ऊँचाई का स्तंभ आपके नाप से मेल न खा जाए, या उलटा हिसाब अलग से निकाल लीजिए।

वृत्तखंड क्षेत्रफल कैलकुलेटर

नतीजा

7.1350 cm²

क्षेत्रफल

ज्या रेखा: 7.0711 cm
चाप की लंबाई: 7.8540 cm
वृत्तखंड की ऊँचाई: 1.4645 cm

वृत्तखंड क्षेत्रफल कैलकुलेटर वृत्त की त्रिज्या और केंद्रीय कोण लेता है, और उस ज्या रेखा तथा उसके ऊपर के चाप के बीच बचे क्षेत्र का क्षेत्रफल लौटाता है — साथ में उसी ज्या रेखा की लंबाई, चाप की लंबाई, और उस क्षेत्र की ऊँचाई भी। वृत्तखंड वह बचता है जब आप त्रिज्यखंड — यानी दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा पाई का टुकड़ा — लेकर उसमें से वह त्रिभुज काट देते हैं जो दोनों त्रिज्याओं और ज्या रेखा से बनता है। जो बचता है वह सीधी रेखा और वक्र के बीच का अर्धचंद्राकार टुकड़ा है, और यही आकृति सेब के टुकड़े की, मेहराबदार खिड़की की, आधे भरे पाइप की काट की, और किसी गोल खेत को ज्या रेखा से काटने पर बचे हिस्से की होती है। गिनती दोनों टुकड़े निकाल लेने के बाद एक घटाव है: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वृत्त का वह हिस्सा है, और त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग का आधा गुणा कोण की ज्या। एक में से दूसरा घटा दीजिए। यह घटाव सिर्फ़ लगाने के लिए नहीं, समझने के लिए है, क्योंकि यहीं से यह पेज आपको यह बताने लायक़ नहीं रह जाता कि आपको कौन-सा जवाब चाहिए था। एक ज्या रेखा वृत्त को दो क्षेत्रों में बाँटती है — छोटा और बड़ा — और वही त्रिज्या तथा वही कोण दोनों को बयान करते हैं, यह इस पर टिका है कि आपकी मुराद ज्या रेखा के किस तरफ़ की है। आधे वृत्त से कम पर कोई उलझन नहीं। उससे ऊपर, सूत्र चुपचाप दूसरे पर पहुँच जाता है। इसलिए इस पेज पर कोई अंदाज़ा लगाने वाली टिप्पणी नहीं है, कोई छोटा-बड़ा का ठप्पा नहीं है। सूत्र वही देता है जो गणित कहता है, और यह बताना कि उसमें से कौन-सा हिस्सा आपके काम का है, आपका काम है। चौथा पाठ — ऊँचाई — इसी वजह से इस पेज पर सबसे काम का है: यह वह अकेला माप है जो आप सचमुच फ़ुटे से नाप सकते हैं। ज्या रेखा के आर-पार फ़ुटा रखिए और वक्र के सबसे गहरे बिंदु तक नापिए, जो आपको मिलेगा वही यह ऊँचाई है — कोण जानने की ज़रूरत ही नहीं।

आम वृत्तखंड — पतली पट्टी से पूरे वृत्त तक

त्रिज्या (cm)	केंद्रीय कोण (°)	क्षेत्रफल (cm²)	ज्या रेखा (cm)	चाप की लंबाई (cm)	वृत्तखंड की ऊँचाई (cm)
5	90	7.135	7.0711	7.854	1.4645
5	60	2.2647	5	5.236	0.6699
5	180	39.2699	10	15.708	5
6	120	22.1107	10.3923	12.5664	3
5	270	71.4049	7.0711	23.5619	8.5355
10	180	157.0796	20	31.4159	10
5	360	78.5398	0	31.4159	10
5	0	0	0	0	0

आठ वृत्तखंड, और पहले दो स्तंभ दोनों इनपुट हैं। पहली दो कतारें साथ पढ़िए तो दिखेगा कि वृत्तखंड कितनी तेज़ी से सिकुड़ता है: 60 अंश की कतार का कोण 90 अंश की कतार का दो-तिहाई है और क्षेत्रफल उसका तिहाई से भी कम, क्योंकि छोटे कोणों पर त्रिभुज लगभग पूरा टुकड़ा खा जाता है। तीसरी कतार 180 अंश की है, जहाँ त्रिभुज का कोई क्षेत्रफल ही नहीं बचता और वृत्तखंड सीधे आधा वृत्त बन जाता है — 39.2699, ठीक वही जो त्रिज्यखंड वाला पेज अपने आधे वृत्त के लिए छापता है। पाँचवीं कतार ध्यान से पढ़ने वाली है: 270 अंश पर ज्या ऋणात्मक हो जाती है, घटाव जोड़ बन जाता है, और पेज 71.4049 लौटाता है — ज्या रेखा से बने दोनों क्षेत्रों में बड़ा वाला, छोटा नहीं। उसकी ज्या रेखा 7.0711 है, 90 अंश की कतार जितनी ही, क्योंकि sin(135°) और sin(45°) बराबर हैं: दो कोण, एक ज्या रेखा, और वृत्तखंड दस गुना बड़ा। छठी कतार त्रिज्या 10 का आधा वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल 157.0796 और ऊँचाई 10 है। सातवीं कतार पूरा चक्कर है, जहाँ ज्या रेखा सिकुड़कर 0 रह गई है और वृत्तखंड बढ़कर पूरा वृत्त बन गया है, ऊँचाई 10 — पूरा व्यास, जितना कोई चाप कभी उभर सकता है। आठवीं और आख़िरी कतार शून्य कोण की है, जहाँ वृत्तखंड बिलकुल नहीं बचता और चारों पाठ शून्य हैं। यहाँ का हर मान पेज बनते समय उसकी त्रिज्या और कोण से दोबारा गिना जाता है, सेंटीमीटर और डिग्री में, और यही चार दशमलव स्थान नतीजे के पैनल में भी हैं।

फ़ॉर्मूला

A = (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sin θ c = 2r sin(θ ÷ 2) h = r(1 − cos(θ ÷ 2))

त्रिज्या: केंद्र से चाप तक की दूरी, सेंटीमीटर में। काटे जा रहे त्रिभुज के आधार की आधी, और वह अकेली संख्या जो बताती है कि यह वृत्त कितना बड़ा था
केंद्रीय कोण: वह कोण जो ज्या रेखा केंद्र पर बनाती है, डिग्री में। त्रिज्या के साथ यह वृत्तखंड को पूरा तय कर देता है: यह एक साथ यह भी तय करता है कि त्रिज्यखंड वृत्त का कितना हिस्सा लेगा और यह भी कि हटाया जा रहा त्रिभुज कितना ऊँचा होगा
क्षेत्रफल: वृत्तखंड की सतह, वर्ग सेंटीमीटर में — त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल घटा त्रिभुज का। 180 अंश से नीचे यह ज्या रेखा से बने दोनों क्षेत्रों में छोटा वाला है; उससे ऊपर यह घटाव जोड़ बन जाता है और हाथ में बड़ा वाला लगता है
ज्या रेखा: वह सीधी रेखा जो वृत्तखंड को बंद करती है, सेंटीमीटर में, और वही हटाए गए त्रिभुज का आधार भी। यह 180 अंश पर बढ़कर व्यास बन जाती है, फिर सिकुड़ने लगती है, और पूरे चक्कर पर शून्य हो जाती है
चाप की लंबाई: मुड़े किनारे के साथ की दूरी, सेंटीमीटर में — त्रिज्यखंड के चाप जितनी ही, क्योंकि त्रिभुज काटने से वक्र में कुछ नहीं बदलता। यह वृत्तखंड की बाहरी सीमा है और कोण के साथ बस बढ़ती चली जाती है
वृत्तखंड की ऊँचाई: ज्या रेखा के बीच के बिंदु से ऊपर चाप कितना उभरता है, सेंटीमीटर में। यह वृत्तखंड की गहराई है, और वह राशि जिसे आप सपाट भुजा पर फ़ुटा रखकर नाप सकते हैं — यह शून्य कोण पर 0 से लेकर पूरे चक्कर पर पूरे व्यास तक जाती है
½r² sin θ: वह त्रिभुज जो दोनों त्रिज्याएँ और ज्या रेखा मिलकर बनाती हैं, उसका क्षेत्रफल। यह 90 अंश पर सबसे बड़ा होता है और 180 अंश पर घटकर शून्य रह जाता है, इसीलिए आधे वृत्त में घटाने के लिए कोई त्रिभुज ही नहीं बचता
चार दशमलव स्थान: हर पाठ कितना चौड़ा लिखा जाता है। चारों में से हर एक में π या कोई ज्या बैठी है इसलिए वे लगभग कभी पूरे नहीं होते, और क्षेत्रफल तो ऐसी दो संख्याओं का अंतर है — यानी उसके आख़िरी अंक इस पेज के सबसे कम भरोसेमंद अंक हैं

यह पेज उस क्षेत्र के लिए है जो कोई सीधी रेखा वृत्त से काटती है, और यह आकृति उस टुकड़े से कहीं ज़्यादा आम निकलती है जिससे यह निकली है। मेहराबदार खिड़की या मुड़े ऊपर वाला दरवाज़ा एक आयत पर टिका हुआ वृत्तखंड है; वही सुरंग की काट भी, जिसका ऊपर चाप हो और बाजू सीधी। आधे भरे पाइप और टंकियाँ इसका सबसे क्लासिक मामला हैं: किसी पड़ी हुई बेलनाकार टंकी में भरे तरल की काट एक वृत्तखंड है, और इसीलिए पीपे में भरे तरल का आयतन वृत्त का नहीं, वृत्तखंड का सवाल बन जाता है। नक़्शे पर, सीधी ज़मीन की सीमा और मुड़ी सड़क या नदी के बीच का क्षेत्र वृत्तखंड है, और सीधी बाड़ के बाहर बचा गोल खेत का पतला टुकड़ा भी। कारख़ाने में गोल छड़ पर तिरछा कट लगाने से जो वृत्तखंड बचता है वह कतरन है, और जब आप ज्या रेखा नहीं बल्कि यह नाप सकें कि कट कितना गहरा गया है, तब ऊँचाई वाला सूत्र ही काम आता है: सपाट पर फ़ुटा रखकर वक्र के सबसे गहरे बिंदु तक नापिए, ऊँचाई सीधे मिल जाती है, और उससे कोण पीछे निकाला जा सकता है। और यह किसी कौर की भी शक्ल है: गोल बिस्कुट में से निकाला गया कौर वृत्तखंड है, जिसकी ज्या रेखा दाँतों के निशान के आर-पार जाती है और ऊँचाई कौर की गहराई होती है।

हल किए हुए उदाहरण

चौथाई वृत्त का वृत्तखंड
1. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: (90 ÷ 360) × π × 5² = 19.6349…
2. त्रिभुज का क्षेत्रफल: ½ × 5² × sin(90°) = 12.5
3. वृत्तखंड का क्षेत्रफल: 19.6349 − 12.5 = 7.1349…, जो 7.135 होता है
4. ज्या रेखा: 2 × 5 × sin(45°) = 7.0711
5. चाप की लंबाई: (90 ÷ 360) × 2π × 5 = 7.854
6. ऊँचाई: 5 × (1 − cos(45°)) = 5 × 0.2928932 = 1.4645
वही जोड़ा जिसके साथ पेज खुलता है, और यह सबसे साफ़ मामला है कि घटाव करता क्या है। त्रिज्यखंड 19.6349 का है और त्रिभुज उसमें से 12.5 ले जाता है, तो बचता है 7.135 — यानी टुकड़े की सतह का तिहाई। ऊँचाई शक्ल को ठोस बना देती है: चाप ज्या रेखा से सिर्फ़ 1.4645 सेंटीमीटर ऊपर उठता है, यानी यह वृत्त का मोटा टुकड़ा नहीं बल्कि काफ़ी चपटी पतली पट्टी है।
60 अंश का उथला वृत्तखंड
1. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: (60 ÷ 360) × π × 5² = 13.0899…
2. त्रिभुज का क्षेत्रफल: ½ × 5² × sin(60°) = 12.5 × 0.8660254 = 10.8253
3. वृत्तखंड का क्षेत्रफल: 13.0899 − 10.8253 = 2.2646…, जो 2.2647 होता है
4. ज्या रेखा: 2 × 5 × sin(30°) = 5
5. चाप की लंबाई: (60 ÷ 360) × 2π × 5 = 5.236
6. ऊँचाई: 5 × (1 − cos(30°)) = 5 × 0.1339746 = 0.6699
वही वृत्त जो ऊपर वाली कतार का है, पर कोण पतला, और वृत्तखंड कोण के फ़र्क़ से कहीं ज़्यादा छोटा हो गया — दो-तिहाई कोण के बदले 7.135 की जगह 2.2647। वजह यह है कि त्रिभुज लगभग पूरा टुकड़ा ही खा जाता है: त्रिज्यखंड 13.0899 का है और त्रिभुज उसमें से 10.8253 ले लेता है। छोटे कोणों पर वृत्तखंड एक पतली पट्टी भर होता है, और उसका क्षेत्रफल कोण से कहीं तेज़ी से गिरता है।
आधा वृत्त
1. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: (180 ÷ 360) × π × 5² = 39.2699…
2. त्रिभुज का क्षेत्रफल: ½ × 5² × sin(180°) = 0
3. वृत्तखंड का क्षेत्रफल: 39.2699 − 0 = 39.2699
4. ज्या रेखा: 2 × 5 × sin(90°) = 10
5. चाप की लंबाई: (180 ÷ 360) × 2π × 5 = 15.708
6. ऊँचाई: 5 × (1 − cos(90°)) = 5 × 1 = 5
वह कोण जहाँ त्रिभुज ग़ायब हो जाता है। 180 अंश पर ज्या रेखा व्यास है और दोनों त्रिज्याएँ उसी पर सपाट पड़ी हैं, इसलिए घटाने के लिए त्रिभुज का कोई क्षेत्रफल ही नहीं है और वृत्तखंड पूरा आधा वृत्त है — 39.2699, ठीक वही जो त्रिज्यखंड वाला पेज अपने आधे वृत्त के लिए छापता है। ऊँचाई 5 है, यानी त्रिज्या, जो इस वृत्त का कोई वृत्तखंड अधिक से अधिक उभर सकता है।
वृत्त का एक-तिहाई
1. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: (120 ÷ 360) × π × 6² = 37.6991
2. त्रिभुज का क्षेत्रफल: ½ × 6² × sin(120°) = 18 × 0.8660254 = 15.5885
3. वृत्तखंड का क्षेत्रफल: 37.6991 − 15.5885 = 22.1106…, जो 22.1107 होता है
4. ज्या रेखा: 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923
5. चाप की लंबाई: (120 ÷ 360) × 2π × 6 = 12.5664
6. ऊँचाई: 6 × (1 − cos(60°)) = 6 × 0.5 = 3
वह कतार जो इस पेज को दोनों बग़ल वाले पेजों से मिलाती है। ज्या रेखा 6√3 है और चाप 4π, वही आँकड़े जो त्रिज्यखंड वाला पेज उसी वृत्त के 120 अंश के टुकड़े के लिए छापता है — त्रिभुज हटाने से ज्या रेखा और चाप नहीं बदलते, क्योंकि इनमें से कोई भी उस त्रिभुज का हिस्सा नहीं है। ऊँचाई ठीक 3 है, त्रिज्या की आधी, क्योंकि 60 अंश का कोज्या आधा होता है।
270 अंश पर बड़ा वृत्तखंड
1. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: (270 ÷ 360) × π × 5² = 58.9049
2. त्रिभुज का क्षेत्रफल: ½ × 5² × sin(270°) = 12.5 × (−1) = −12.5
3. वृत्तखंड का क्षेत्रफल: 58.9049 − (−12.5) = 71.4049
4. ज्या रेखा: 2 × 5 × sin(135°) = 7.0711
5. चाप की लंबाई: (270 ÷ 360) × 2π × 5 = 23.5619
6. ऊँचाई: 5 × (1 − cos(135°)) = 5 × 1.7071068 = 8.5355
वह कतार जिसे ध्यान से पढ़ना बनता है, और जो बताती है कि इस पेज पर कोई यह ठप्पा क्यों नहीं लगाता कि जवाब ठीक है या नहीं। 270 अंश पर ज्या ऋणात्मक होती है, इसलिए त्रिभुज घटाने से 12.5 जुड़ जाता है, घटता नहीं, और पेज 71.4049 लौटाता है — ज्या रेखा से बने दोनों क्षेत्रों में बड़ा वाला, छोटा नहीं। गणित के हिसाब से यह सही जवाब है और बहुत बार यही वह क्षेत्र नहीं होता जो पढ़ने वाले के दिमाग़ में था, इसीलिए यहाँ किसी जवाब पर छोटा या बड़ा का ठप्पा नहीं लगता। ज्या रेखा 7.0711 है, ऊपर वाली 90 अंश की कतार जितनी ही, क्योंकि sin(135°) और sin(45°) बराबर हैं: दो अलग कोण, एक ही ज्या रेखा।

सीमाएँ

यह पेज सिर्फ़ वृत्तीय वृत्तखंड के लिए है: एक सीधी ज्या रेखा और उसके ऊपर का चाप, समतल वृत्त पर। 180 अंश से ऊपर गिनती पलट जाती है और ज्या रेखा से बने दोनों क्षेत्रों में छोटा नहीं, बड़ा लौटाती है — यह जानबूझकर है और टाला नहीं जा सकता, क्योंकि सूत्र को बताया ही नहीं जा सकता कि आपकी मुराद किस क्षेत्र की थी, और इसीलिए यहाँ किसी जवाब पर बड़ा या छोटा वृत्तखंड का ठप्पा नहीं है। क्षेत्रफल ऐसी दो संख्याओं का अंतर है जिनमें से हर एक में π या कोई ज्या बैठी है, इसलिए उसके आख़िरी अंक इस पेज के सबसे कम भरोसेमंद अंक हैं। त्रिभुज हटाने से ज्या रेखा और चाप नहीं बदलते, इसलिए जिसे टुकड़ा चाहिए था, उसे बग़ल वाला क्षेत्रफल वाला पेज देखना चाहिए। पाठ सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में हैं, चाहे ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हो, इसलिए इंच में डाली गई त्रिज्या का जवाब सेंटीमीटर में आता है और उसे ख़ुद बदलना पड़ता है। ऊँचाई ज्या रेखा से चाप के सबसे गहरे बिंदु तक नापी जाती है और वही राशि है जिस तक कोण मालूम न होने पर हाथ बढ़ाना बनता है, पर पेज ऊँचाई से उलटी दिशा में कोण नहीं निकालता। 360 अंश से बड़ा कोण लपेटकर निकालने के बजाय मना कर दिया जाता है। यहाँ दीर्घवृत्त के वृत्तखंड, ऐसी ज्या रेखा जो पूरे चाप तक न पहुँचे, या पीपे के पटरे और मेहराब की ईंट जैसी किसी मोटाई और सिरों वाली चीज़ का कोई हिसाब नहीं है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

वृत्तखंड और त्रिज्यखंड में क्या फ़र्क़ है?: त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा टुकड़ा है — पाई का टुकड़ा। वृत्तखंड वह बचता है जब आप उस टुकड़े में से त्रिभुज काट देते हैं: सिर्फ़ ज्या रेखा और चाप के बीच का क्षेत्र। बग़ल वाला त्रिज्यखंड कैलकुलेटर टुकड़ा निकालता है, और यह पेज वह निकालता है जो उसमें से ½r²sin θ हटा देने पर बचता है।
270 अंश पर पेज बड़ा क्षेत्र क्यों देता है?: क्योंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल ½r²sin θ है, और 180 अंश के बाद ज्या ऋणात्मक हो जाती है, इसलिए उसे घटाने से घटता नहीं, जुड़ जाता है। गिनती सही है और जवाब ज्या रेखा से बने दोनों क्षेत्रों में बड़ा वाला है। पेज जानबूझकर किसी जवाब पर बड़ा या छोटा का ठप्पा नहीं लगाता: सिर्फ़ त्रिज्या और कोण से यह पता नहीं चलता कि आपकी मुराद किस क्षेत्र की थी, इसलिए वह एक निकालता है और पढ़ना आप पर छोड़ देता है।
वृत्तखंड की ऊँचाई किस काम की है?: यह बताती है कि ज्या रेखा के बीच से ऊपर चाप कितना उभरता है — यानी वृत्तखंड की गहराई। यह इस पेज पर इसलिए है क्योंकि यह वह माप है जो आप सचमुच ले सकते हैं: सपाट भुजा पर फ़ुटा रखिए और वक्र के सबसे गहरे बिंदु तक नापिए, ऊँचाई मिल जाती है, कोण की ज़रूरत नहीं। यह शून्य कोण पर 0 से लेकर पूरे चक्कर पर पूरे व्यास तक जाती है, और आधे भरे पाइप को बयान करने का यही आम तरीक़ा है।
ज्या रेखा और चाप त्रिज्यखंड वाले पेज जितने ही क्यों हैं?: क्योंकि इनमें से कोई भी उस त्रिभुज का हिस्सा नहीं है जो काटा जाता है। घटाव उस क्षेत्र को हटाता है जो दोनों त्रिज्याओं और ज्या रेखा से घिरा है; ज्या रेखा ख़ुद उस त्रिभुज की सीमा है, उसका भीतरी हिस्सा नहीं, और चाप को तो छुआ ही नहीं जाता। इसलिए एक ही वृत्त के 120 अंश के वृत्तखंड और 120 अंश के त्रिज्यखंड की ज्या रेखा एक जैसी और चाप एक जैसा होता है, क्षेत्रफल अलग।
यह आकृति कहाँ काम आती है?: हर वह जगह जहाँ कोई सीधी रेखा किसी वृत्त को काटती है। आधे भरे पड़े पाइप या टंकी की काट वृत्तखंड होती है, इसीलिए पीपे में भरे तरल का आयतन वृत्त का नहीं, वृत्तखंड का सवाल है। मेहराबदार खिड़की, सीधी दीवारों पर टिकी सुरंग की छत, सीधी ज़मीन की सीमा और मुड़ी सड़क के बीच का क्षेत्र, गोल छड़ पर तिरछा कट लगाने पर बची कतरन, और गोल बिस्कुट में से निकाला गया कौर — सब वृत्तखंड हैं।
क्या मैं ऊँचाई से कोण निकाल सकता हूँ?: इस पेज पर नहीं — ऊँचाई यहाँ पाठ है, इनपुट नहीं। उससे कोण निकाला जा सकता है, क्योंकि ऊँचाई r(1 − cos(θ/2)) है, पर उसके लिए कोज्या के लिए हल करके उलटा फलन लगाना पड़ता है, और यह पेज वह नहीं करता। अगर आपके पास गहराई का नाप है, तो काम का रास्ता यह है कि कोण बदल-बदलकर देखिए जब तक ऊँचाई का स्तंभ आपके नाप से मेल न खा जाए, या उलटा हिसाब अलग से निकाल लीजिए।

संदर्भ

Circular segment — the region between a chord and its arc, with the area as the sector minus the triangle that this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
Circular sector — the wedge this page subtracts the triangle from, and the page next door where the wedge itself is the answer — Wolfram MathWorld (United States)
Circle — the shape the segment is cut from, and the page where the whole circle and its chord properties are set out — Wolfram MathWorld (United States)

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वृत्तखंड क्षेत्रफल कैलकुलेटर

नतीजा

आम वृत्तखंड — पतली पट्टी से पूरे वृत्त तक

फ़ॉर्मूला

हल किए हुए उदाहरण

चौथाई वृत्त का वृत्तखंड

60 अंश का उथला वृत्तखंड

आधा वृत्त

वृत्त का एक-तिहाई

270 अंश पर बड़ा वृत्तखंड

सीमाएँ

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

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