त्रिज्यखंड क्षेत्रफल कैलकुलेटर

A = (θ ÷ 360) × πr² L = (θ ÷ 360) × 2πr c = 2r × sin(θ ÷ 2)

त्रिज्या

केंद्र से मुड़े किनारे तक की दूरी, सेंटीमीटर में। टुकड़े की दोनों सीधी भुजाओं की आधी, और वह अकेली संख्या जो बताती है कि यह किस बड़े वृत्त से काटा गया है

केंद्रीय कोण

दोनों सीधी भुजाओं के बीच का कोण, केंद्र पर नापा हुआ, डिग्री में। त्रिज्या के साथ यह टुकड़े को पूरा तय कर देता है, और यही बताता है कि वृत्त का कितना हिस्सा लिया गया — 90 चौथाई, 60 छठा हिस्सा

क्षेत्रफल

टुकड़े की घेरी हुई सतह, वर्ग सेंटीमीटर में। यह वृत्त का हिस्सा निकालकर पूरे वृत्त के क्षेत्रफल पर लगाया जाता है, और तीनों में यह अकेला है जो त्रिज्या के वर्ग के साथ चलता है: त्रिज्या दुगुनी कीजिए तो क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है

चाप की लंबाई

मुड़े किनारे के साथ की दूरी, सेंटीमीटर में। वही हिस्सा, बस क्षेत्रफल के बजाय परिधि पर लगाया हुआ — इसलिए यह त्रिज्या के साथ चलता है, उसके वर्ग के साथ नहीं, और जब कोण एक रेडियन का हो तो यह ठीक त्रिज्या के बराबर आता है

ज्या रेखा

चाप के एक सिरे से दूसरे सिरे तक की सीधी रेखा, सेंटीमीटर में। यह टुकड़े की सपाट भुजा है, और तीनों में अकेली ऐसी राशि है जिसके लिए त्रिकोणमिति चाहिए, सिर्फ़ हिस्सा निकालना नहीं: यह त्रिज्या की दुगुनी गुणा आधे कोण की ज्या है

sin(θ ÷ 2)

आधे कोण की ज्या, और यहाँ आधा कोण ही याद रखने लायक़ बात है — ज्या रेखा और दोनों त्रिज्याएँ मिलकर एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं, और उसके बीच से लंब डालने पर कोण भी दो हिस्सों में बँटता है और ज्या रेखा भी

θ ÷ 360

पूरे वृत्त का वह हिस्सा जो टुकड़ा घेरता है। यही गुणक क्षेत्रफल और चाप की लंबाई दोनों में लगता है, और इसीलिए ये दोनों वृत्त के अपने मापों की छोटी की हुई नक़ल भर हैं

चार दशमलव स्थान

हर पाठ कितना चौड़ा लिखा जाता है। क्षेत्रफल और चाप दोनों में π बैठा है इसलिए वे लगभग कभी पूरे नहीं होते; ज्या रेखा सिर्फ़ उन्हीं कोणों पर ठीक बैठती है जहाँ ज्या ठीक हो — इसीलिए 60 अंश और 180 अंश साफ़-सुथरे आँकड़े देते हैं और बाक़ी ज़्यादातर कोण नहीं देते

तीनों पाठ एक ही टुकड़े के तीन अलग सवालों के जवाब हैं, और असली काम यह चुनना है कि आपको कौन-सा चाहिए। क्षेत्रफल हर उस चीज़ के लिए है जो सतह के हिसाब से ख़रीदी या गिनी जाती है: ट्रे पर बिकने वाला पिज़्ज़ा का टुकड़ा, कोने पर मिलती दो बाड़ों के बीच पड़ी ज़मीन का हिस्सा, मुड़े फ़्रेम में फिट होने वाला काँच का टुकड़ा, या कैमरे के शटर की कोई सेटिंग व्यूफ़ाइंडर का कितना हिस्सा खोलती है। चाप की लंबाई हर उस चीज़ के लिए है जो वक्र के साथ चलती है: मुड़े काउंटर के चारों ओर लगने वाली किनारे की पट्टी, उभरी हुई सीमा पर लगने वाला तार, घिरनी के एक हिस्से पर चलने वाली बेल्ट, या पहिये के किसी कोण तक घूमने पर उसके किनारे के एक बिंदु तक तय हुई दूरी। ज्या रेखा सीधी रेखा के लिए है — पंखे के ब्लेड की नोक पर चौड़ाई, टुकड़े की वह सपाट पीठ जो प्लेट पर टिकती है, मेहराब का फैलाव, या एक ही केंद्र से एक ही कोण तक घुमाए गए दो बिंदु वृत्त पर कितनी दूर पहुँचते हैं। और चौथा इस्तेमाल तीनों के ऊपर से चलता है: त्रिज्यखंड ही वह इकाई है जिससे गोल चीज़ें बनाई जाती हैं — पाई चार्ट कुछ और नहीं, बस त्रिज्यखंडों की कतार है, षट्भुज उनके छह टुकड़े हैं, और गियर का दाँता उसी टुकड़े का नुकीला सिरा काटा हुआ है।

1. 5 cm वृत्त का 60 अंश का टुकड़ा

   1. वृत्त का हिस्सा: 60 ÷ 360 = 1/6
   2. क्षेत्रफल: (1/6) × π × 5² = 25π ÷ 6 = 13.0899…, जो 13.09 होता है
   3. चाप की लंबाई: (1/6) × 2π × 5 = 10π ÷ 6 = 5.2359…, जो 5.236 होती है
   4. ज्या रेखा: 2 × 5 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5

   वही जोड़ा जिसके साथ पेज खुलता है, और वह कतार जो दिखाती है कि हिस्सा निकालना क्या कर रहा है: 60 अंश का टुकड़ा वृत्त का ठीक छठा है, इसलिए उसका क्षेत्रफल 25π का छठा है और चाप 10π का छठा। रुकने लायक़ बात ज्या रेखा है — वह ठीक 5 आती है, उतनी ही जितनी त्रिज्या, क्योंकि 30 अंश की ज्या ठीक आधी होती है और बाहर का 2 और यह आधा एक-दूसरे को काट देते हैं। ऐसे छह टुकड़े नोक से नोक मिलाकर रखने पर सम षट्भुज बनता है, और वह अगला पेज है।

2. 5 cm वृत्त का चौथाई

   1. वृत्त का हिस्सा: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. क्षेत्रफल: 25π ÷ 4 = 19.6349…, जो 19.635 होता है
   3. चाप की लंबाई: 10π ÷ 4 = 7.8539…, जो 7.854 होती है
   4. ज्या रेखा: 2 × 5 × sin(45°) = 10 × 0.7071068 = 7.0710678…, जो 7.0711 होती है

   चौथाई वृत्त। 90 अंश के टुकड़े की ज्या रेखा उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी दोनों भुजाएँ त्रिज्या के बराबर हैं, इसलिए वह r√2 है — यहाँ 5√2, वही 7.0711 जो वर्ग वाला पेज अपने विकर्ण के लिए छापता है। एक ही संख्या तीन जगह, और तीनों जगह वही त्रिभुज अलग-अलग तरफ़ से देखा हुआ।

3. आधा वृत्त

   1. वृत्त का हिस्सा: 180 ÷ 360 = 1/2
   2. क्षेत्रफल: 25π ÷ 2 = 39.2699…, जो 39.2699 होता है
   3. चाप की लंबाई: 10π ÷ 2 = 15.7079…, जो 15.708 होती है
   4. ज्या रेखा: 2 × 5 × sin(90°) = 10 × 1 = 10

   वह कोण जहाँ ज्या रेखा ज्या रेखा नहीं रहती और व्यास बन जाती है: चाप के दोनों सिरे अब आमने-सामने हैं, इसलिए उनके बीच की सीधी रेखा केंद्र से होकर जाती है और 2r है। 90 अंश की ज्या ठीक 1 होती है, इसीलिए जवाब साफ़-सुथरा आता है। इस कतार का सब कुछ नीचे वाली पूरी वृत्त की कतार का आधा है — सिवाय ज्या रेखा के, जो यहीं अपने सबसे बड़े माप पर है; 180 अंश के बाद क्षेत्रफल बढ़ता रहता है और ज्या रेखा फिर से घटने लगती है।

4. 6 cm वृत्त का एक-तिहाई

   1. वृत्त का हिस्सा: 120 ÷ 360 = 1/3
   2. क्षेत्रफल: 36π ÷ 3 = 12π = 37.6991…, जो 37.6991 होता है
   3. चाप की लंबाई: 12π ÷ 3 = 4π = 12.5664…, जो 12.5664 होती है
   4. ज्या रेखा: 2 × 6 × sin(60°) = 12 × 0.8660254 = 10.3923048…, जो 10.3923 होती है

   त्रिज्या 6 के वृत्त का एक-तिहाई, और वह कतार जो इस पेज को अगले पेज से जोड़ती है। ज्या रेखा 6√3 है, जो ठीक 6 भुजा वाले सम षट्भुज का छोटा विकर्ण है — और यह इत्तेफ़ाक़ नहीं है: ऐसे तीन टुकड़े मिलकर आधा षट्भुज बनाते हैं और छह मिलकर पूरा। दूसरी ग़ौर करने वाली बात यह है कि क्षेत्रफल 12π और चाप 4π हैं: जब हिस्सा साफ़-सुथरा निकले तो जवाब में π बचा रह जाता है और बाक़ी सब कट जाता है।

5. पूरा वृत्त

   1. वृत्त का हिस्सा: 360 ÷ 360 = 1
   2. क्षेत्रफल: 1 × π × 5² = 25π = 78.5398…, जो 78.5398 होता है
   3. चाप की लंबाई: 1 × 2π × 5 = 10π = 31.4159…, जो 31.4159 होती है
   4. ज्या रेखा: 2 × 5 × sin(180°) = 10 × 0 = 0

   360 अंश का त्रिज्यखंड पूरा वृत्त है, और उसका क्षेत्रफल तथा चाप ठीक वही हैं जो वृत्त कैलकुलेटर त्रिज्या 5 के लिए छापता है — वही 78.5398 और वही 31.4159। होना ही चाहिए: जो टुकड़ा पूरा वृत्त ले ले वह वृत्त है। दिलचस्प ज्या रेखा है। वह 0 है, और यह सही जवाब है, कोई ख़राबी नहीं: चाप के दोनों सिरे घूमकर एक-दूसरे से मिल गए हैं, इसलिए उनके बीच की सीधी रेखा की कोई लंबाई नहीं बची। ज्या रेखा शून्य हो सकती है जबकि क्षेत्रफल अपने सबसे बड़े माप पर हो — इन दोनों मापों का एक-दूसरे से कोई वास्ता नहीं है।

यह पेज सिर्फ़ त्रिज्यखंड के लिए है: दो सीधी त्रिज्याएँ और उनके बीच का चाप, समतल वृत्त पर। वृत्तखंड — यानी ज्या रेखा और उसके चाप के बीच का क्षेत्र, जो इस टुकड़े से त्रिभुज काट देने पर बचता है — दूसरी आकृति है और उसका अपना पेज बग़ल में है। पाठ सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में हैं, चाहे ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हो, इसलिए इंच में डाली गई त्रिज्या का जवाब सेंटीमीटर में आता है और उसे ख़ुद बदलना पड़ता है। कोण डिग्री में है और ड्रॉपडाउन रेडियन या ग्रेड भी ले लेता है, पर गिनती हमेशा डिग्री पर ही होती है। 360 अंश से बड़ा कोण लपेटकर निकालने के बजाय मना कर दिया जाता है: पूरे चक्कर के बाद यह तय करने का एक से ज़्यादा तरीक़ा बन जाता है कि आपका मतलब कौन-सा टुकड़ा था, और पेज अंदाज़ा लगाने से बेहतर मना कर देना समझता है। चार दशमलव स्थान लिखने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं — क्षेत्रफल और चाप में π बैठा है इसलिए वे लगभग कभी पूरे नहीं होते, और ज्या रेखा सिर्फ़ उन्हीं कोणों पर ठीक होती है जहाँ ज्या ठीक हो। ज्या रेखा टुकड़े के आर-पार की सीधी रेखा नापती है, इसलिए 180 अंश से बड़े कोणों पर वह आधे से बड़े टुकड़े को छोटे रास्ते से नाप रही होती है — यह सही है, पर पाई चार्ट बनाने वाले के दिमाग़ में शायद यही न हो। यहाँ दीर्घवृत्त के किसी टुकड़े, गोल सिरे वाले टुकड़े, या केक और चीज़ के टुकड़े जैसी किसी मोटाई वाली चीज़ का कोई हिसाब नहीं है।

जब वृत्त कैलकुलेटर को एक इनपुट काफ़ी है तो इस पेज को दो क्यों चाहिए?

क्योंकि त्रिज्यखंड एक संख्या से तय नहीं होता। वृत्त होता है: उसकी त्रिज्या दीजिए और उसका सब कुछ पता चल जाता है। त्रिज्यखंड वह वृत्त है जिसका एक टुकड़ा कटा हुआ है, और टुकड़ा कितना बड़ा है यह अलग से बताना पड़ता है — बड़े वृत्त का 30 अंश का टुकड़ा और छोटे वृत्त का 180 अंश का टुकड़ा बिलकुल अलग आकृतियाँ हैं। त्रिज्या वृत्त तय करती है और कोण यह तय करता है कि उसमें से कितना लिया गया, इसलिए दोनों चाहिए और एक से दूसरा निकाला नहीं जा सकता।

60 अंश पर ज्या रेखा ठीक त्रिज्या के बराबर क्यों आती है?

क्योंकि ज्या रेखा 2r·sin(θ/2) है, और 60 अंश पर आधा कोण 30 अंश होता है जिसकी ज्या ठीक आधी है। बाहर का 2 और यह आधा एक-दूसरे को काट देते हैं और हाथ में r बच जाता है। यह उन गिने-चुने कोणों में से है जहाँ ज्या रेखा पूरी संख्या में आती है, और षट्भुज इसी वजह से बनता है: 60 अंश के छह टुकड़े नोक से नोक रखने पर ऐसी आकृति बनती है जिसकी हर भुजा — छह त्रिज्याएँ और छह ज्या रेखाएँ — एक ही लंबाई की होती है।

त्रिज्यखंड और वृत्तखंड में क्या फ़र्क़ है?

त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा टुकड़ा है, पाई के टुकड़े जैसा। वृत्तखंड ज्या रेखा और उसके चाप के बीच का क्षेत्र है — यानी टुकड़े में से वह त्रिभुज काट देने पर जो बचता है जो दोनों त्रिज्याओं और ज्या रेखा से बनता है। बग़ल वाला वृत्तखंड कैलकुलेटर उसी दूसरे क्षेत्र को निकालता है, और उसका क्षेत्रफल इस पेज का क्षेत्रफल घटा वह त्रिभुज होता है।

तीनों पाठों में से मुझे कौन-सा चाहिए?

क्षेत्रफल तब, जब टुकड़ा एक सतह हो — पिज़्ज़ा का टुकड़ा, ज़मीन का हिस्सा, काँच का पुर्ज़ा। चाप की लंबाई तब, जब कोई चीज़ वक्र के साथ चले — मुड़े काउंटर के चारों ओर लगने वाली किनारे की पट्टी, उभरी सीमा पर लगने वाला तार, घिरनी के एक हिस्से पर चलने वाली बेल्ट। ज्या रेखा तब, जब टुकड़े के आर-पार की सीधी रेखा चाहिए — पंखे के ब्लेड की नोक पर चौड़ाई, मेहराब का फैलाव, या वृत्त के किनारे के दो बिंदु कितनी दूर पहुँचते हैं।

पूरे वृत्त पर ज्या रेखा 0 आती है, क्या यह गड़बड़ है?

नहीं, यही सही जवाब है। 360 अंश पर चाप के दोनों सिरे पूरा चक्कर लगाकर एक-दूसरे से मिल गए हैं, इसलिए उनके बीच की सीधी रेखा की कोई लंबाई नहीं बचती। यह देख लेना काम का है कि जिस पल क्षेत्रफल अपने सबसे बड़े माप पर है — पूरा वृत्त — उसी पल ज्या रेखा अपने सबसे छोटे माप पर है, क्योंकि इन दोनों मापों का एक-दूसरे से कोई वास्ता नहीं। ऐसा सिर्फ़ ज्या रेखा के साथ होता है; चाप की लंबाई तो बस परिधि बन जाती है।

क्या मैं कोण रेडियन में डाल सकता हूँ?

हाँ, कोण के बग़ल वाला ड्रॉपडाउन डिग्री, रेडियन और ग्रेड स्वीकार करता है, और आप जो भी लिखें उसे गिनने से पहले डिग्री में बदल देता है। संदर्भ तालिका की सारी कतारें डिग्री में हैं, इसलिए लगभग 1.047 रेडियन वही टुकड़ा है जो 60 अंश की कतार है। इकाई बदलने से पाठ में कुछ नहीं बदलता — क्षेत्रफल किसी भी हालत में वर्ग सेंटीमीटर में और चाप तथा ज्या रेखा सेंटीमीटर में।

• Circular sector — the region bounded by two radii and an arc, with the area and the arc length this page computes and the fraction-of-the-circle form of both — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the shape the sector is cut from, and the page next door where any one of four measurements gives the other three — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular segment — the region between a chord and its arc, which is this wedge with the triangle removed, and the shape the page next door computes — Wolfram MathWorld (United States)