चाप लंबाई कैलकुलेटर

L = (θ ÷ 360) × 2πr

त्रिज्या

वृत्त के केंद्र से चाप तक की दूरी, सेंटीमीटर में

θ (theta)

केंद्र पर बना कोण, अंशों में — उन दोनों त्रिज्याओं के बीच का कोण जो चाप के सिरों से मिलती हैं। यह वह कोण नहीं है जितना चाप पन्ने पर मुड़ता दिखता है, और न बाहर से देखने पर दोनों सिरों के बीच का कोण

360

अंशों में पूरा वृत्त, और यही वजह कि यह सूत्र इस तरह लिखा जाता है। कोण को 360 से भाग देने पर वह उस हिस्से में बदल जाता है जितना वृत्त चाप घेरता है

2πr

परिधि — पूरे वृत्त की लंबाई, और उसी का एक हिस्सा लिया जा रहा है। यहाँ का π वही स्थिरांक है जो हर वृत्त में एक जैसा है, और r फिर से त्रिज्या

L

चाप की लंबाई, सेंटीमीटर में। कोण 360 अंश का जितना हिस्सा है, चाप परिधि का उतना ही हिस्सा

L = rθ

इसी सूत्र का छोटा रूप, जो किताबें और संदर्भ ग्रंथ छापते हैं। इस रूप में θ रेडियन में होता है, अंशों में नहीं — यहाँ 1.0472 के बजाय 60 डाल देना वही ग़लती है जिससे यह पूरा पेज बचाता है

चार दशमलव स्थान

पाठ कितना चौड़ा लिखा जाता है। जवाब आम तौर पर ठीक-ठीक लिखा ही नहीं जा सकता, क्योंकि π नहीं लिखा जा सकता — त्रिज्या 5 वाले वृत्त का चौथाई 7.8540 आता है और वहीं रुक जाता है

हर वह चीज़ जो वृत्त का कोई हिस्सा हो और जिसकी लंबाई मायने रखती हो। सबसे सीधा मामला नापना है: मुड़ी हुई दीवार, गोल काउंटर, बे खिड़की, रास्ते का मोड़, उस बाड़ की लंबाई जो सीधी रेखा नहीं बल्कि वक्र के साथ चलती है — जो मँगाया जाता है वह वक्र के साथ की लंबाई है, और वह दोनों सिरों की सीधी दूरी से ज़्यादा होती है। पट्टियों में आकर मुड़ने वाली सामग्री दूसरा मामला है: किनारे की पट्टी, ट्रिम, वेदरस्ट्रिप, कंड्यूट, रेलिंग का मुड़ा हुआ हिस्सा, किसी त्रिज्या पर मोड़ी गई धातु की चादर। काटने से पहले लंबाई निकालना ही पूरी बात है, और छोटा कटा हुआ चाप बेकार है। वाहन और मशीनें तीसरा: वाइपर जितनी दूरी साफ़ करता है, रोबोट भुजा का रास्ता, मुड़े हुए गाइड पर चलती बेल्ट, स्प्रॉकेट के चारों ओर चेन की लंबाई। इनमें से हर जगह चाप की लंबाई ही वह दूरी है जो सचमुच तय होती है, और मोटर का नाप उसी पर तय होता है। फिर कक्षा का इस्तेमाल है। परकार से खींचे वृत्त पर यह अनुपात देखना आसान है — 90 अंश का चाप परिधि का चौथाई है, और इसे सूत्र से मिलाकर जाँचा जा सकता है — और यही वह जुगत है जो आगे त्रिज्यखंड, वृत्तखंड और आख़िर में रेडियन तक ले जाती है, जो इसी अनुपात का उलटी तरफ़ से कहा हुआ रूप है।

1. त्रिज्या 5 और कोण 90 अंश

   1. कोण वृत्त का कितना हिस्सा: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. पूरी परिधि: 2 × π × 5 = 31.4159
   3. उसका चौथाई: 31.4159 ÷ 4 = 7.854

   वृत्त का चौथाई, और वही जोड़ा जिसके साथ पेज खुलता है। दो आँकड़े साथ याद रखने लायक़ हैं — यह 7.854 और वही 31.4159 जो उसी त्रिज्या पर 360 अंश पर मिलता है। एक दूसरे से ठीक चार गुना है, और यह देखने का तेज़ तरीक़ा है कि कोण सचमुच हिस्से की तरह इस्तेमाल हो रहा है, किसी और तरह नहीं।

2. त्रिज्या 5 और कोण 60 अंश

   1. कोण वृत्त का कितना हिस्सा: 60 ÷ 360 = 1/6
   2. पूरी परिधि: 2 × π × 5 = 31.4159
   3. उसका छठा हिस्सा: 31.4159 ÷ 6 = 5.236

   वृत्त का छठा हिस्सा, और यही वह कोण है जो समबाहु त्रिभुज केंद्र पर बनाता है — इसीलिए जब कुछ भी छह हिस्सों में बाँटा जाता है तो 60 अंश आता है। यही वह कतार है जो त्रिज्यखंड वाला पेज भी छापता है, इसलिए दोनों पेजों को साथ रखकर देखा जा सकता है: यहाँ चाप जितना भी आए, उसी त्रिज्या और कोण के लिए त्रिज्यखंड वाला पेज भी वही आँकड़ा दिखाता है।

3. त्रिज्या 5 और पूरा एक चक्कर

   1. कोण वृत्त का कितना हिस्सा: 360 ÷ 360 = 1
   2. पूरी परिधि: 2 × π × 5 = 31.4159
   3. उसका पूरा: 31.4159

   सीमा का मामला, और पूरे पेज की जाँच: 360 अंश पर चाप पूरा चक्कर लगाकर बंद हो गया है, इसलिए वह परिधि है, और त्रिज्या 5 वाले वृत्त की परिधि 31.4159 है। अगर यह कतार कभी कुछ और छापे तो सूत्र ग़लत है — इसीलिए इसे तालिका में रखना बनता है।

4. त्रिज्या 10 और कोण 90 अंश

   1. कोण वृत्त का कितना हिस्सा: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. पूरी परिधि: 2 × π × 10 = 62.8319
   3. उसका चौथाई: 62.8319 ÷ 4 = 15.708

   पहले उदाहरण जैसा ही चौथाई वृत्त, और लंबाई उतनी ही जितनी त्रिज्या 5 के 180 अंश वाले चाप की। त्रिज्या दुगुनी करके कोण आधा कर देने से चाप नहीं बदलता, क्योंकि चाप की लंबाई दोनों पर मिलकर टिकती है, किसी एक पर नहीं। यह सबसे सस्ता प्रदर्शन है कि सूत्र जोड़ता क्यों नहीं, गुणा करता है।

5. त्रिज्या 5 और कोण 0

   1. कोण वृत्त का कितना हिस्सा: 0 ÷ 360 = 0
   2. पूरी परिधि: 2 × π × 5 = 31.4159
   3. उसका कुछ नहीं: 0

   शून्य कोण का मतलब है कि दोनों त्रिज्याएँ एक-दूसरे पर आ गई हैं और चाप सिकुड़कर वृत्त पर एक बिंदु रह गया है, इसलिए उसकी लंबाई शून्य है। यह असली जवाब है और पेज उसे बताता है, जो ख़ाली खाना छोड़ देने से अलग बात है — ख़ाली खाने में काम करने के लिए कुछ होता ही नहीं और कोई नतीजा नहीं दिखता।

यह पेज चाप की लंबाई लौटाता है और बस। यह त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, दोनों सिरों के बीच की सीधी ज्या की लंबाई, कोण या त्रिज्या नहीं देता — पहले दो त्रिज्यखंड वाला पेज देता है, और चाप की लंबाई से उलटी दिशा में कोण तक जाना दूसरा पेज है। कोण अंशों में है और 360 पर रुकता है: पूरे चक्कर से बड़ा केंद्रीय कोण लपेटकर निकाला नहीं जाता, मना कर दिया जाता है, क्योंकि केंद्रीय कोण परिभाषा से एक चक्कर से ज़्यादा नहीं होता। दोनों में से किसी भी इनपुट पर शून्य मान्य है और वह शून्य लंबाई का चाप देता है, जो एक बिंदु के लिए सही है और ख़ाली खाने जैसा नहीं है। दोनों इनपुट एक ही इकाई में लिए जाते हैं, इसलिए इंच में दी गई त्रिज्या इंच में ही चाप की लंबाई देती है; यहाँ कुछ बदला नहीं जाता। जवाब वृत्तीय चाप के साथ की लंबाई है और किसी दूसरे वक्र के बारे में कुछ नहीं कहता — दीर्घवृत्तीय मेहराब, सर्पिल, कैटेनरी या ऐसा कोई भी मोड़ जो सचमुच वृत्त न हो, ठीक नहीं उतरेगा; और इनमें दीर्घवृत्त वह मामला है जिसे लोग वर्ग के साधारण हिस्से जितना आसान मान बैठते हैं, जबकि है नहीं।

कोण डिग्री में देना है या रेडियन में?

अंशों में। यह पेज जो सूत्र गिनता है वह (θ ÷ 360) × 2πr है, और यह इस तरह लिखा गया है कि अंश सबसे पहले कट जाएँ। जो छोटा रूप आपने कहीं और देखा होगा, L = rθ, वह रेडियन लेता है, और यह जानना बनता है क्योंकि उसमें 60 डालने पर जवाब लगभग 57 गुना बड़ा आता है — और जवाब का बस लंबा होना ग़लत नहीं दिखता।

आकृति में कौन-सा कोण केंद्रीय है?

वह जो वृत्त के केंद्र पर है, चाप के दोनों सिरों तक खींची गई दोनों त्रिज्याओं के बीच। यह चाप पर कहीं से देखे गए दोनों सिरों के बीच का कोण नहीं है, और न वह कोण है जितना यह वक्र पन्ने पर मुड़ता दिखता है। अगर आपकी आकृति में कई कोण अंकित हों, तो केंद्रीय वही है जिसका शीर्ष केंद्र पर है।

यह त्रिज्यखंड वाले कैलकुलेटर से कैसे अलग है?

त्रिज्यखंड वाला पेज इन्हीं दो इनपुट पर तीन पाठ देता है — टुकड़े का क्षेत्रफल, चाप की लंबाई और सिरों के बीच की सीधी ज्या — क्योंकि त्रिज्यखंड पर काम करने वाले को आम तौर पर एक से ज़्यादा चाहिए होते हैं। यह पेज अकेले चाप की लंबाई देता है। उस एक आँकड़े पर दोनों बिलकुल मेल खाते हैं, इसलिए अगर सिर्फ़ लंबाई चाहिए तो यह छोटा रास्ता है।

क्या कोण 360 अंश से ज़्यादा हो सकता है?

नहीं, और पेज उसे लपेटकर निकालने के बजाय मना कर देता है। केंद्रीय कोण परिभाषा से वृत्त के केंद्र पर बना कोण है, और वह एक पूरे चक्कर से ज़्यादा नहीं हो सकता; 400 अंश का मतलब होता पूरी परिधि से लंबा चाप, जो चाप है ही नहीं। यह सीमा जानबूझकर है और त्रिज्यखंड वाले पेज से मेल खाती है, इसलिए वही जोड़ा दोनों पेजों पर एक ही तरह लिया या मना किया जाता है।

क्या चाप की लंबाई त्रिज्या पर निर्भर करती है?

हाँ, और यह निर्भरता जोड़ नहीं, गुणा है। त्रिज्या दुगुनी करने पर चाप दुगुना होता है, और कोण दुगुना करने पर भी दुगुना, इसलिए त्रिज्या 5 के 180 अंश वाले चाप और त्रिज्या 10 के 90 अंश वाले चाप की लंबाई एक ही है। इसीलिए सूत्र दोनों का गुणा करता है, उनके साथ और कुछ नहीं करता।

अगर वक्र वृत्त का न हो तो?

तो यह पेज सही जवाब नहीं देगा, और चेतावनी भी नहीं देगा। यहाँ हर चाप सच्चे वृत्त का टुकड़ा है। दीर्घवृत्तीय मेहराब, घुमावदार सीढ़ी, कैटेनरी वक्र और फेंकी गई चीज़ का रास्ता — इन सबकी लंबाई के लिए अलग गणित चाहिए, और इनमें दीर्घवृत्त ही वह है जिसे लोग सबसे ज़्यादा वृत्त का साधारण हिस्सा मान बैठते हैं, जबकि वह है नहीं।

• Arc — the definition of an arc of a circle and the proportion between its length, the radius and the angle at the centre — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular Arc — the same subject in more detail, including the compact form L = rθ and the statement that the angle in it is measured in radians — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the circumference that an arc is a fraction of, and the 2πr that fraction is taken of — Wolfram MathWorld (United States)