परिधि कैलकुलेटर
नतीजा
परिधि
परिधि कैलकुलेटर दोनों में से जो नाप आपके हाथ में हो — केंद्र से किनारे तक नापी गई त्रिज्या, या आर-पार नापा गया व्यास — लेकर बताता है कि वृत्त के चारों ओर एक बार घूमने में कितनी दूरी लगती है, यानी उसकी गोलाई की लंबाई, सेंटीमीटर में। सूत्र है 2πr, यानी त्रिज्या की दुगुनी गुना π, और यह वृत्त के सूत्रों में सबसे पुराना है: यही वह है जिसे यूनानी बहुभुजों को घिसकर निकालते थे, और यही वह है जिसने π को नाम दिया, क्योंकि π की परिभाषा ही यह है कि किसी भी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से भाग दीजिए। यह परिभाषा याद रखने लायक़ है, क्योंकि उलटी दिशा इसे ही आसान बनाती है। व्यास को π से गुणा कीजिए तो चारों ओर की दूरी मिलती है; परिधि को π से भाग दीजिए तो व्यास वापस। इस पेज का अपना हिसाब जानबूझकर लंबा रास्ता लेता है — व्यास को आधा करके त्रिज्या बनाता है और फिर सूत्र के भीतर उसे दुगुना कर देता है — और वजह यह है कि एक ही बात के ये दो रूप कंप्यूटर पर हमेशा आख़िरी अंक तक एक जैसे नहीं उतरते। पेज वह रास्ता चुनता है जो उसके भाई-बहन पेजों से मेल खाता है, इसलिए व्यास 12 वाला वृत्त यहाँ भी 37.6991 पढ़ता है और कुल योग पेज पर भी 37.6991। दोनों खानों में से एक ही भरना है। त्रिज्या और व्यास एक वृत्त की दो स्वतंत्र नापें नहीं, एक ही नाप को लिखने के दो तरीक़े हैं, इसलिए दोनों भरना ज़्यादा सटीक होना नहीं — उलटी बात कह देना है। त्रिज्या 5 और व्यास 12 एक ही वृत्त के नहीं हैं, और पेज चुपचाप एक चुनने के बजाय यही कह देता है। जो खाना सचमुच नापा हो वही भरिए और दूसरा छोड़ दीजिए; ग़लत भर दिया हो तो दूसरा जोड़ने के बजाय उसे मिटा दीजिए। इकाइयाँ ही वह हिस्सा हैं जो सबसे आसानी से चौंकाता है। दोनों खाने सेंटीमीटर, मीटर, मिलीमीटर, इंच या फ़ुट लेते हैं, और जवाब हमेशा सेंटीमीटर में आता है, क्योंकि बदलाव अंदर आते समय होता है, बाहर जाते समय नहीं। इंच में त्रिज्या डालकर इंच में जवाब की उम्मीद मत रखिए — आँकड़ा लगभग ढाई गुना बड़ा आएगा। यहाँ कुछ भी वर्ग नहीं होता, इसलिए बदलाव 2.54 से एक ही भाग है — पर यह इसी पेज की बात है, और 2.54 से भाग देने की आदत क्षेत्रफल पर जाते ही ग़लत जवाब देगी। अपना हिसाब मिलाने से पहले एक आख़िरी बात। जवाब बिना गोल की गई त्रिज्या से निकलता है और गोल सिर्फ़ आख़िर में होता है, और यह तब मायने रखता है जब आप व्यास से शुरू करें जिसकी त्रिज्या गोल संख्या न हो। व्यास 12 को हाथ से निकालिए, त्रिज्या 6 रखते हुए — आप पेज से बिलकुल मेल खाएँगे। लोग पेज से तब अलग होते हैं जब त्रिज्या ऐसा मान हो जिसे लिखा ही न जा सके, और ऐसा तब होता है जब शुरुआती नाप परिधि ही रही हो।
त्रिज्या से वृत्त की परिधि, साथ में उसका व्यास
| त्रिज्या (cm) | व्यास (cm) | परिधि (cm) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 6.2832 |
| 2 | 4 | 12.5664 |
| 3 | 6 | 18.8496 |
| 5 | 10 | 31.4159 |
| 10 | 20 | 62.8319 |
| 20 | 40 | 125.6637 |
| 0.5 | 1 | 3.1416 |
| 0 | 0 | 0 |
आठ वृत्त और तीन स्तंभ, जिनमें आख़िरी जवाब है और पहले दो उसे समझाते हैं। व्यास वाला स्तंभ यहाँ इसलिए है क्योंकि नतीजा पैनल आपका लिखा हुआ वापस नहीं छापता: अगर आपने व्यास डाला है तो यह देखने की इकलौती जगह यही है कि उसे क्या पढ़ा गया। पहली कतार इकाई वृत्त है, जिसकी परिधि संख्यात्मक रूप से 2π है — यह अपने आप में जानने लायक़ है और यह याद रखने का सबसे तेज़ तरीक़ा भी कि त्रिज्या 1 पर सूत्र क्या करता है। पहली और दूसरी कतार वह जोड़ा हैं जो स्केलिंग का नियम दिखाते हैं: त्रिज्या 1 से 2 जाती है और परिधि 6.2832 से 12.5664, ठीक दुगुनी, क्योंकि परिधि क्षेत्रफल नहीं, लंबाई है। चौथी कतार वह जोड़ा है जिसके साथ पेज खुलता है, 31.4159, और यही आँकड़ा कुल योग पेज भी उसी वृत्त के लिए छापता है। सातवीं आधे सेंटीमीटर की त्रिज्या है, जिसकी परिधि चार दशमलव तक π है, और आख़िरी शून्य की त्रिज्या है, जहाँ वृत्त सिकुड़कर एक बिंदु रह गया है और जवाब ग़ायब नहीं, असली शून्य है।
फ़ॉर्मूला
C = 2πr
- π
- वह स्थिरांक जो हर वृत्त में एक ही है, लगभग 3.14159। परिभाषा यह है कि वह वृत्त की परिधि बटा उसका व्यास है — यहीं से आता है और इसीलिए उससे भाग देकर उलटी दिशा में जाया जाता है
- r
- त्रिज्या, सेंटीमीटर में — केंद्र से किनारे तक की दूरी, या अगर व्यास नापा हो तो उसका आधा
- 2πr
- सूत्र: त्रिज्या की दुगुनी, फिर π से गुणा। पहले दुगुना करना वही है जो व्यास से शुरू करके एक बार π से गुणा करना है, और पेज इसे इसी तरह लिखता है ताकि दोनों खाने एक ही बारीक आँकड़े पर उतरें
- परिधि
- वृत्त के चारों ओर एक बार घूमने की दूरी, सेंटीमीटर में, चाहे इनपुट का खाना किसी भी इकाई पर रखा गया हो
- व्यास ÷ 2
- दूसरे खाने से अंदर आने का रास्ता। जब व्यास आपने ख़ुद नापा हो तो आधा करना सटीक होता है, इसीलिए यह पेज और त्रिज्या से शुरू करने वाला पेज एक ही जवाब देते हैं
- त्रिज्या की दुगुनी
- यहाँ दुगुना करने का मतलब: परिधि भी दुगुनी हो जाती है। उसी वृत्त के क्षेत्रफल के साथ ऐसा नहीं होता, वह चार गुना हो जाता है, और गोल आकृतियों पर सबसे आम हिसाबी चूक यही है कि इन दोनों में से ग़लत वाली आदत उठा ली जाए
- चार दशमलव स्थान
- पाठ कितना चौड़ा छपता है। परिधि लगभग कभी ख़त्म नहीं होती जब तक त्रिज्या ऐसी न चुनी गई हो कि हो जाए; त्रिज्या 5 पर 2π गुना 31.41592… है और पेज 31.4159 दिखाता है
हर वह चीज़ जिसे किसी और चीज़ के चारों ओर जाना है। तारबंदी, किनारा और बॉर्डर सबसे सीधा मामला है: गोल बाड़े के चारों ओर का तार, गोल लॉन के किनारे की पट्टी, गोल मेज़ या गोल आईने के चारों ओर की ट्रिम — सब इसी सूत्र से निकलते हैं और सब मीटर में ख़रीदे जाते हैं। पेटे, पट्टे और छल्ले दूसरे हैं: एक ही नाप के दो घिरनियों के चारों ओर ड्राइव बेल्ट, पीपे पर धातु का छल्ला, गैसकेट की रिंग, गोल वेदरस्ट्रिप, टंकी के ढक्कन पर जकड़ने वाला पट्टा — हर एक परिधि के नाप काटा जाता है, और सामग्री की मोटाई का हिसाब इस पेज में नहीं है। लुढ़कना तीसरा और सबसे कम सोचा जाने वाला इस्तेमाल है: ज्ञात व्यास का पहिया एक पूरे चक्कर में अपनी परिधि जितनी दूरी तय करता है, इसलिए साइकिल, कार या नापने वाले पहिये की तय की गई दूरी परिधि गुना चक्करों की संख्या है — यांत्रिक ओडोमीटर बिलकुल इसी तरह काम करता है। निर्माण और भूदृश्य में यह गोल कर्ब की लंबाई, गोल तालाब के चारों ओर की कॉपिंग, गोल ड्राइव के चारों ओर लगने वाली नाली, और गोल दीवार की लंबाई है। इंजीनियरिंग में यह एक घिरनी के चारों ओर बेल्ट की लंबाई, उस पाइप की परिधि जिसे इंसुलेशन की एक परत या टेप की एक पट्टी ढकती है, और किसी भी रोलर की प्रति-चक्कर चाल है। कक्षा में यह पहली जगह है जहाँ विद्यार्थी यह समझता है कि कोई स्थिरांक अपरिमेय होकर भी काम का हो सकता है: टिन के डिब्बे के चारों ओर धागा लपेटिए, स्केल पर सीधा कीजिए, व्यास से भाग दीजिए — जवाब हर बार तीन से ज़रा ऊपर आता है, और यही पूरी वजह है कि π को लिखने लायक़ माना जाता है।
हल किए हुए उदाहरण
पाँच की त्रिज्या
- त्रिज्या की दुगुनी: 2 × 5 = 10
- π से गुणा: 10 × 3.14159 = 31.4159
यह वह जोड़ा है जिसके साथ पेज खुलता है, और यही आँकड़ा इस पेज को दो और पेजों से बाँधता है: त्रिज्या 5 वाला वृत्त यहाँ भी 31.4159 नापता है, कुल योग पेज पर भी, और दीर्घवृत्त पेज पर भी जब उसके दोनों अक्ष 10 हों। तीनों आख़िरी अंक तक मेल खाते हैं क्योंकि कोई भी त्रिज्या को गुणा करने से पहले गोल नहीं करता।
बारह का व्यास
- व्यास को आधा करके त्रिज्या: 12 ÷ 2 = 6
- सूत्र के भीतर उसे फिर दुगुना कीजिए: 2 × 6 = 12
- π से गुणा: 12 × 3.14159 = 37.6991
लोग यहाँ सबसे ज़्यादा इसी रास्ते से आते हैं, क्योंकि गोल चीज़ को आर-पार नापना उसका केंद्र ढूँढ़ने से आसान है। आधा करना और दुगुना करना ठीक-ठीक कट जाते हैं, इसलिए जवाब वही आँकड़ा है जो कुल योग पेज व्यास 12 पर छापता है — त्रिज्या से होकर जाने का चक्कर कुछ महँगा नहीं पड़ता, उलटे वही दोनों पेजों को एक बात पर रखता है।
दस की त्रिज्या
- त्रिज्या की दुगुनी: 2 × 10 = 20
- π से गुणा: 20 × 3.14159 = 62.8319
त्रिज्या 5 वाले वृत्त की परिधि से ठीक दुगुनी, और यह देखने की सबसे साफ़ जगह कि वृत्त की परिधि उसकी त्रिज्या के साथ बढ़ती है, उसके वर्ग के साथ नहीं। क्षेत्रफल वाले पेज से मिलाइए, जहाँ 5 से 10 का यही बदलाव जवाब को चार गुना कर देता है। दो पेज, एक बदला हुआ आँकड़ा, दो अलग गुणक — और यह जानना कि कौन कब, गोल आकृतियों के बारे में जानने लायक़ लगभग पूरी बात है।
आधे सेंटीमीटर की त्रिज्या
- त्रिज्या की दुगुनी: 2 × 0.5 = 1
- π से गुणा: 1 × 3.14159 = 3.1416
आधी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि संख्यात्मक रूप से ठीक π होती है, जो नोटिस करने लायक़ साफ़-सुथरी बात है और यह याद रखने का तेज़ तरीक़ा भी कि r आधा होने पर सूत्र क्या करता है। इतने छोटे वृत्तों पर ही चार दशमलव उदार होना बंद करते हैं: इस नाप पर पाठ चार दशमलव तक π है, और इससे आगे का कोई अंक ऐसी नाप पर शोर है जिसे कोई इतने सटीक से नहीं नाप सकता।
शून्य की त्रिज्या
- त्रिज्या की दुगुनी: 2 × 0 = 0
- π से गुणा: 0 × 3.14159 = 0
जिस वृत्त का कोई आकार नहीं, उसके चारों ओर घूमने को कुछ नहीं, और शून्य जवाब सही है, ग़ायब नहीं। दोनों खानों में शून्य मान्य मान है — शून्य नापना और बिलकुल न नापना, दोनों अलग हैं — और ख़ाली खाने को पेज ऐसा मामला मानता है जहाँ शुरू करने के लिए कुछ है ही नहीं।
सीमाएँ
यह पेज परिधि लौटाता है और बस: न त्रिज्या, न व्यास, न क्षेत्रफल। अगर परिधि आपके पास पहले से है और उनमें से कोई चाहिए, तो वह दूसरा पेज है। जवाब हमेशा सेंटीमीटर में आता है, चाहे दोनों खाने किसी भी इकाई पर हों, क्योंकि बदलाव अंदर आते समय होता है; इंच में डाली गई त्रिज्या सेंटीमीटर वाले आँकड़े के रूप में लौटती है जिसे इंच में पढ़ने के लिए 2.54 से भाग देना पड़ता है, और यह एक ही भाग इसी पेज के लिए सही है — क्षेत्रफल और आयतन अलग तरह बदलते हैं। जवाब बिना गोल की गई त्रिज्या से गिना जाता है और गोल आख़िर में एक बार होता है, इसलिए जो हाथ का हिसाब पहले त्रिज्या गोल कर लेता है वह आख़िरी अंक में अलग आ सकता है; ग़लत पेज नहीं है। चार दशमलव स्थान दिखाने की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं — परिधि आम तौर पर ऐसी दशमलव है जो ख़त्म नहीं होती, और 31.4159 गोल किया हुआ 31.41592… है। एक बार में ठीक एक खाना भरा जा सकता है: दो दीजिए, चाहे वे एक-दूसरे से मेल भी खाते हों, तो पेज मना कर देता है, क्योंकि दो खाने मतलब दो नापें और पेज के पास यह जानने का कोई ज़रिया नहीं कि आपका मतलब कौन-सी थी। शून्य परिधि ली जाती है और उसका जवाब शून्य है। यहाँ दीर्घवृत्त, वृत्तखंड, त्रिज्यखंड या सर्पिल कुछ नहीं आता — दीर्घवृत्त की परिधि का तो कोई सीधा सूत्र ही नहीं है, इसलिए जो पेज उसे देने का दावा करे वह अनुमान दे रहा है और उसे यह कह देना चाहिए।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
- दोनों खानों में से एक ही क्यों भर सकता हूँ?
- क्योंकि त्रिज्या और व्यास एक ही नाप को लिखने के दो तरीक़े हैं, इसलिए कोई भी दो आँकड़े या तो एक ही बात दोहराते हैं या आपस में उलटी बात कहते हैं। त्रिज्या 5 और व्यास 12 एक ही वृत्त के सच नहीं हो सकते। पेज एक चुनने के बजाय दो को मना कर देता है, क्योंकि दोनों खाने रखने का मक़सद ही यह है कि आप वही भरें जो सचमुच नापा हो।
- मैं वृत्त को सिर्फ़ आर-पार नाप सकता हूँ। वह कौन-सा खाना है?
- व्यास वाला, और यही सबसे आम रास्ता है — टिन, मेज़ की सतह या पाइप पर टेप आर-पार रखना केंद्र ढूँढ़कर बाहर की ओर नापने से कहीं आसान है। पेज पहले उसे आधा करके त्रिज्या बनाता है और फिर सूत्र के भीतर दुगुना कर देता है, जो चक्कर जैसा लगता है पर है नहीं: यही वह बात है जो आँकड़े को कुल योग पेज के आँकड़े से बिलकुल एक जैसा रखती है।
- मैंने इंच में डाला, जवाब सेंटीमीटर में क्यों है?
- क्योंकि बदलाव अंदर आते समय होता है, बाहर जाते समय नहीं। आपके इंच पहले सेंटीमीटर बनते हैं, फिर परिधि गिनी जाती है, और जवाब सेंटीमीटर में आता है। उसे इंच में पढ़ने के लिए 2.54 से भाग दीजिए। यह एक भाग यहाँ सही है क्योंकि परिधि एक लंबाई है — क्षेत्रफल पर यही भाग ग़लत होगा, क्योंकि वहाँ लंबाई का गुणक वर्ग हो जाता है।
- त्रिज्या 1 वाले वृत्त की परिधि ठीक 6.2832 क्यों नहीं है?
- क्योंकि वह ठीक 2π है, और 2π ऐसी दशमलव है जो ख़त्म नहीं होती — 6.283185… पेज उसे चार दशमलव तक छापता है, इसलिए जो दिख रहा है वह 6.2832 का गोल किया हुआ रूप है। यह पाठ की चौड़ाई है, इस बात का दावा नहीं कि संख्या वहीं ख़त्म हो जाती है, और शून्य तथा कुछ ख़ास चुने हुए मानों के अलावा कोई त्रिज्या ऐसी परिधि नहीं देती जो ख़त्म हो।
- क्या त्रिज्या दुगुनी करने पर परिधि भी दुगुनी होती है?
- हाँ, और यही वह जगह है जहाँ क्षेत्रफल के सूत्र से उठाई गई आदत आपको ग़लत ले जाएगी। परिधि एक लंबाई है, इसलिए वह त्रिज्या के अनुपात में बढ़ती है; उसी वृत्त का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के साथ बढ़ता है, इसलिए वहाँ दुगुना करने पर चार गुना हो जाता है। तालिका की पहली दो कतारें ठीक इसीलिए हैं: त्रिज्या 1 से 2 जाती है और परिधि 6.2832 से 12.5664।
- क्या परिधि से त्रिज्या या व्यास वापस निकल सकता है?
- इस पेज पर नहीं — यह त्रिज्या या व्यास लेकर परिधि देता है, एक ही दिशा में। उलटा जाने के लिए π से भाग देना पड़ता है, और जो पेज यह दोनों दिशाओं में करता है और व्यास तथा परिधि साथ छापता है, वह परिधि से व्यास वाला पेज है। कुल योग पेज भी चारों में से किसी एक से चारों मान दे देता है।
संदर्भ
- Circumference — how far it is around a circle, the 2πr that gives it, and its relation to the diameter and to π — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the curve itself, with its radius, diameter, circumference and the definition of π as the ratio of the last two — Wolfram MathWorld (United States)
- Pi — the constant this formula multiplies by, including why it is irrational and therefore why a circumference is almost never a number that ends — Wolfram MathWorld (United States)