परिधि से व्यास कैलकुलेटर
नतीजा
व्यास
- परिधि
- 20.0000 cm
परिधि से व्यास कैलकुलेटर वही एक रूपांतरण दोनों दिशाओं में एक साथ करता है जिससे π की परिभाषा बनी है: परिधि डालिए तो व्यास पढ़ लीजिए, या व्यास डालिए तो परिधि। दोनों खानों में से जो भी आपने भरा हो, दोनों आँकड़े छपते हैं, इसलिए शुरू करने से पहले यह तय करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती कि आपको कौन-सी दिशा चाहिए। रिश्ता ख़ुद π की परिभाषा है, और इसे सीधे कह देना बनता है क्योंकि पूरा पेज इसी पर टिका है। π वह संख्या है जो किसी भी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से भाग देने पर मिलती है — हर वृत्त के लिए हमेशा एक ही, लगभग 3.14159। समीकरण में लिखिए तो परिधि बराबर π गुना व्यास; दूसरी तरफ़ के लिए हल कीजिए तो व्यास बराबर परिधि बटा π। पूरा रूपांतरण यही है, और दोनों खाने बस यही दो वाक्य हैं जिनमें संख्या लिखने की जगह बनी है। दोनों खानों में से एक ही भरना है। वे एक ही वृत्त की एक ही नाप को बताने के दो तरीक़े हैं, इसलिए दोनों भरना ज़्यादा सटीक नहीं, उलटी बात है: परिधि 20 और व्यास 6.3662 मिलकर एक वृत्त बताते हैं, पर परिधि 20 और व्यास 7 किसी वृत्त को नहीं बताते, और पेज के पास यह जानने का कोई ज़रिया नहीं कि आपका मतलब किन दो में था। जो एक आपके पास हो वह भरिए और दूसरा छोड़ दीजिए। एक दूसरी वजह है जिससे गिनती सीधे एक खाने से दूसरे खाने तक जाने के बजाय त्रिज्या से होकर जाती है, और वह गणित की नहीं, काम की सुविधा की है। पेज त्रिज्या से होकर आधा या दुगुना करता है और गोल सिर्फ़ आख़िर में एक बार करता है, इसलिए जवाब ठीक-ठीक वापस वहीं पहुँचते हैं: परिधि 20 के लिए पेज जो व्यास छापता है, वही व्यास वापस डालिए — 19.9999 नहीं, ठीक 20 मिलेगा। यह गुण लगने से कहीं ज़्यादा काम का है, क्योंकि इसका मतलब है कि आप इस पेज को किसी भी दूसरे वृत्त पेज के साथ जोड़कर चला सकते हैं और आँकड़े मेल खाते रहेंगे। कुल योग पेज पर वही नाप डालिए — उसका व्यास, त्रिज्या और परिधि, तीनों यहाँ के दोनों आँकड़ों से आख़िरी अंक तक मेल खाएँगे। इकाइयाँ इस साइट पर बाक़ी हर जगह की तरह चलती हैं। कोई भी खाना सेंटीमीटर, मीटर, मिलीमीटर, इंच या फ़ुट लेता है, और दोनों जवाब सेंटीमीटर में लौटते हैं, क्योंकि बदलाव अंदर आते समय होता है। इंच में नापी गई परिधि सेंटीमीटर वाले आँकड़े के रूप में लौटती है जो लगभग ढाई गुना बड़ा होता है। यहाँ कुछ भी वर्ग नहीं होता, इसलिए भाजक 2.54 है, उसका वर्ग नहीं। नतीजे पढ़ने से पहले एक बात। जो भी खाना भरा हो, दोनों पंक्तियाँ दिखती हैं, और पहली पंक्ति हमेशा व्यास होती है। व्यास डालिए तो पहली पंक्ति बस वही संख्या है जो आपने लिखी, वापस पढ़ी हुई, और दूसरी पंक्ति पर वह परिधि जो आप चाहते थे। यह क्रम अनदेखी नहीं, जानबूझकर है, और यह उस बात की क़ीमत है कि एक ही पेज पर दोनों दिशाएँ हैं और चुनने के लिए कोई मोड नहीं।
आम वृत्त: दिए हुए व्यास की परिधि, और दी हुई परिधि का व्यास
| परिधि (cm) | व्यास (cm) |
|---|---|
| 3.1416 | 1 |
| 6.2832 | 2 |
| 9.4248 | 3 |
| 15.708 | 5 |
| 31.4159 | 10 |
| 62.8319 | 20 |
| 1.5708 | 0.5 |
| 0 | 0 |
आठ वृत्त दो स्तंभों में, और दोनों में से कोई भी स्तंभ जवाब की तरह पढ़ा जा सकता है। तालिका व्यासों से बनी है, इसीलिए गोल संख्याएँ वही हैं और लंबी दशमलव परिधियाँ ढोती हैं: दूसरा स्तंभ वह नाप है जो लोग ले पाते हैं, और पहला वह जो उन्हें आम तौर पर चाहिए होती है। पहली कतार इकाई वृत्त है, जिसकी परिधि चार दशमलव तक π है — यह याद रखने का सबसे तेज़ तरीक़ा कि व्यास 1 वाला वृत्त तीन से ज़रा ऊपर के आँकड़े में एक चक्कर लगाता है। पहली दो कतारें स्केलिंग का जोड़ा हैं: व्यास दुगुना होता है और परिधि भी उसके साथ दुगुनी, क्योंकि परिधि लंबाई है, क्षेत्रफल नहीं। चौथी कतार व्यास 5 है, जो 15.708 में एक चक्कर लगाता है, और यही वह कतार है जिसे देखना चाहिए जब आपकी नाप सोलह के आसपास हो। पाँचवीं व्यास 10 है, और उसकी परिधि 31.4159 वही आँकड़ा है जो परिधि वाला पेज और दीर्घवृत्त वाला पेज उसी वृत्त के लिए छापते हैं — यह त्रिज्या 5 वाला वृत्त है, वही जिसके साथ परिधि वाला पेज खुलता है। इस पेज की शुरुआती परिधि 20 उन दोनों कतारों के बीच पड़ती है, इसीलिए उसका व्यास भी उनके व्यासों के बीच बैठता है। सातवीं आधे सेंटीमीटर का व्यास है, तालिका का सबसे छोटा वृत्त, और वह यह दिखाने के लिए है कि चार दशमलव कितने नीचे तक पहुँचते हैं: इस नाप पर पाठ उससे भी बारीक है जितना कोई टेप नाप सकता है, और यह जान लेना बनता है इससे पहले कि आप आख़िरी अंक में कोई सटीकता पढ़ बैठें। आख़िरी शून्य का व्यास है, जो असली शून्य है, ग़ायब हुआ जवाब नहीं।
फ़ॉर्मूला
d = C ÷ π C = πd
- π
- लगभग 3.14159। यह कोई ऐसी संख्या नहीं है जिसे किसी ने चुना हो — यह वही है जो हर वृत्त की परिधि को उसके व्यास से भाग देने पर निकलती है, और इसीलिए एक से दूसरे पर जाने के लिए इसी से भाग देना पड़ता है
- C
- परिधि: वृत्त के चारों ओर पूरी दूरी, सेंटीमीटर में। यह वह आँकड़ा है जो आप तब डालते हैं जब आपने किनारे के चारों ओर नापा हो
- d
- व्यास: केंद्र से होकर सीधे पार की दूरी, सेंटीमीटर में। यह वह आँकड़ा है जो आप तब डालते हैं जब आपने चीज़ को आर-पार नापा हो
- C ÷ π
- जिस दिशा के नाम पर इस पेज का नाम है। नापी गई परिधि को π से भाग देने पर परिभाषा खुल जाती है और व्यास बचता है, और यही वह नाप है जो ज़्यादातर लोग सीधे नहीं ले पाते क्योंकि उसके लिए केंद्र चाहिए
- πd
- दूसरी दिशा, और इस नाते का पुराना रूप: व्यास को π से गुणा कीजिए तो चारों ओर की दूरी मिलती है। यह पहले वाले का ही उलटा लिखा हुआ रूप है
- दोनों जवाब छपते हैं
- जो भी खाना आपने भरा हो, व्यास और परिधि दोनों दिखते हैं। इनमें से एक हमेशा आपके लिखे की पुनरावृत्ति होता है — जब पेज एक साथ दोनों दिशाओं में जवाब दे, तो यह टाला नहीं जा सकता
- चार दशमलव स्थान
- पाठ कितना चौड़ा छपता है। परिधि से निकाला गया व्यास एक अपरिमेय संख्या से भाग देने पर आता है, इसलिए वह लगभग कभी ख़त्म नहीं होता; 20 ÷ π = 6.36619… है और पेज 6.3662 दिखाता है
जब भी परिधि नापी गई हो पर ज़रूरत व्यास की हो, या इसका उलटा। पहला मामला कहीं ज़्यादा आम है: किसी चीज़ के चारों ओर टेप लपेटकर नापना आसान है और उसका केंद्र ढूँढ़ना नहीं। किसी भी गोल वस्तु — पेड़ के तने, पाइप, केबल, खंभे, पीपे या बड़े पत्थर — का व्यास आम तौर पर चारों ओर टेप लपेटकर और भाग देकर निकाला जाता है, क्योंकि खड़ी चीज़ के बीच से आर-पार जाने वाला कैलिपर होता ही नहीं। ख़रीदना दूसरा इस्तेमाल है। माल एक नाप पर बिकता है और उसकी बानगी दूसरी नाप पर माँगी जाती है — पाइप बाहरी व्यास पर, होज़ बोर पर, बेयरिंग उस शाफ़्ट के व्यास पर जिसे वे उठाती हैं, पर दुकान पर रखी चीज़ अक्सर चारों ओर से नापी जाती है — तो रूपांतरण काउंटर पर ही करना पड़ता है। फ़िटिंग तीसरी है: ढक्कन, गैसकेट, क्लैंप, होज़ क्लिप, बेल्ट या रिंग को किसी गोल चीज़ से मेल खाना है जिसकी बानगी उसके व्यास में होती है, जबकि उस चीज़ को नापना चारों ओर से सबसे आसान है। इंजीनियरिंग और ड्राफ़्टिंग में यही उस एक ही छेद या शाफ़्ट को कहने के दो तरीक़ों का फ़र्क़ है, और मशीनिंग में घिसे हुए पुर्ज़े से ली गई परिधि को ड्राइंग से मिलाने से पहले बदलने की वजह भी यही है। कारख़ाने में यह लपेटे हुए टेप से बैंड-सॉ ब्लेड या ड्राइव बेल्ट का नाप निकालता है, और रसोई में केक के टिन की गोलाई को उस व्यास में बदलता है जिससे काग़ज़ का लाइनर काटा जाए। कक्षा में यह इस बात का प्रदर्शन है कि π एक नियम नहीं, अनुपात है: टिन के चारों ओर और आर-पार नापिए, एक को दूसरे से भाग दीजिए, और कमरे की हर गोल चीज़ के लिए वही 3.14 आएगा।
हल किए हुए उदाहरण
बीस की परिधि
- π से भाग दीजिए: 20 ÷ 3.14159 = 6.36619…
- चार दशमलव तक गोल कीजिए: 6.3662
यह वह जोड़ा है जिसके साथ पेज खुलता है, और वही दिशा जिसके नाम पर इसका नाम है। व्यास ऐसी संख्या नहीं है जिसे कोई ठीक-ठीक लिख सके — वह 20 बटा एक अपरिमेय स्थिरांक है — इसीलिए पेज उसे आख़िर तक बिना गोल किए रखता है। कुल योग पेज भी उसी वृत्त के लिए 6.3662 और त्रिज्या 3.1831 छापता है, और 6.3662 ठीक 3.1831 का दुगुना है।
दस का व्यास
- π से गुणा कीजिए: 10 × 3.14159 = 31.4159
- व्यास वाली पंक्ति आपका लिखा हुआ, 10, दोहरा देती है
उलटी दिशा, और दो पंक्तियों वाले पैनल की सबसे साफ़ मिसाल। पहली पंक्ति वही संख्या है जो आपने अभी डाली, आपको वापस पढ़कर दी गई; जो जवाब आप चाहते थे वह उसके नीचे है। यह त्रिज्या 5 वाला वृत्त भी है, और 31.4159 वही आँकड़ा है जो परिधि वाला पेज और दीर्घवृत्त वाला पेज उस वृत्त के लिए छापते हैं।
जिस रास्ते से आए थे, उसी पर वापस: 6.3662 का व्यास
- π से गुणा कीजिए: 6.3662 × 3.14159 = 20.0000
- जवाब ठीक 20 लौटता है, 19.9999 नहीं
यही वह पूरा चक्कर है, और यही वजह कि गोल करना आख़िरी क़दम पर छोड़ा जाता है। परिधि 20 के लिए पेज ने जो व्यास छापा था, वही व्यास वाले खाने में वापस डालिए — आप फिर 20 पर उतरते हैं। व्यास को गुणा करने से पहले गोल करने से यहाँ एक अंक का नुक़सान होता, और जो रूपांतरण वहीं वापस न पहुँचे, उसे किसी और चीज़ के साथ जोड़कर इस्तेमाल नहीं किया जा सकता।
आधे सेंटीमीटर की परिधि
- π से भाग दीजिए: 0.5 ÷ 3.14159 = 0.15915…
- चार दशमलव तक गोल कीजिए: 0.1592
एक छोटा वृत्त, इसलिए शामिल किया गया क्योंकि इसी नाप पर चार दशमलव उदार होना बंद करते हैं। आधा सेंटीमीटर गोलाई पर व्यास डेढ़ मिलीमीटर से ज़रा ज़्यादा है, और पाठ बस इतना सटीक है कि काम चल जाए। इस पैमाने पर सूत्र में कुछ नहीं बदलता — रूपांतरण वही पुराना भाग है।
शून्य की परिधि
- π से भाग दीजिए: 0 ÷ 3.14159 = 0
- दोनों पंक्तियाँ 0 पढ़ती हैं
जिस वृत्त के चारों ओर घूमने को कुछ नहीं, उसकी चौड़ाई भी नहीं, और शून्य सही जवाब है, ग़ायब हुआ जवाब नहीं। किसी भी खाने में शून्य मान्य मान है — शून्य नापना और बिलकुल न नापना, दोनों अलग हैं — और ख़ाली खाने को पेज ऐसा मामला मानता है जहाँ शुरू करने के लिए कुछ है ही नहीं।
सीमाएँ
यह पेज एक ही वृत्त की दो नापों के बीच रूपांतरण करता है और इसके अलावा कुछ नहीं देता: न त्रिज्या, न क्षेत्रफल, न जाँचने के लिए कोई तीसरा मान। अगर क्षेत्रफल चाहिए, या त्रिज्या, तो वह दूसरा पेज है। दोनों जवाब सेंटीमीटर में लौटते हैं, चाहे हर खाना किसी भी इकाई पर हो, क्योंकि बदलाव अंदर आते समय होता है; इंच में डाली गई परिधि सेंटीमीटर वाले आँकड़े के रूप में लौटती है जिसे इंच में पढ़ने के लिए 2.54 से भाग देना पड़ता है, और यह एक ही भाजक सिर्फ़ इसी पेज के लिए सही है। जो भी खाना भरा हो, दोनों पंक्तियाँ दिखती हैं, इसलिए दोनों में से एक हमेशा आपके ही इनपुट की पुनरावृत्ति होती है — व्यास डाला हो तो व्यास वाली पंक्ति, परिधि डाली हो तो परिधि वाली। ठीक एक खाना भरा जा सकता है: दो दीजिए, चाहे दोनों एक ही वृत्त बताते हों, तो पेज मना कर देता है, क्योंकि दो खाने मतलब दो नापें और पेज के पास यह जानने का ज़रिया नहीं कि आपका मतलब कौन-सी थी। आँकड़े आख़िर में एक ही बार गोल होते हैं, इसलिए जो हाथ का हिसाब बीच की त्रिज्या को गोल कर लेता है वह आख़िरी अंक में अलग आ सकता है; ग़लत पेज नहीं है। चार दशमलव स्थान दिखाने की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं। शून्य परिधि ली जाती है और उसका जवाब शून्य व्यास है। यहाँ परिधि का क्षेत्रफल में रूपांतरण नहीं है, और वह रूपांतरण π से भाग देना नहीं है — उसमें वर्गमूल आता है और वह क्षेत्रफल वाले पेज का काम है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
- पहला नतीजा बस वही संख्या क्यों है जो मैंने डाली?
- क्योंकि पेज एक साथ दोनों दिशाओं में जवाब देता है, इसलिए दोनों पंक्तियों में से एक हमेशा आपके इनपुट की पुनरावृत्ति होती है। पहली पंक्ति व्यास है, और जब आपने व्यास वाला खाना भरा हो तो वह पंक्ति बस उसे दोहरा देती है। जो आँकड़ा आपने माँगा था वह दूसरा है। कौन-सी पंक्ति दोहराव है, यह इस पर बदलता है कि आपने कौन-सा खाना भरा — और पेज पर मोड स्विच न रखने की क़ीमत यही है।
- मैं दोनों खानों में से एक ही क्यों भर सकता हूँ?
- क्योंकि वे एक ही वृत्त बताते हैं, इसलिए दो आँकड़े या तो एक ही बात दोहराते हैं या आपस में उलटी बात कहते हैं। परिधि 20 और व्यास 7 एक ही वृत्त के सच नहीं हो सकते, और पेज के पास यह जानने का ज़रिया नहीं कि आपने सचमुच कौन-सी नापी थी। जो आपके पास हो वही भरिए और दूसरा ख़ाली छोड़ दीजिए, चाहे आपने दूसरा ख़ुद निकाल लिया हो।
- मैंने इंच में डाला। जवाब सेंटीमीटर में क्यों हैं?
- क्योंकि इकाई का बदलाव अंदर आते समय होता है, बाहर जाते समय नहीं। आपके इंच सेंटीमीटर बन जाते हैं, रूपांतरण होता है, और दोनों आँकड़े सेंटीमीटर में लौटते हैं। उन्हें इंच में पढ़ने के लिए 2.54 से भाग दीजिए। यह एक भाजक यहाँ सही है क्योंकि दोनों राशियाँ लंबाइयाँ हैं — क्षेत्रफल पर यह ग़लत होगा, क्योंकि वहाँ गुणक वर्ग हो जाता है।
- π से भाग देने पर गोल संख्या क्यों नहीं आती?
- क्योंकि π अपरिमेय है, और किसी साफ़-सुथरी संख्या को अपरिमेय से भाग देने पर लगभग कभी कुछ साफ़-सुथरा नहीं उतरता। परिधि 20 का व्यास 6.36619… आता है, जिसे पेज 6.3662 छापता है। यह दिखाने की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं, और उसके पीछे के मान का कोई आख़िरी अंक होता ही नहीं।
- एक तरफ़ बदलकर वापस बदलूँ तो मेरी संख्या लौट आती है?
- हाँ, और यह जानबूझकर है। पेज हर क़दम पर नहीं, आख़िर में एक बार गोल करता है, इसलिए 6.3662 का व्यास 19.9999 नहीं, ठीक 20 की परिधि देता है, और 31.4159 की परिधि 10 का व्यास देती है। जो रूपांतरण वहीं वापस न पहुँचे, उसे किसी और चीज़ के साथ जोड़ा नहीं जा सकता।
- क्या यह परिधि कैलकुलेटर जैसा ही है?
- नहीं — वह पेज त्रिज्या या व्यास लेकर परिधि देता है, सिर्फ़ एक दिशा में। यह पेज वह जोड़ा अकेले में है और दोनों तरफ़ जवाब देता है, इसलिए जब परिधि ही वह नाप हो जो आपके पास पहले से है तो यही इस्तेमाल कीजिए। अगर चारों राशियाँ एक साथ चाहिए तो कुल योग पेज किसी एक से बाक़ी सब दे देता है।
संदर्भ
- Circle — the curve itself, including the definition of π as the ratio of a circle's circumference to its diameter, which is the relation this page inverts — Wolfram MathWorld (United States)
- Diameter — the straight line across a circle through its centre, and its relation to the radius and the circumference — Wolfram MathWorld (United States)
- Pi — the constant dividing here, including why a diameter recovered from a circumference is almost never a number that ends — Wolfram MathWorld (United States)