वृत्त का क्षेत्रफल कैलकुलेटर
नतीजा
क्षेत्रफल
वृत्त का क्षेत्रफल कैलकुलेटर तीन में से जो नाप आपके पास हो — त्रिज्या, व्यास या परिधि — वह लेकर बताता है कि वृत्त कितनी सतह घेरता है, वर्ग सेंटीमीटर में। सूत्र है त्रिज्या का वर्ग गुना π, और बीच का वह क़दम — आपने जो लिखा उसे त्रिज्या में बदलना — ही तीनों खानों की जड़ है। व्यास त्रिज्या की दुगुनी है और परिधि त्रिज्या की 2π गुनी, इसलिए तीनों में से कोई एक बाकी दो को तय कर देता है, और इसीलिए एक ही खाना भरना है। दो भरना ज़्यादा सटीक होना नहीं, उलटी बात हो जाना है: त्रिज्या 5 और व्यास 12 एक ही वृत्त के नहीं हो सकते, और पेज चुपचाप एक चुन लेने के बजाय यह कह देता है। जिस चीज़ का क्षेत्रफल निकल रहा है उसके नाम पर एक पल रुक लीजिए। कड़े अर्थ में क्षेत्रफल डिस्क का होता है — यानी भीतर की सपाट जगह का — जबकि वृत्त किनारे की वक्र रेखा है। रोज़मर्रा में कोई ऐसा कहता नहीं और यह पेज भी रोज़मर्रा की बोली चलता है, पर यही वजह है कि जो सूत्र लंबाई देता दिखता है वह वर्ग इकाइयों में लौटता है। इकाइयाँ इस पेज का सबसे आसानी से ग़लती कराने वाला हिस्सा हैं। त्रिज्या सेंटीमीटर, मीटर, मिलीमीटर, इंच या फ़ुट में डाली जा सकती है, और जवाब हर हाल में वर्ग सेंटीमीटर में आता है, क्योंकि बदलाव अंदर आते समय होता है, बाहर जाते समय नहीं। इंच में त्रिज्या डालकर वर्ग इंच की उम्मीद मत रखिए — जो संख्या मिलेगी वह लगभग साढ़े छह गुना बड़ी होगी। याद रखने लायक़ नियम यह है कि क्षेत्रफल लंबाई के गुणक से नहीं, उसके वर्ग से बदलता है। अपने हाथ के हिसाब से इस पेज को मिलाने से पहले एक बात और। क्षेत्रफल बिना गोल की गई त्रिज्या से निकाला जाता है और गोल सिर्फ़ आख़िर में होता है, और यह तब मायने रखता है जब आप परिधि से शुरू करते हैं, क्योंकि तब त्रिज्या कोई ऐसी संख्या होती ही नहीं जिसे पूरा लिखा जा सके। परिधि 20 डालिए, तालिका से त्रिज्या पढ़िए, उसका वर्ग करके π से गुणा कीजिए — आप इस पेज के जवाब से एक अंक हटकर उतरेंगे। पेज सही है और आपका हिसाब भी सही है; फ़र्क़ बस यह है कि आप में से एक ने बीच में गोल कर लिया, दूसरे ने नहीं।
त्रिज्या से वृत्त का क्षेत्रफल, साथ में उसका व्यास
| त्रिज्या (cm) | व्यास (cm) | क्षेत्रफल (cm²) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3.1416 |
| 2 | 4 | 12.5664 |
| 3 | 6 | 28.2743 |
| 5 | 10 | 78.5398 |
| 10 | 20 | 314.1593 |
| 20 | 40 | 1256.6371 |
| 0.5 | 1 | 0.7854 |
| 0 | 0 | 0 |
आठ वृत्त और तीन स्तंभ, जिनमें तीसरा जवाब है और पहले दो उसे समझाते हैं। त्रिज्या और उसका व्यास साथ-साथ इसलिए हैं क्योंकि यह पेज आपका लिखा हुआ वापस नहीं दिखाता: अगर आपने व्यास डाला है तो यह देखने की इकलौती जगह यही तालिका है कि उसे क्या पढ़ा गया। पहली कतार इकाई वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में संख्यात्मक रूप से π है — जानने लायक़ बात है और यह याद रखने का तेज़ तरीक़ा भी कि r के 1 होने पर πr² क्या करता है। पहली और दूसरी कतार वह जोड़ा हैं जो याद रखने लायक़ नाता दिखाते हैं: त्रिज्या 1 से 2 होती है और क्षेत्रफल 3.1416 से 12.5664, यानी चार गुना। चौथी कतार वह जोड़ा है जिसके साथ पेज खुलता है, और यही कतार कुल योग पेज भी उसी वृत्त के लिए छापता है, 78.5398 — दोनों पेज इस आँकड़े पर आख़िरी अंक तक मेल खाते हैं क्योंकि कोई भी त्रिज्या को वर्ग करने से पहले गोल नहीं करता। सातवीं आधे सेंटीमीटर की त्रिज्या है, जिसका क्षेत्रफल π का चौथाई है, और आख़िरी शून्य त्रिज्या है, जहाँ वृत्त एक बिंदु बन गया है और क्षेत्रफल ग़ायब नहीं, असली शून्य है।
फ़ॉर्मूला
A = πr²
- π
- हर वृत्त के लिए एक ही स्थिरांक, लगभग 3.14159। यह वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात है, और यहीं से आता है — इसीलिए यह लंबाई के सूत्रों में भी आता है और इस सूत्र में भी
- r
- त्रिज्या, सेंटीमीटर में — व्यास की आधी, या परिधि को 2π से भाग देकर निकली हुई; यह इस पर निर्भर है कि आपने कौन-सा खाना भरा
- r²
- त्रिज्या का उसी से गुणा, दो से नहीं। त्रिज्या दुगुनी करने पर क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है, और यह इस सूत्र की सबसे काम की बात है — तालिका में कतारों का एक जोड़ा ठीक इसी को दिखाने के लिए है
- क्षेत्रफल
- डिस्क जितनी सपाट सतह घेरता है, वर्ग सेंटीमीटर में, चाहे इनपुट किसी भी इकाई में डाला गया हो
- परिधि ÷ 2π
- किनारे पर नापी गई लंबाई से त्रिज्या वापस निकालने का रास्ता। नतीजा ऐसी संख्या नहीं होती जो ख़त्म हो, इसलिए उसे वर्ग करने के बाद तक बिना गोल किए रखा जाता है
- व्यास ÷ 2
- दूसरा रास्ता, और आसान वाला: जब व्यास आपने ख़ुद नापा हो तो त्रिज्या ठीक उसकी आधी होती है
- चार दशमलव स्थान
- पाठ कितना चौड़ा लिखा जाता है। वृत्त का क्षेत्रफल लगभग कभी ऐसी संख्या नहीं होता जो ख़त्म हो, इसलिए चार दशमलव दिखाने की चौड़ाई हैं, इस बात का दावा नहीं कि आँकड़ा सटीक है
हर वह गोल चीज़ जिसकी सतह ढकी, पोती, काटी या बेची जा रही हो। पेंट और कोटिंग सबसे सीधा मामला है: गोल मेज़ की सतह, टंकी का ढक्कन, गोल साइन बोर्ड, छिड़काव होता धातु का चक्र — इन सबका दाम प्रति इकाई क्षेत्रफल तय होता है और वह क्षेत्रफल यही सूत्र है। चादर से कटने वाली चीज़ें दूसरी हैं: स्टील से कटा गोल टुकड़ा, गोल काँच, गैसकेट का चक्र, गोल मेज़पोश — यहाँ क्षेत्रफल बताता है कि हर एक कितनी चादर खाता है, और दाम उसी पर टिका होता है। बाग़वानी और निर्माण में गोल क्यारियाँ, गोल आँगन, गोल लॉन, खंभे का अनुप्रस्थ काट और गोल तालाब की सतह इसी से निकलते हैं। इंजीनियरिंग में यह पाइप, शाफ़्ट या केबल का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और बहाव तथा धारा-वहन क्षमता उसी के हिसाब से आँकी जाती है — दुगुने व्यास का पाइप चार गुना क्षेत्रफल उठाता है, और यही चार गुना लोगों को दोनों दिशाओं में चौंकाता है। भौतिकी और रोज़ के हिसाब में यही क्षेत्रफल दबाव को बल में, तीव्रता को कुल मात्रा में, या वर्षा के आँकड़े को पानी के आयतन में बदलता है। और एक काम कक्षा का है, जो सूत्र को याद बिठा देता है: चौकोर काग़ज़ पर वृत्त खींचिए, भीतर के पूरे ख़ाने गिनिए और गिनती की तुलना πr² से कीजिए। गिनती ज़रा कम आएगी, क्योंकि किनारे के ख़ाने आधे बाहर हैं — और यही वह पहला ईमानदार मौक़ा है जब ज़्यादातर लोगों को समझ आता है कि सूत्र में बैठे अपरिमेय स्थिरांक का मतलब क्या है।
हल किए हुए उदाहरण
पाँच की त्रिज्या
- त्रिज्या का वर्ग: 5 × 5 = 25
- π से गुणा: 25 × 3.14159 = 78.5398
यह वह जोड़ा है जिसके साथ पेज खुलता है और यही कतार इस पेज को कुल योग पेज से जोड़ती है: पाँच त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल वहाँ भी 78.5398 है। बीच में कहीं कुछ गोल नहीं हुआ, इसीलिए दोनों आख़िरी अंक तक मेल खाते हैं — पहले से गोल की गई त्रिज्या से निकला क्षेत्रफल नहीं मिलता।
बारह का व्यास
- व्यास को आधा करके त्रिज्या: 12 ÷ 2 = 6
- उसका वर्ग: 6 × 6 = 36
- π से गुणा: 36 × 3.14159 = 113.0973
लोग यहाँ सबसे ज़्यादा इसी रास्ते से आते हैं, क्योंकि गोल चीज़ को किनारे तक जाने के बजाय आर-पार नापना कहीं आसान है। यह पेज त्रिज्या वापस नहीं दिखाता, तो यह जाँचना हो कि आपके 12 को 6 पढ़ा गया, तो तालिका का त्रिज्या वाला स्तंभ देखिए — उसमें 6 नहीं है, पर 3 वाली कतार का व्यास 6 है और 10 वाली कतार का व्यास 20, जो पेज के इस दुगुने नाते को दिखाने के लिए काफ़ी है।
बीस की परिधि
- त्रिज्या वापस निकालिए: 20 ÷ (2 × π) = 3.1830988…
- उसका वर्ग: 3.1830988 × 3.1830988 = 10.1318311…
- π से गुणा: 10.1318311 × 3.14159 = 31.8310
यही वह कतार है जो बताती है कि यह पेज बीच में गोल क्यों नहीं करता। यहाँ त्रिज्या लिखी ही नहीं जा सकती — वह 10 बटा π है — इसलिए उसे वर्ग करने तक बिना गोल किए ढोया जाता है और गोल सिर्फ़ जवाब होता है। दूसरी तरह कीजिए: तालिका से त्रिज्या 3.1831 पढ़िए, उसका वर्ग कीजिए, π से गुणा कीजिए — 31.8309 आता है। एक अंक का फ़र्क़, और दोनों में से कोई हिसाब ग़लत नहीं: एक ने आख़िर से पहले गोल कर लिया।
दस की त्रिज्या
- त्रिज्या का वर्ग: 10 × 10 = 100
- π से गुणा: 100 × 3.14159 = 314.1593
पाँच त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल से ठीक चार गुना, और त्रिज्या दुगुनी करने पर क्षेत्रफल चार गुना होता है यह देखने की सबसे साफ़ जगह। त्रिज्या दो गुनी बढ़ी और जवाब चार गुना, क्योंकि त्रिज्या का वर्ग होता है। यही वह नाता है जिसकी वजह से दुगुने व्यास का पाइप चार गुना ज़्यादा उठाता है।
शून्य की त्रिज्या
- त्रिज्या का वर्ग: 0 × 0 = 0
- π से गुणा: 0 × 3.14159 = 0
बिना आकार का वृत्त कुछ नहीं घेरता, और शून्य जवाब सही है, ग़ायब नहीं। तीनों खानों में से किसी में भी शून्य मान्य है — शून्य नापना और बिलकुल न नापना, दोनों अलग बातें हैं, और पेज इनमें से दूसरी को, यानी ख़ाली खाने को, ऐसा मामला मानता है जहाँ काम करने के लिए कुछ है ही नहीं।
सीमाएँ
यह पेज सिर्फ़ क्षेत्रफल लौटाता है, और कुछ नहीं: न परिधि, न व्यास, न त्रिज्या। क्षेत्रफल दिया हो और उनमें से कोई चाहिए हो तो वह दूसरा पेज है। आउटपुट हमेशा वर्ग सेंटीमीटर में आता है, चाहे हर इनपुट किसी भी इकाई पर हो — बदलाव अंदर आते समय होता है, इसलिए इंच में डाली गई त्रिज्या वर्ग सेंटीमीटर वाले आँकड़े के रूप में लौटती है जिसे वर्ग इंच में पढ़ने के लिए 6.4516 से भाग देना पड़ता है। क्षेत्रफल को लंबाई के गुणक 2.54 से भाग देना, उसके वर्ग से नहीं — यही वह ग़लती है जिससे बचना है। जवाब बिना गोल की गई त्रिज्या से निकलता है, इसलिए अगर आप परिधि से शुरू करें और गोल की हुई त्रिज्या लेकर हाथ से जाँचें, तो आपका आँकड़ा आख़िरी अंक में अलग आएगा; ग़लत पेज नहीं है। चार दशमलव स्थान दिखाने की चौड़ाई है, इस बात का दावा नहीं कि क्षेत्रफल सटीक है — वृत्त का क्षेत्रफल लगभग कभी ख़त्म नहीं होता, और 78.5398 गोल किया हुआ 78.53981633… है। शून्य त्रिज्या मान्य है और शून्य क्षेत्रफल देती है, जो सही है। यह पेज तीनों नापों में से ठीक एक लेता है: दो दीजिए तो मना कर देता है, क्योंकि दो बेमेल आँकड़े किसी वृत्त को नहीं बताते। यहाँ न दीर्घवृत्त आता है, न वृत्तखंड, न त्रिज्यखंड, न गोले की सतह — हर एक अलग आकृति है और अलग सूत्र माँगती है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
- तीनों खानों में से एक ही क्यों भर सकता हूँ?
- क्योंकि तीनों एक ही वृत्त बताते हैं, इसलिए कोई भी दो या तो एक ही बात दोहराते हैं या आपस में उलटी बात कहते हैं। त्रिज्या 5 और व्यास 12 एक ही वृत्त के सच नहीं हो सकते। पेज चुपचाप एक चुनने के बजाय दो को मना कर देता है, क्योंकि इन खानों का पूरा मक़सद यही है कि आप वही नाप डालें जो आपके पास सचमुच है।
- मैंने इंच में डाला, जवाब वर्ग सेंटीमीटर में क्यों है?
- क्योंकि इकाई का बदलाव अंदर आते समय होता है, बाहर जाते समय नहीं। आपके इंच पहले सेंटीमीटर बनते हैं, फिर क्षेत्रफल गिना जाता है, और जवाब वर्ग सेंटीमीटर में आता है — वह वर्ग इंच का आँकड़ा नहीं है। उसे वर्ग इंच में पढ़ने के लिए 6.4516 से भाग दीजिए, यानी 2.54 का वर्ग। क्षेत्रफल लंबाई के गुणक के वर्ग से बदलता है, और 2.54 से भाग देना ही वह ग़लती है जिससे बचना है।
- हाथ से जाँचने पर अलग जवाब क्यों आता है?
- क्योंकि गोल करने की जगह अलग है। पेज त्रिज्या को आख़िर तक बिना गोल किए रखता है, और अगर आप परिधि से शुरू हुए थे तो वह त्रिज्या ऐसी संख्या है जिसे ठीक-ठीक लिखा ही नहीं जा सकता। उसे तालिका से पढ़कर वर्ग करना और गुणा करना यानी बीच में गोल कर देना। परिधि 20 पर यह 0.0001 का फ़र्क़ बनता है, और यह पेज वह है जो अपनी ही बात से मेल खाता है।
- त्रिज्या दुगुनी करने पर क्षेत्रफल चार गुना क्यों हुआ?
- क्योंकि त्रिज्या का वर्ग होता है, दुगुना नहीं। दुगुनी त्रिज्या का मतलब है उन दोनों दिशाओं में दुगुनी त्रिज्या जिनसे वर्ग बनता है, इसलिए क्षेत्रफल दो गुना दो गुना बढ़ता है। इसे याद रखिए: यही नाता है जिसकी वजह से दुगुने व्यास का पाइप चार गुना जल उठाता है, और यह दोनों दिशाओं में लोगों को चौंकाता है।
- क्या पेज दिखाता है कि मेरे व्यास को क्या पढ़ा गया?
- सीधे नहीं — नतीजा पैनल सिर्फ़ क्षेत्रफल दिखाता है और आपका लिखा हुआ वापस नहीं छापता। तालिका ठीक इसीलिए है: हर कतार में त्रिज्या के साथ उसका व्यास और क्षेत्रफल है, तो अपने आँकड़े के पास की कतार देखकर आप वह दुगुना नाता देख सकते हैं जो पेज लगा रहा है। व्यास 12 यानी त्रिज्या 6, जो तालिका की 3 वाली कतार है जिसका व्यास दुगुना कर दिया गया हो।
- क्या यहीं क्षेत्रफल से त्रिज्या निकल सकती है?
- इस पेज पर नहीं। यह जानबूझकर एक ही दिशा का पेज है: यह लंबाई लेकर क्षेत्रफल देता है, और उलटी दिशा में वर्गमूल लगता है। एक पेज यह काम बाक़ी सबके साथ करता है — वह चारों में से कोई एक मान लेकर बाकी तीन लौटाता है — और अगर आप क्षेत्रफल से शुरू कर रहे हैं तो वही इस्तेमाल कीजिए।
संदर्भ
- Circle — the curve, its radius, diameter and circumference, and the πr² that gives the area of the region it bounds — Wolfram MathWorld (United States)
- Disk — the flat region whose area this page computes, as distinct from the circle that bounds it, which is the reason the answer comes back in squared units — Wolfram MathWorld (United States)
- Area — what an area is and how it is defined, including why the conversion between square units is the square of the length conversion — Wolfram MathWorld (United States)