संदर्भ कोण कैलकुलेटर

a = ((θ mod 360) + 360) mod 360 a > 180° → a = 360° − a संदर्भ कोण = min(a, 180° − a)

θ

जो कोण आप डालते हैं, डिग्री में। यह कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है: धनात्मक या ऋणात्मक, एक चक्कर से कम या कई चक्कर आगे, पूर्ण संख्या या दशमलव। ऋणात्मक कोण क्षैतिज अक्ष से दक्षिणावर्त नापे जाते हैं, जो दूसरी दिशा में घूमने वाली हर चीज़ का मानक तरीक़ा है

a

आधे चक्कर में मोड़ा हुआ कोण: पहली पंक्ति इनपुट को 0 से 360 के बीच लपेटती है और दूसरी 180 से आगे के हिस्से को वापस नीचे मोड़ देती है। दोनों के बाद कोण 0 और 180 के बीच रह जाता है, और संदर्भ कोण को इससे ज़्यादा कुछ चाहिए भी नहीं, क्योंकि वृत्त के दोनों आधे एक-दूसरे के दर्पण हैं

संदर्भ कोण

अंतिम भुजा और क्षैतिज अक्ष के बीच का न्यून कोण, डिग्री में, हमेशा 0 से 90 के बीच। यह घुमाव नहीं बल्कि दूरी है, और इसीलिए 180 डिग्री का संदर्भ कोण 0 होता है: उसकी अंतिम भुजा उसी अक्ष पर लेटी है जिससे वह नापा जा रहा है। दो दशमलव तक छपता है, ठीक सह-सीमांत कोण वाले पेज की तरह, ताकि चौथाई डिग्री तक दिया गया कोण उसी बारीक़ी का जवाब पाए

mod 360

पूरे एक चक्कर से भाग देने पर बचा शेष, और यही अतिरिक्त चक्कर हटाता है। दो बार लिखने की ज़रूरत इसलिए पड़ती है क्योंकि ज़्यादातर भाषाओं में शेष निकालने वाला ऑपरेटर ऋणात्मक इनपुट पर ऋणात्मक नतीजा लौटाता है, इसलिए पहले 360 जोड़ना पड़ता है — वरना माइनस 45, 315 के बजाय माइनस 45 ही रह जाता और हर ऋणात्मक कोण ग़लत शाखा पर मुड़ जाता

min(a, 180° − a)

क्षैतिज अक्ष के नज़दीकी हिस्से तक की दूरी: त्रिज्या एक वाले वृत्त पर कोण और उससे 180 डिग्री दूर बिंदु, ये दो ही जगहें हैं जहाँ अंतिम भुजा अक्ष से मिलती है, इसलिए संदर्भ कोण वही है जो इन दोनों में नज़दीक हो। चार अलग-अलग नियमों के बजाय एक ही व्यंजक लिखने से अक्ष वाले कोण भी बिना किसी अलग शाखा के कवर हो जाते हैं, और सूत्र इसी शक्ल में लिखे जाने की वजह यही है

चतुर्थांश

कोण को लपेटने और मोड़ने के बाद उसकी अंतिम भुजा वृत्त के किस चौथाई में पहुँचती है: पहला चतुर्थांश 0 से 90 डिग्री, दूसरा 90 से 180, तीसरा 180 से 270 और चौथा 270 से 360। जो चार कोण ठीक किसी अक्ष पर बैठे हैं वे किसी चतुर्थांश के नहीं हैं, और यह पेज उन्हें वैसे ही छापता है — बग़ल वाले चतुर्थांश में खपाने के बजाय

इस पेज का इस्तेमाल तब कीजिए जब आप हाथ से कोई त्रिकोणमितीय फलन निकाल रहे हों — संदर्भ कोण इसी काम के लिए हैं — और जब आपको उसके साथ चतुर्थांश भी चाहिए हो। दोनों की जोड़ी बनी हुई है: संदर्भ कोण sine, cosine या tangent का परिमाण देता है और चतुर्थांश चिह्न देता है, और जो पेज इनमें से एक ही दे, वह दूसरा आधा काम आपके ज़िम्मे छोड़ देता है। सबसे ज़्यादा काम के कोण वही हैं जो किताबों में मिलते हैं — 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 — और इन सबके संदर्भ कोण उसी छोटी सूची से आते हैं: 30, 45 और 60। बात यही है। कोण अनगिनत हैं मगर जानने लायक़ संदर्भ कोण कुल तीन, इसलिए नौ कोणों की सारणी घटकर तीन की रह जाती है और बाक़ी सब चिह्नों का हिसाब-किताब है। यह पेज बिना किसी त्रिकोणमिति के भी अकेले काम आता है, किसी कोण को समझने-बूझने के लिए। अगर कोई दिशा 315 डिग्री बताई गई हो तो उसका संदर्भ कोण 45 यह बताता है कि वह नज़दीकी अक्ष से 45 डिग्री हटी हुई है, और चतुर्थांश यह बताता है कि वह कौन-सी अक्ष है; यही पढ़ाई हवा की दिशा, स्क्रीन के निर्देशांक और हर उस चीज़ के सवालों का जवाब देती है जो किसी तय दिशा से कोण की तरह नापी जाती हो। दो मामले ज़रूरत पड़ने से पहले एक बार पेज पर आज़मा लीजिए। 180 डालिए और देखिए कि जवाब 0 है — अंतिम भुजा अक्ष पर ही है और उस तक की दूरी कुछ नहीं। माइनस 45 डालिए और देखिए कि जवाब 45 है — ऋणात्मक कोण ठुकराए नहीं जाते, वे लपेट दिए जाते हैं, और दक्षिणावर्त कोण का संदर्भ कोण उसके वामावर्त दर्पण जितना ही होता है। और अगर आप इस पेज की तुलना सह-सीमांत कोण कैलकुलेटर से कर रहे हों, तो दोनों एक ही इनपुट लेते हैं और अलग सवालों के जवाब देते हैं: वह पेज वही अंतिम भुजा वाला कोई दूसरा कोण देता है, यह पेज उस अंतिम भुजा की नज़दीकी अक्ष से दूरी देता है। त्रिकोणमिति के सवाल को आम तौर पर दोनों की ज़रूरत होती है — अंतिम भुजा की जगह भी और अक्ष से उसकी दूरी भी — और संदर्भ कोण तथा चतुर्थांश मिलकर वही जोड़ी पूरी करते हैं।

1. 210 डिग्री का कोण

   1. लपेटना: 210 mod 360 = 210, जो पहले ही एक चक्कर के अंदर है
   2. मोड़ना: 210, 180 से बड़ा है, इसलिए 360 − 210 = 150
   3. नज़दीकी अक्ष तक की दूरी: min(150, 180 − 150) = min(150, 30) = 30

   वही कोण जिसके साथ पेज खुलता है, और किताबों वाला मामला: 210 डिग्री तीसरे चतुर्थांश में है, जहाँ sine और cosine दोनों ऋणात्मक होती हैं, और उसका संदर्भ कोण 30 है। इसलिए 210 डिग्री की sine, 30 की sine का ऋणात्मक है यानी माइनस आधा, और cosine, 30 की cosine का ऋणात्मक है यानी माइनस तीन का वर्गमूल बटा दो। इसके लिए जो दो बातें चाहिए वे दोनों इसी पेज पर और इसकी सारणी में हैं: परिमाण संदर्भ कोण से मिलता है और चिह्न चतुर्थांश से।

2. 135 डिग्री का कोण

   1. लपेटना: 135 mod 360 = 135
   2. मोड़ना: 135, 180 से बड़ा नहीं है, इसलिए वह 135 ही रहता है
   3. नज़दीकी अक्ष तक की दूरी: min(135, 180 − 135) = min(135, 45) = 45

   दूसरा चतुर्थांश, और वह अकेला संदर्भ कोण जिसे 30 तथा 60 के साथ रट लेना चाहिए। 135 डिग्री ऊर्ध्वाधर अक्ष से 45 डिग्री आगे है, इसलिए उसका संदर्भ कोण 45 है और उसकी sine तथा cosine बराबर हैं — दो का वर्गमूल बटा दो — जिनमें sine धनात्मक है और cosine ऋणात्मक। दोनों चरणों की शक्ल ग़ौर कीजिए: मोड़ना वह कदम है जो कोण को वृत्त के दूसरे आधे हिस्से में ले जाता है, और दूरी वह जो उसे बाक़ी रास्ता अक्ष तक पहुँचा देती है। दूसरे, तीसरे और चौथे चतुर्थांश की किसी भी चीज़ के लिए दोनों चाहिए।

3. 100.25 डिग्री का कोण

   1. लपेटना: 100.25 mod 360 = 100.25
   2. मोड़ना: 180 से बड़ा नहीं है, इसलिए वह 100.25 ही रहता है
   3. नज़दीकी अक्ष तक की दूरी: 180 − 100.25 = 79.75

   वह पंक्ति जो दो दशमलवों को जायज़ ठहराती है। 100 से चौथाई डिग्री आगे का कोण ऐसा संदर्भ कोण देता है जो 80 से चौथाई डिग्री पीछे है, और जो पेज अपने जवाब पूर्ण डिग्री में पूर्णांकित करता वह 80 छापता और चौथाई डिग्री ग़लत होता। इस दायरे के कोण सर्वेक्षण और खगोल विज्ञान में आम हैं, जहाँ कोण पूर्ण डिग्री के बजाय कोण-मिनटों तक नापे जाते हैं, और 79.75 वैसा ही जवाब है जिसे पेज से गुज़रते हुए सही-सलामत निकलना ही चाहिए।

4. 180 डिग्री का कोण

   1. लपेटना: 180 mod 360 = 180
   2. मोड़ना: 360 − 180 = 180
   3. नज़दीकी अक्ष तक की दूरी: min(180, 180 − 180) = min(180, 0) = 0

   वह मामला जो लोगों को उलझाता है, और वह वजह जिससे आख़िरी चरण को घुमाव के बजाय दूरी की तरह लिखा गया है। संदर्भ कोण यह नापता है कि अंतिम भुजा क्षैतिज अक्ष से कितनी दूर है, और 180 डिग्री पर अंतिम भुजा उसी अक्ष के साथ लेटी है, इसलिए दूरी शून्य है। जवाब 180 नहीं बल्कि 0 है, और यह कोण किसी चतुर्थांश का नहीं है — सारणी इसे दूसरे या तीसरे चतुर्थांश में खपाने के बजाय अक्ष पर बैठा हुआ छापती है, जबकि वे दोनों ही ग़लत होते।

5. माइनस 45 डिग्री का कोण

   1. लपेटना: −45 बनता है −45 + 360 = 315
   2. मोड़ना: 315, 180 से बड़ा है, इसलिए 360 − 315 = 45
   3. नज़दीकी अक्ष तक की दूरी: min(45, 180 − 45) = min(45, 135) = 45

   एक ऋणात्मक कोण, क्षैतिज अक्ष से दक्षिणावर्त नापा हुआ, और वह पंक्ति जो दिखाती है कि लपेटने वाला चरण अपनी क़ीमत वसूल करता है: माइनस 45 की अंतिम भुजा वही है जो 315 डिग्री की है, यानी चौथे चतुर्थांश में, और उसका संदर्भ कोण 45 है — ठीक धनात्मक 45 जितना। एक ही नाप के दक्षिणावर्त और वामावर्त कोण एक ही संदर्भ कोण रखते हैं और सिर्फ़ चतुर्थांश में अलग होते हैं, और यही बँटवारा सारणी के दो कॉलमों के बीच है।

यह पेज डिग्री में काम करता है और जो संदर्भ कोण छापता है वे भी डिग्री में हैं; ख़ाने में रेडियन स्वीकार नहीं होते और छपते भी नहीं, इसलिए रेडियन में दिया गया कोण पहले बदलना पड़ेगा — 180 से गुणा कीजिए और pi से भाग दीजिए। जवाब हमेशा 0 से 90 के बीच आता है, और इसका मतलब यह है कि दो बिल्कुल अलग कोण एक ही जवाब पा सकते हैं: 30, 150, 210 और 330 सबका संदर्भ कोण 30 है, और सिर्फ़ संदर्भ कोण यह नहीं बता सकता कि आप किससे शुरू हुए थे। उसके लिए चतुर्थांश चाहिए, जो यह पेज सारणी में देता है मगर नतीजे के पैनल में नहीं छापता, क्योंकि किसी चतुर्थांश में अच्छा या बुरा कुछ नहीं होता और इस साइट के बैज तभी कुछ कहते हैं जब वे दिखते हैं। जो चार कोण ठीक किसी अक्ष पर पड़ते हैं — 0, 90, 180 और 270, तथा उनके ऋणात्मक और गुणज — उनका कोई चतुर्थांश ही नहीं है, और पेज यह बात कहता है, उन्हें नज़दीकी चतुर्थांश में डाल देने के बजाय; जिस पाठक को उन्हें किसी चतुर्थांश के साथ समूहित करना हो उसे ख़ुद तय करना पड़ेगा कि उसकी किताब कौन-सी परिपाटी मानती है। कोण का ख़ाना दोनों दिशाओं में दस लाख डिग्री तक कुछ भी ले लेता है, जो किसी भी असली इस्तेमाल से कहीं आगे है, मगर पूरे अतिरिक्त चक्कर हटा दिए जाते हैं, इसलिए यह पेज चक्कर गिनने का औज़ार नहीं है। दो दशमलव प्रदर्शन की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं, और यह चौथाई या सौवें डिग्री तक नापे गए कोण के लिए ठीक चौड़ाई है और पूर्ण डिग्री तक नापे गए के लिए ज़रूरत से ज़्यादा। यह पेज त्रिकोणमितीय फलन नहीं निकालता: यह संदर्भ कोण देता है और सारणी में चतुर्थांश, यानी दोनों सामग्री, मगर sine, cosine या tangent का असली मान एक अलग कदम है और पेज वह नहीं उठाता। तीन आयामों के कोणों, गोलीय निर्देशांकों, या किसी तल में तय अक्ष के बजाय किसी और अक्ष के चारों ओर घुमाव के बारे में इसके पास कहने को कुछ नहीं है, क्योंकि उन सबमें मिलते-जुलते विचार लगते हैं, यह विचार नहीं।

संदर्भ कोण का सूत्र क्या है?

पहले कोण को 0 से 360 के बीच लपेटिए, फिर 180 से आगे के हिस्से को वापस मोड़िए, और अंत में 180 में से घटाकर देख लीजिए कि कौन नज़दीक है। तीनों काम मिलकर वही एक व्यंजक बनाते हैं। तीसरे चतुर्थांश के लिए यही बात 180 घटाने में उतर आती है: 210 का संदर्भ कोण 30 है, 240 का 60, और 225 का 45। चार चतुर्थांशों के चार अलग नियम भी याद रखे जा सकते हैं, मगर यह पेज चारों को एक ही व्यंजक से लगाता है, और इसीलिए वे अक्ष वाले कोण भी सही आते हैं जिन्हें चार नियम ग़लत बताते हैं।

180 डिग्री का संदर्भ कोण 180 क्यों नहीं होता?

क्योंकि संदर्भ कोण घुमाव नहीं बल्कि दूरी है। यह नापता है कि अंतिम भुजा क्षैतिज अक्ष से कितनी दूर है, और 180 डिग्री पर अंतिम भुजा उसी अक्ष के साथ लेटी है — दूरी शून्य। इसी तर्क से 90 और 270 डिग्री दोनों का जवाब 90 आता है, क्योंकि उन दोनों की अंतिम भुजाएँ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर खड़ी हैं और क्षैतिज अक्ष से 90 डिग्री दूर हैं। ये चारों कोण अक्ष पर पड़े हैं और किसी चतुर्थांश के नहीं, और इस पेज की सारणी उन्हें नज़दीकी चतुर्थांश में खपाने के बजाय यही छापती है।

संदर्भ कोण कैसे निकालें, अगर कोण पूरे चक्कर से बड़ा हो?

पहले अतिरिक्त चक्कर हटाइए और फिर बाक़ी वही हिसाब। 400 डिग्री 40 से एक पूरा चक्कर आगे है, इसलिए उसका संदर्भ कोण वही है जो 40 का होता, यानी 40 — और 750 डिग्री दो चक्कर से आगे जाकर 30 पर उतरती है। यह काम पेज ख़ुद कर देता है; आपको पहले हाथ से घटाना नहीं पड़ता, जो मायने रखता है क्योंकि दिशाएँ और घुमाव अक्सर पूरे चक्कर से आगे चले जाते हैं।

क्या संदर्भ कोण ऋणात्मक हो सकता है?

नहीं। जवाब हमेशा 0 से 90 डिग्री के बीच ही आता है, चाहे अंदर कुछ भी जाए। मगर ऋणात्मक कोण ठुकराया नहीं जाता: माइनस 45 डिग्री क्षैतिज अक्ष से दक्षिणावर्त नापा जाता है, जो 315 डिग्री की अंतिम भुजा ही है, और उसका संदर्भ कोण 45 है। एक ही नाप के दक्षिणावर्त और वामावर्त कोण एक ही संदर्भ कोण रखते हैं और सिर्फ़ इस बात में अलग होते हैं कि वे किस चतुर्थांश में पहुँचते हैं।

कौन-से संदर्भ कोण रटने लायक़ हैं?

तीन: 30, 45 और 60। किताब जो भी कोण पूछती है वह इन्हीं तीन में से एक पर उतर आता है — 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315 और 330 सब इन्हीं तीन में से एक बनते हैं — और बाक़ी काम चतुर्थांश से चिह्न चुन लेना है। यही घटा देना संदर्भ कोण की पूरी कहानी है: कोण अनगिनत हैं मगर जिनके त्रिकोणमितीय मान याद रखने हैं वे गिने-चुने।

संदर्भ कोण और सह-सीमांत कोण में क्या फ़र्क़ है?

सह-सीमांत कोण कोई दूसरा कोण होता है जो उसी जगह जाकर ख़त्म होता है: 400 डिग्री और 40 डिग्री की अंतिम भुजा एक ही है, और उसका पेज सह-सीमांत कोण कैलकुलेटर है। संदर्भ कोण यह बताता है कि वह अंतिम भुजा नज़दीकी क्षैतिज अक्ष से कितनी दूर है, जो हमेशा 0 से 90 के बीच होती है। दोनों एक ही इनपुट लेते हैं और अलग सवालों के जवाब देते हैं, और त्रिकोणमिति के सवाल को आम तौर पर दोनों चाहिए: अंतिम भुजा की जगह भी, और अक्ष से उसकी दूरी भी।

क्या माइनस 45 का संदर्भ कोण 45 जितना ही है?

हाँ, दोनों 45 हैं। ये दोनों कोण क्षैतिज अक्ष के आर-पार एक-दूसरे के दर्पण हैं, इसलिए वे उससे बराबर दूरी पर हैं, और सिर्फ़ इस बात में अलग हैं कि वे अक्ष के किस ओर पड़े हैं — 45 डिग्री पहले चतुर्थांश में है और माइनस 45, यानी 315, चौथे में। इसीलिए संदर्भ कोण का जवाब अकेले कभी इतना नहीं बताता कि आप किस कोण से शुरू हुए थे।

• Reference angle — the acute angle between the terminal side of an angle and the horizontal axis, which is the quantity this page computes, with the quadrant-by-quadrant values and the axis cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric functions — the sine, cosine and tangent whose values are recovered from a reference angle together with the sign given by the quadrant, which is what makes the reference angle useful — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit circle — the picture this page's arithmetic is really about, in which the terminal side meets a circle of radius one and the reference angle is the distance from that meeting point to the nearest axis — Wolfram MathWorld (United States)