द्विगुण कोण कैलकुलेटर

sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos²θ − sin²θ tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

θ

वह कोण जिससे शुरुआत होती है, डिग्री या रेडियन में। यह ऋणात्मक भी हो सकता है और पूरे चक्कर से बड़ा भी, और पेज इस कोण को दुगुना करता है, इसके जवाब को नहीं

2θ

दुगुना कोण। यह पहले छपता है क्योंकि बाक़ी सारे आँकड़े इसी कोण पर पढ़े जाते हैं, भरने वाले कोण पर नहीं — और यह ख़ाना पूरे चक्कर में लाया हुआ होता है, इसलिए माइनस तीस डिग्री का दुगुना 300.00 छपता है

2 sin θ cos θ

दुगुने कोण के sine की सर्वसमिका। यह मूल कोण के sine और cosine को आपस में गुणा करती है, किसी एक को दुगुना नहीं करती — यही वजह है कि जवाब 2 sin θ नहीं होता, बल्कि उससे बिल्कुल अलग आँकड़ा होता है

cos²θ − sin²θ

दुगुने कोण के cosine की सर्वसमिका। इसी को एक बटा दो sine वर्ग घटाकर, या दो cosine वर्ग में से एक घटाकर भी लिखा जा सकता है — तीनों रूप एक ही आँकड़ा देते हैं, और जो रूप चुनना हो वह इस बात से तय होता है कि पहले से कौन-सा अनुपात हाथ में है

इस पेज की ओर तब मुड़िए जब कोण दुगुना होने वाला हो और यह जानना हो कि वह कहाँ पड़ेगा, बिना सर्वसमिकाएँ हाथ से लगाए — दो बार लगाया गया घुमाव, वह कला जो हर क़दम पर दुगुनी बढ़ती है, या वह तरंगदैर्घ्य जो दुगुनी आवृत्ति पर पढ़ा जाता है। नीचे दी गई सर्वसमिकाएँ वही तीन हैं जो कैलकुलेटर लगाता है, इसलिए यह पेज हाथ के हिसाब की जाँच का काम भी करता है। दो पड़ोसी दिशाएँ यहाँ से जुड़ती हैं। अगर दुगुना पठन हाथ में हो और मूल कोण वापस चाहिए, तो वह आधे कोण की दिशा है और यह पेज वह काम नहीं करता। और अगर भरे हुए कोण पर ही तीनों अनुपात चाहिए, दुगुने पर नहीं, तो त्रिकोणमिति वाला पेज ठीक वही करता है, और जहाँ दोनों परिभाषित हैं वहाँ दोनों एक ही जवाब देते हैं।

1. तीस डिग्री, जो दुगुनी होकर साठ बनती है

   1. तीस डिग्री दुगुनी होकर साठ डिग्री बनती है
   2. साठ डिग्री का sine 0.866 है और cosine 0.5
   3. तीस डिग्री का sine 0.5 था, इसलिए जवाब उसका दुगुना नहीं है — यही इस पेज की पहली सीख है

   यह पंक्ति इस पूरे पेज की सबसे ज़रूरी ग़लतफ़हमी तोड़ती है। तीस डिग्री का sine 0.5 है, और अगर दुगुना करना गुणा होता तो साठ डिग्री का sine 1 होना चाहिए था — पर वह 0.866 है। दोनों आँकड़ों के बीच कोई सीधा रिश्ता नहीं, क्योंकि जो दुगुना होता है वह कोण है, अनुपात नहीं। इसी पंक्ति में तीस डिग्री के cosine से sine में बदलाव भी दिखता है: मूल में cosine बड़ा था, दुगुने कोण पर sine बड़ा हो गया, और तालिका में यह अदला-बदली पंद्रह और तीस की पंक्तियों को साथ रखकर साफ़ दिखती है।

2. बाईस दशमलव पाँच डिग्री, जिसका दुगुना ख़ास कोण है

   1. बाईस दशमलव पाँच डिग्री किसी मानक तालिका में नहीं मिलती
   2. पर उसका दुगुना पैंतालीस डिग्री है, जो हर तालिका में है
   3. पर उस दुगुने पर sine और cosine बराबर 0.7071 हो जाते हैं और tangent ठीक 1

   यह कोण इसलिए जानने लायक़ है कि इसका दुगुना एक ऐसा कोण है जिसके अनुपात ठीक-ठीक लिखे जा सकते हैं, और सर्वसमिकाओं को उलटा पढ़कर कोई भी ऐसा कोण खींचा जा सकता है। दोनों अनुपात बराबर होने की वजह भी सीधी है: पैंतालीस डिग्री पर सामने की और आसन्न भुजा बराबर होती हैं, और उनका वर्ग घटाने पर शून्य बचता है — यानी cosine के दोनों रूप यहाँ एक ही बात कहते हैं। यही वह बिंदु है जहाँ tangent ठीक एक आता है, इसलिए तालिका में यह पंक्ति सबसे साफ़ पहचान बन जाती है।

3. नब्बे डिग्री, जो दुगुनी होकर एक सौ अस्सी बनती है

   1. नब्बे डिग्री दुगुनी होकर एक सौ अस्सी बनती है
   2. वहाँ sine ठीक शून्य और cosine ठीक माइनस एक है
   3. दुगुने कोण का tangent भी शून्य आता है, और यहाँ कोई इनकार नहीं होता

   यह पंक्ति इस पेज की सबसे उपयोगी जोड़ी दिखाती है, क्योंकि इसमें tangent शून्य है जबकि और भी कोण हैं जहाँ यह इनकार करता है — दोनों बातें एक ही ख़ाने में उलझ जाती हैं। शून्य और इनकार अलग चीज़ें हैं: यहाँ दुगुना कोण एक सौ अस्सी है, जहाँ tangent का मान ठीक शून्य होता है, इसलिए जवाब मिलता है। इसके उलट, पैंतालीस डिग्री का दुगुना नब्बे बनता है, जहाँ tangent होता ही नहीं, और वहाँ पूरा पेज जवाब देने से मना कर देता है।

4. पूरे चक्कर से आगे का कोण, सात सौ पचास डिग्री

   1. सात सौ पचास डिग्री में से पूरे चक्कर निकालिए, तीस बचती है
   2. दुगुना करने पर साठ डिग्री मिलती है
   3. जवाब तीस डिग्री वाली पंक्ति से बिल्कुल एक जैसा छपता है

   पेज दुगुना कोण का नहीं करता, यही इस पंक्ति का सार है: जो दुगुना होता है वह भरा हुआ कोण है, और उसके बाद जवाब सीमा में लाया जाता है। इसीलिए सात सौ पचास डिग्री और तीस डिग्री एक ही पंक्ति बन जाती हैं — पूरे चक्कर कोई फ़र्क़ नहीं डालते, क्योंकि वे दिशा नहीं बदलते। यही बात ऋणात्मक कोणों पर भी लागू होती है, और वहाँ नतीजा ज़रा अलग दिखता है: माइनस तीस डिग्री का दुगुना 300.00 छपता है, क्योंकि दुगुना कोण हमेशा शून्य से पूरे चक्कर के बीच बताया जाता है।

तीन बातें यह पेज नहीं करता। पहली, दुगुने कोण का tangent पैंतालीस डिग्री पर, एक सौ पैंतीस पर, और हर उस कोण पर मना कर दिया जाता है जिसका दुगुना समकोण या तीन-चौथाई चक्कर बनता है — इनमें उन कोणों के ऋणात्मक और एक-चक्कर-आगे वाले रूप भी शामिल हैं, इसलिए दो सौ पच्चीस और माइनस पैंतालीस भी उसी तरह मना हो जाते हैं। इनकार पूरी पंक्ति को ले डूबता है, भले ही उन कोणों पर दुगुने कोण का sine और cosine बिल्कुल साधारण आँकड़े देते हैं। इसे तालिका में देखा जा सकता है: पैंतालीस और एक सौ पैंतीस की पंक्तियों में सिर्फ़ tangent का ख़ाना डैश है, बाक़ी तीनों भरे हुए हैं — और फिर भी पेज उन पंक्तियों का जवाब देने से हाथ खींच लेता है। दूसरी बात, आँकड़े चार दशमलव तक दिए जाते हैं और उनमें से ज़्यादातर अपरिमेय हैं: दुगुनी तीस डिग्री का असली sine दो पर वर्गमूल बटा दो है, और 0.866 उसका कटा हुआ रूप है। cosine यहाँ sine से ज़्यादा शरारती है — उसकी सर्वसमिका दो वर्गों को घटाती है, और पैंतालीस डिग्री के आसपास वे दोनों लगभग बराबर हो जाते हैं, इसलिए जो छोटा जवाब निकलता है वह दो बड़े आँकड़ों का अंतर होता है; यही वजह है कि पैंतालीस के पास आँकड़ा तेज़ी से बदलता दिखता है। तीसरी बात, यह पेज उलटी दिशा में नहीं चलता। दुगुने कोण का sine 0.866 दिया हो, तो वह दुगुना कोण साठ भी हो सकता है और एक सौ बीस भी, और मूल कोण उन सबमें से कोई भी हो सकता है जो इन दोनों तक दुगुने होकर पहुँचते हैं — किसी अनुपात से एक कोण वापस निकालने के लिए एक फ़ैसला लेना पड़ता है, और वह फ़ैसला यह पेज नहीं करता।

क्या दुगुने कोण का sine, कोण के sine का दुगुना होता है?

नहीं, और यही वह ग़लती है जिसके इर्द-गिर्द यह पेज बना है। तीस डिग्री का sine 0.5 है, पर साठ डिग्री का sine 0.866 है, 1 नहीं। कोण को दुगुना करना उसके अनुपातों को किसी गुणक से बढ़ाना नहीं है। दुगुने कोण का sine असल में मूल कोण के sine और cosine के गुणनफल का दुगुना होता है — दो अलग पठनों का गुणा, किसी एक पठन का दुगुना नहीं।

पेज पैंतालीस डिग्री पर इनकार क्यों कर देता है?

क्योंकि पैंतालीस दुगुनी होकर नब्बे बनती है, और नब्बे डिग्री का tangent होता ही नहीं। नब्बे पर sine और cosine बिल्कुल ठीक हैं — एक और शून्य — पर पेज tangent भी बताता है, और अधूरा जवाब पूरा बताकर देने से बेहतर है कि जवाब ही न दिया जाए। यही इनकार एक सौ पैंतीस डिग्री पर भी लगता है, जिसका दुगुना दो सौ सत्तर बनता है, और इन दोनों से आधे चक्कर दूर बैठे हर कोण पर भी।

दुगुने कोण की तीनों सर्वसमिकाएँ क्या हैं?

दुगुने कोण का sine, मूल के sine और cosine के गुणनफल का दुगुना होता है। दुगुने कोण का cosine, मूल के cosine का वर्ग घटा मूल के sine का वर्ग होता है, और इसे एक बटा दो sine वर्ग घटाकर या दो cosine वर्ग में से एक घटाकर भी लिखा जा सकता है — तीनों रूप एक ही आँकड़ा देते हैं, और काम का रूप वह है जिसमें पहले से मौजूद अनुपात काम आ जाए। दुगुने कोण का tangent, मूल का दुगुना tangent बटा एक में से उसके वर्ग को घटाकर होता है।

बाईस दशमलव पाँच डिग्री जानने लायक़ क्यों है?

क्योंकि उसका दुगुना पैंतालीस है, और पैंतालीस उन गिने-चुने कोणों में है जिनके अनुपात ठीक-ठीक लिखे जा सकते हैं — sine और cosine दोनों 0.7071, और tangent ठीक 1। बाईस दशमलव पाँच किसी मानक तालिका में नहीं मिलती, पर वह एक ऐसे कोण की आधी है जो तालिका में है, इसलिए द्विगुण कोण की सर्वसमिका को उलटा पढ़कर वहाँ तक पहुँचा जा सकता है। यही उलटा पठन आधे कोण के सूत्र हैं।

कोण ऋणात्मक या पूरे चक्कर से बड़ा हो सकता है?

हाँ, और दोनों को एक ही तरह निपटाया जाता है: कोण पहले दुगुना किया जाता है और जवाब फिर सीमा में लाया जाता है, इसलिए सात सौ पचास डिग्री बिल्कुल तीस डिग्री जैसा पढ़ा जाता है और माइनस तीस डिग्री का दुगुना 300.00 आता है। पूरे चक्कर इसलिए हटा दिए जाते हैं कि वे दिशा में कोई फ़र्क़ नहीं डालते। ध्यान देने की एक बात यह है कि दुगुना कोण हमेशा शून्य से पूरे चक्कर के बीच बताया जाता है, इसलिए ऋणात्मक कोण का दुगुना भी धनात्मक आँकड़े में छपता है।

क्या कोण रेडियन में भरा जा सकता है?

हाँ — ख़ाने के बग़ल में इकाई चुनने की सूची है, और दुगुना कोण हर हाल में डिग्री में बताया जाता है, क्योंकि उसी ख़ाने की घोषित इकाई वही है। π का तीसरा हिस्सा और साठ डिग्री एक ही कोण हैं और एक ही चार आँकड़े देते हैं। हमेशा की तरह यह देख लीजिए कि जिस स्रोत से तुलना कर रहे हैं वह कौन-सी इकाई मानकर चलता है, क्योंकि छपी हुई ज़्यादातर तालिकाओं का मतलब डिग्री होता है।

• Double-Angle Formulas — the three identities this page applies, and how they follow from the addition formulas — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Addition Formulas — the identities the double angle ones are a special case of, with everything derived rather than asserted — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — the ratios in a right triangle, from first principles — Math is Fun (United Kingdom)