अर्ध कोण कैलकुलेटर
नतीजा
आधा कोण θ/2
- θ/2 का sine
- 0.2588
- θ/2 का cosine
- 0.9659
- θ/2 का tangent
- 0.2679
अर्ध कोण कैलकुलेटर एक कोण लेता है और उसका आधा बताता है, साथ में उस आधे पर sine, cosine तथा tangent। याद रखने लायक़ बात यह है कि कोण आधा करने से उसके अनुपात आधे नहीं हो जाते। तीस डिग्री का sine 0.5 है; उसका आधा 0.25 बनता है; और पंद्रह डिग्री का sine 0.2588 है, जो दोनों में से कोई नहीं। यह वही जाल है जो द्विगुण कोण की सर्वसमिकाएँ बिछाती हैं, बस दूसरी तरफ़ से। आधे कोण की सर्वसमिकाएँ बताती हैं कि 0.2588 कहाँ से आता है। आधे कोण का sine, एक में से पूरे कोण का cosine घटाकर उसे दो से भाग देने पर जो मिले उसका वर्गमूल होता है। आधे कोण का cosine वही वर्गमूल है, बस अंदर जोड़ के चिह्न के साथ। आधे कोण का tangent एक में से cosine बटा sine है, या sine बटा एक जोड़ cosine, या एक में से cosine बटा एक जोड़ cosine का वर्गमूल — एक ही आँकड़े के तीन रूप, और किस रूप का इस्तेमाल होगा यह सिर्फ़ इस बात से तय होता है कि पहले से कौन-से पठन हाथ में हैं। दो नियम तय करते हैं कि बाहर क्या निकलेगा। कोण को आधा करने से पहले सीमा में लाया जाता है, बाद में नहीं, इसलिए चालीस डिग्री और चार सौ डिग्री एक ही जगह पहुँचते हैं, और ऋणात्मक कोण भी आधा होकर ऋणात्मक नहीं आता — वह ऊपरी आधे वृत्त का कोण बनता है, इसलिए माइनस तीस डिग्री का जवाब 165.00 छपता है, माइनस पंद्रह नहीं। और जब आधा समकोण पर पड़े तो tangent का कोई मान नहीं होता, जो एक सौ अस्सी डिग्री पर, पाँच सौ चालीस पर, और इन दोनों से पूरे चक्कर दूर बैठे हर कोण पर होता है; वहाँ पूरा पठन ठुकरा दिया जाता है, अधूरा बताकर नहीं दिया जाता। सब कुछ आधे पर पढ़ा जाता है, भरे हुए कोण पर कभी नहीं, इसलिए स्क्रीन पर दिखने वाले चारों आँकड़े उस कोण के जवाब हैं जो ख़ाने में लिखा है उससे अलग है — और यह इस पेज को पढ़ते समय सबसे ज़्यादा भूली जाने वाली बात है। इसका उलटा यह भी है कि यह पेज उलटी दिशा में नहीं चलता: तीस, तीन सौ नब्बे और सात सौ पचास, तीनों का आधा 15.00 ही है, इसलिए आधा देखकर मूल कोण का अंदाज़ा ही लगाया जा सकता है, पता नहीं चलाया जा सकता। नीचे की तालिका बारह कोणों पर आधा कोण और उसके तीनों अनुपात दिखाती है, और उसमें सिर्फ़ एक ख़ाना डैश है। कोण डिग्री, रेडियन या ग्रेडियन में भरा जा सकता है, पर आधा कोण हर हाल में डिग्री में छपता है।
बारह कोणों पर आधा कोण और उसके तीनों अनुपात
| कोण (°) | आधा कोण θ/2 (°) | θ/2 का sine | θ/2 का cosine | θ/2 का tangent |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | 15 | 0.2588 | 0.9659 | 0.2679 |
| 60 | 30 | 0.5 | 0.866 | 0.5774 |
| 90 | 45 | 0.7071 | 0.7071 | 1 |
| 120 | 60 | 0.866 | 0.5 | 1.7321 |
| 150 | 75 | 0.9659 | 0.2588 | 3.7321 |
| 180 | 90 | 1 | 0 | — |
| 210 | 105 | 0.9659 | -0.2588 | -3.7321 |
| 240 | 120 | 0.866 | -0.5 | -1.7321 |
| 270 | 135 | 0.7071 | -0.7071 | -1 |
| 300 | 150 | 0.5 | -0.866 | -0.5774 |
| 330 | 165 | 0.2588 | -0.9659 | -0.2679 |
पहले दो ख़ाने साथ पढ़िए और फिर उन्हें भुला दीजिए: दूसरा पहले का ठीक आधा है, ऊपर से नीचे तक, और तालिका में यह अकेला ख़ाना है जो वैसा बर्ताव करता है जैसा आधा करने से उम्मीद की जाती है। उसके बाद वाले तीन ख़ाने ऐसा नहीं करते। शून्य पर आधे का tangent शून्य है; नब्बे पर वह ठीक एक है; एक सौ पचास पर 3.7321 है और दो सौ दस पर वही आँकड़ा माइनस के साथ, जो इस ख़ाने का एक से सबसे दूर बिंदु है। अकेला डैश एक सौ अस्सी डिग्री पर बैठा है, जहाँ आधा नब्बे बनता है और tangent का मान नहीं होता — और वह सिर्फ़ tangent के ख़ाने में है, क्योंकि उस आधे का sine एक है और cosine शून्य। नीचे की छह पंक्तियाँ ऊपर की छह का दर्पण हैं, नीचे से ऊपर पढ़ी हुई: पंद्रह और एक सौ पैंसठ का sine एक ही 0.2588 है, तीस और एक सौ पचास का एक ही 0.5, और इसी तरह आगे भी, क्योंकि ये कोण खड़े अक्ष के आर-पार एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं और प्रतिबिंब sine साझा करते हैं। cosine का ख़ाना वही आँकड़े दिखाता है, हर चिह्न उलटा हुआ — जो आधे के दूसरे चतुर्थांश में पहुँचते ही होता है, यानी उस पंक्ति से शुरू होकर जहाँ भरा हुआ कोण एक सौ अस्सी तक पहुँचता है। इस दर्पण के दो सिरे बाहर हैं और यह जानने लायक़ है: शून्य और आधा शून्य पर sine शून्य है और cosine एक, जबकि ठीक नब्बे के आधे पर उलटा — sine एक और cosine शून्य — इसलिए सबसे ऊपर और बीच वाली पंक्ति इस दर्पण में नहीं आती, वे अपने-अपने तरीक़े से अकेली हैं।
फ़ॉर्मूला
sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
- θ
- वह कोण जिससे शुरुआत होती है, डिग्री या रेडियन में। यह ऋणात्मक भी हो सकता है और पूरे चक्कर से बड़ा भी, और कुछ भी आधा करने से पहले इसे सीमा में लाया जाता है — इसीलिए माइनस तीस डिग्री का आधा 165.00 बनता है, माइनस पंद्रह नहीं
- θ/2
- आधा कोण, जो हमेशा शून्य से आधे चक्कर तक की पट्टी में बताया जाता है। इस पेज का बाक़ी हर आँकड़ा यहीं पढ़ा जाता है, भरे हुए कोण पर नहीं
- cos θ
- पूरे कोण का cosine, जो इस सर्वसमिका का अकेला ज़रूरी इनपुट है — दोनों वर्गमूल इसी से बनते हैं। इसी वजह से किसी बेतुके कोण पर भी पठन ठीक-ठीक हो सकता है, क्योंकि ज़रूरत सिर्फ़ इस एक अनुपात की है
- sin θ
- पूरे कोण का sine, जिसका इस्तेमाल tangent के दोनों भिन्न वाले रूप करते हैं। यह नीचे वाला हिस्सा है, इसलिए यह शून्य नहीं हो सकता — और जिन कोणों पर यह शून्य होता है, ठीक उन्हीं पर आधा समकोण बनता है और पूरा पठन ठुकरा दिया जाता है
इस पेज की ओर तब मुड़िए जब कोण आधा होने वाला हो और उस आधे पर तीनों अनुपात चाहिए, बिना सर्वसमिकाएँ हाथ से लगाए — आधी चाल पर चलता दोलक, दो दर्पण सतहों के बीच का कोण, केंद्रीय कोण के आधे से देखी गई जीवा, या वह क़दम जो पूरे चक्कर का आधा या चौथाई हो। नीचे दी गई सर्वसमिकाएँ वही तीन हैं जो कैलकुलेटर लगाता है, इसलिए यह पेज हाथ के हिसाब की जाँच का काम भी करता है। दो पड़ोसी पेज बाक़ी रास्ते सँभालते हैं। अगर कोण के बजाय उसका दुगुना चाहिए, तो द्विगुण कोण के सूत्र उलटी दिशा में चलते हैं, और जहाँ दोनों परिभाषित हैं वहाँ दोनों पेज एक ही बात कहते हैं। और अगर ख़ाने में लिखे कोण पर ही तीनों अनुपात चाहिए, उसके आधे पर नहीं, तो त्रिकोणमिति वाला पेज वहाँ पढ़ता है और कुछ भी आधा नहीं करता।
हल किए हुए उदाहरण
तीस डिग्री, जिसका आधा पंद्रह बनता है
- तीस डिग्री का आधा पंद्रह डिग्री है
- पंद्रह डिग्री का sine 0.2588 है, cosine 0.9659
- तीस डिग्री का sine 0.5 था, और उसका आधा 0.25 होता — जवाब वह नहीं है
यह पंक्ति इस पूरे पेज की सबसे ज़रूरी ग़लतफ़हमी तोड़ती है। तीस डिग्री का sine 0.5 है और उसका आधा 0.25, पर पंद्रह डिग्री का sine 0.2588 है — दोनों में सिर्फ़ 0.0088 का फ़र्क़ है, और यही इस जाल को इतना ख़तरनाक़ बनाता है, क्योंकि ग़लत जवाब भी बिल्कुल ठीक लगता है। सर्वसमिका बताती है कि यह आँकड़ा कहाँ से आता है: तीस डिग्री का cosine 0.8660 है, एक में से उसे घटाइए तो 0.1340 बचता है, उसे दो से भाग दीजिए तो 0.0670, और उसका वर्गमूल 0.2588 — जो तालिका में लिखा है।
नब्बे डिग्री, जिसका आधा पैंतालीस है
- नब्बे डिग्री का आधा पैंतालीस डिग्री है
- पैंतालीस पर sine और cosine दोनों 0.7071 हैं
- इसलिए आधे कोण का tangent ठीक 1 आता है
पैंतालीस डिग्री इस पूरी तालिका का सबसे साफ़ बिंदु है, क्योंकि वहाँ तीनों में से दो अनुपात बराबर हैं और तीसरा ठीक एक। यह भी देखिए कि ज़रूरी इनपुट सिर्फ़ पूरे कोण का cosine है — नब्बे डिग्री का cosine शून्य है, एक में से शून्य घटाइए तो एक बचता है, दो से भाग दीजिए तो आधा, और उसका वर्गमूल 0.7071। यानी गिनती में सिर्फ़ एक ही अनुपात लगता है, और यही वजह है कि किसी भी कोण पर यह सर्वसमिका चल जाती है।
चार सौ डिग्री, जो चालीस जैसी ही है
- चार सौ डिग्री में से पूरा चक्कर निकालिए, चालीस बचती है
- अब आधा कीजिए: बीस डिग्री
- जवाब चालीस डिग्री वाली पंक्ति से बिल्कुल एक जैसा छपता है
यहाँ क्रम मायने रखता है, और यही इस पेज को द्विगुण कोण वाले पेज से अलग करता है। पहले पूरे चक्कर हटाए जाते हैं और उसके बाद कोण आधा किया जाता है, इसलिए चार सौ डिग्री और चालीस डिग्री का जवाब एक ही आता है। अगर उलटा किया जाए, यानी पहले आधा और फिर चक्कर हटाए जाएँ, तो दो सौ डिग्री बचती, और उसका जवाब वह नहीं होता जो तालिका में लिखा है। यही क्रम इस पेज के ऋणात्मक कोणों वाले बर्ताव की भी जड़ है।
माइनस तीस डिग्री, जिसका आधा ऋणात्मक नहीं आता
- माइनस तीस डिग्री पहले सीमा में आती है, यानी तीन सौ तीस बनती है
- उसका आधा एक सौ पैंसठ डिग्री है, माइनस पंद्रह नहीं
- सine वही 0.2588 रहता है, पर cosine का चिह्न उलट जाता है
यह तालिका की सबसे उलझाने वाली पंक्ति है और इसकी वजह साफ़ है: हिसाब के हिसाब से माइनस पंद्रह डिग्री भी एक असली कोण है, पर यह पेज आधा कोण हमेशा ऊपरी आधे वृत्त में बताता है, यानी शून्य से एक सौ अस्सी के बीच, इसलिए जवाब एक सौ पैंसठ आता है। दोनों कोण अलग दिशाएँ हैं, इसलिए जवाब अलग है — और यह भी देखिए कि sine वही रहता है जो पंद्रह डिग्री का था, क्योंकि पंद्रह और एक सौ पैंसठ खड़े अक्ष के आर-पार एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं, और प्रतिबिंब sine साझा करते हैं। cosine का चिह्न उलट जाता है, और tangent का भी।
सीमाएँ
तीन बातें यह पेज नहीं करता। पहली, आधे कोण का tangent एक सौ अस्सी डिग्री पर, पाँच सौ चालीस पर, माइनस एक सौ अस्सी पर, और इन सबसे पूरा चक्कर जोड़कर या घटाकर बनने वाले हर कोण पर ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि इन सबका आधा समकोण बनता है और वहाँ tangent का मान नहीं होता। इनकार पूरा पठन ले डूबता है, भले ही आधे कोण का sine और cosine वहाँ बिल्कुल साधारण आँकड़े हैं — एक और शून्य। यह तालिका में भी दिखता है: एक सौ अस्सी डिग्री की पंक्ति में सिर्फ़ tangent का ख़ाना डैश है और बाक़ी तीनों भरे हुए हैं, फिर भी पेज उस पंक्ति का जवाब देने से हाथ खींच लेता है। दूसरी बात, तीनों अनुपात चार दशमलव तक बताए जाते हैं और उनमें से ज़्यादातर अपरिमेय हैं; छपा हुआ आधा कोण इससे अलग मामला है, क्योंकि पूरे अंकों वाली डिग्री को आधा करने पर सबसे बुरी सूरत में आधी डिग्री बनती है और दो दशमलव उसे ठीक-ठीक रख लेते हैं — पंद्रह का आधा 7.50 बिना किसी काट-छाँट के छपता है। तीसरी बात, यह पेज उलटी दिशा में नहीं चलता। किसी कोण का आधा उन सब कोणों में साझा होता है जो उससे पूरा चक्कर दूर हैं, और सिर्फ़ उन्हीं में, इसलिए 15.00 पढ़कर यह बताया नहीं जा सकता कि मूल कोण तीस था या तीन सौ नब्बे या सात सौ पचास — तीनों यही जवाब देते हैं। और आधे कोण का आँकड़ा हमेशा शून्य से एक सौ अस्सी के बीच बताया जाता है, इसलिए जो आधा उस पट्टी से बाहर पड़े, उसका मूल यहाँ से निकाला ही नहीं जा सकता।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
- क्या आधे कोण का sine, कोण के sine का आधा होता है?
- नहीं, और यही वह ग़लती है जिसके इर्द-गिर्द यह पेज बना है। तीस डिग्री का sine 0.5 है, इसलिए उसका आधा 0.25 बनता है — पर पंद्रह डिग्री का sine 0.2588 है। दोनों आँकड़े इतने क़रीब हैं कि ग़लत जवाब भी ठीक लगता है, और इसीलिए यह पेज सही जवाब चरणों के साथ छापता है। आधे कोण का sine असल में एक में से पूरे कोण का cosine घटाकर, उसे दो से भाग देकर, और फिर उसका वर्गमूल लेकर मिलता है — यानी cosine का वर्गमूल, sine का कोई हिस्सा नहीं।
- आधे कोण की तीनों सर्वसमिकाएँ क्या हैं?
- आधे कोण का sine, एक में से पूरे कोण का cosine घटाकर दो से भाग देने पर जो मिले उसका वर्गमूल होता है। आधे कोण का cosine वही वर्गमूल है, बस अंदर घटाने के बजाय जोड़ना होता है। आधे कोण का tangent तीन तरह से लिखा जा सकता है — एक में से cosine बटा sine, या sine बटा एक जोड़ cosine, या एक में से cosine बटा एक जोड़ cosine का वर्गमूल — और तीनों एक ही आँकड़ा देते हैं। भिन्न वाले रूप आम तौर पर ज़्यादा काम के हैं, क्योंकि उनमें वर्गमूल लेना ही नहीं पड़ता।
- ऋणात्मक कोण का आधा ऋणात्मक क्यों नहीं आता?
- क्योंकि कोण को आधा करने से पहले सीमा में लाया जाता है, बाद में नहीं। माइनस तीस डिग्री तीन सौ तीस डिग्री है, और तीन सौ तीस का आधा एक सौ पैंसठ होता है। पहले आधा करने पर माइनस पंद्रह मिलता, जो एक असली कोण है, पर वह उस पट्टी में नहीं है जिसमें यह पेज जवाब बताता है, और वह पेज के बाक़ी हिसाब से भी मेल नहीं खाता। जवाब हमेशा ऊपरी आधे वृत्त वाला कोण होता है।
- पेज एक सौ अस्सी डिग्री पर इनकार क्यों कर देता है?
- क्योंकि एक सौ अस्सी का आधा नब्बे बनता है, और नब्बे डिग्री का tangent होता ही नहीं। नब्बे पर sine और cosine बिल्कुल ठीक हैं — एक और शून्य — पर पेज tangent भी बताता है, और अधूरा जवाब पूरा बताकर देने से बेहतर है कि जवाब ही न दिया जाए। यही इनकार पाँच सौ चालीस पर और माइनस एक सौ अस्सी पर भी लगता है, जो एक सौ अस्सी जैसे ही कोण हैं, और उनसे पूरा चक्कर दूर बैठे हर कोण पर भी।
- यह द्विगुण कोण के सूत्रों से किस तरह अलग है?
- वे तीनों वही संबंध हैं, बस उलटी दिशा में पढ़े हुए। द्विगुण कोण का सूत्र एक कोण से शुरू करता है और उसके दुगुने का sine, cosine तथा tangent देता है; आधे कोण का सूत्र एक कोण से शुरू करके उसके आधे पर तीनों अनुपात देता है। जो फ़र्क़ असल में मायने रखता है वह काटने की जगह है। दुगुना करने पर कोण पूरे अंकों पर ही रहते हैं, इसलिए तीस का दुगुना ठीक साठ होता है; आधा करने पर कोण अक्सर तालिका से बाहर चला जाता है, इसलिए तीस का आधा पंद्रह है और उसके तीनों अनुपात अपरिमेय निकलते हैं।
- क्या कोण रेडियन में भरा जा सकता है?
- हाँ — ख़ाने के बग़ल में इकाई चुनने की सूची है, और आधा कोण हर हाल में डिग्री में बताया जाता है, क्योंकि उसी ख़ाने की घोषित इकाई वही है। π का छठा हिस्सा और तीस डिग्री एक ही कोण हैं और एक ही चार आँकड़े देते हैं। ध्यान देने की एक बात यह है कि इकाई उस कोण पर लागू होती है जो आप भरते हैं, आधे पर नहीं — आधा हमेशा डिग्री में दिखाया जाता है।
संदर्भ
- Half-Angle Formulas — the three identities this page applies, with the sign questions the page resolves by keeping the half in the upper half of the circle — Wolfram MathWorld (United States)
- Double-Angle Formulas — the same relations read the other way, and the page these identities are usually met from first — Wolfram MathWorld (United States)
- Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
- Sine, Cosine and Tangent — the ratios in a right triangle, from first principles — Math is Fun (United Kingdom)