Calculatrice de triangle rectangle

a² + b² = c² A + B = 90° sin A = a ÷ c tan A = a ÷ b aire = a × b ÷ 2 périmètre = a + b + c

a, b

Les deux côtés de l’angle droit, ceux qui se rencontrent au sommet droit. La page ramène toute entrée à ces deux-là avant de calculer quoi que ce soit d’autre, un cas parti d’une hypoténuse et d’un angle est donc d’abord converti en deux côtés de l’angle droit

c

L’hypoténuse, le côté qui fait face à l’angle droit et toujours le plus long. C’est le résultat principal de la page, et elle est toujours recalculée plutôt qu’en écho — même lorsque c’est vous qui l’avez saisie

A, B

Les deux angles aigus. A est celui qui fait face au côté a et B celui qui fait face au côté b ; chacun est compris entre zéro et quatre-vingt-dix degrés, et ensemble ils forment ce qui reste des cent quatre-vingts degrés du triangle

Prenez cette page quand vous connaissez deux mesures d’un triangle rectangle et que vous voulez le reste : deux côtés de l’angle droit, un côté et l’hypoténuse, ou un côté accompagné de l’un des deux angles aigus. C’est la calculatrice de triangle rectangle à tout faire, et elle diffère de la page du théorème de Pythagore par ce qu’elle met en tête — cette page-là répond à la question plus étroite du côté manquant, tandis que celle-ci répond du triangle entier et place l’hypoténuse en haut, quels que soient les deux champs remplis. Elle diffère aussi de la page du triangle, qui est la même idée sans l’angle droit : celle-là demande deux côtés plus l’angle entre eux, et celle-ci tire beaucoup plus des deux mêmes nombres parce que l’angle droit est une troisième donnée gratuite. Un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit sont égaux est le cas isocèle, et cette page-là imprime la même figure décrite dans ses propres termes.

1. Deux côtés de l’angle droit, 3 et 4

   1. Les deux côtés de l’angle droit sont donnés, le théorème de Pythagore donne donc l’hypoténuse : 9 plus 16 font 25, et la racine carrée de 25 vaut 5
   2. L’angle A fait face au côté de longueur 3, sa tangente vaut donc 3 sur 4, ce qui fait 36,87 degrés
   3. L’angle B est ce qui reste de quatre-vingt-dix degrés, il vaut donc 53,13
   4. L’aire est la moitié de trois fois quatre, et le périmètre est la somme des trois côtés

   Le triangle avec lequel la page se charge, et le plus petit des triangles rectangles à côtés entiers — le même que celui autour duquel la page du théorème de Pythagore est construite, les deux s’accordent donc jusqu’à la dernière décimale sur l’hypoténuse, l’aire et le périmètre. Remarquez que les deux côtés de l’angle droit figurent dans la sortie alors qu’ils ont été saisis : le panneau imprime toujours les sept quantités, et la promesse de résoudre le triangle entier en est la raison. Les deux angles sont entre zéro et quatre-vingt-dix, et ils totalisent exactement quatre-vingt-dix plutôt que 89,99, parce que le second est calculé comme le reste.

2. Un côté de l’angle droit et l’hypoténuse, 6 et 10

   1. L’hypoténuse et un côté de l’angle droit sont donnés, l’autre côté est donc la racine carrée de dix au carré moins six au carré
   2. Cent moins trente-six font soixante-quatre, dont la racine carrée vaut 8
   3. Les angles suivent des côtés : la tangente de A vaut 6 sur 8
   4. Les trois côtés sont maintenant connus, l’aire et le périmètre relèvent donc de l’arithmétique

   L’autre côté de l’angle droit sort du même théorème lu à l’envers : cent moins trente-six font soixante-quatre, et la racine carrée de soixante-quatre vaut huit. C’est le cas où le théorème de Pythagore fait une soustraction plutôt qu’une addition, et c’est aussi celui qui échoue quand les deux champs sont remplis dans le mauvais ordre — une hypoténuse plus courte qu’un côté de l’angle droit n’a pas de solution, et la page le dit plutôt que de renvoyer un nombre. Les angles correspondent exactement à la ligne trois-quatre-cinq, parce que six-huit-dix est ce triangle doublé.

3. Un côté de l’angle droit et l’angle qui lui fait face, 3 et 30 degrés

   1. L’angle A fait face au côté a, le sinus de trente degrés relie donc ce côté à l’hypoténuse : le côté vaut l’hypoténuse fois un demi
   2. L’hypoténuse vaut donc le double du côté, soit 6
   3. L’autre côté de l’angle droit est le côté sur la tangente de trente degrés, soit environ 5,2
   4. L’angle B est ce qui reste de quatre-vingt-dix, il vaut donc 60

   C’est le triangle 30-60-90, celui dont les côtés sont dans le rapport un à racine de trois à deux, et c’est la ligne qui montre quel angle est lequel : A fait face au côté que vous avez donné, le côté de longueur 3 est donc celui qui fait face à l’angle de trente degrés et c’est le plus court. Saisissez le même côté avec l’angle B égal à soixante et tous les nombres ressortent identiques — les deux angles décrivent la même forme, et ce couple est la vérification que la page fait elle-même de sa correspondance. Le côté, l’aire et le périmètre sont arrondis à deux décimales, 5,196 s’affiche donc 5,2.

4. L’hypoténuse et un angle, 10 et 30 degrés

   1. L’hypoténuse étant connue, le côté faisant face à trente degrés vaut l’hypoténuse fois le sinus de trente, soit 10 fois un demi
   2. L’autre côté de l’angle droit vaut l’hypoténuse fois le cosinus de trente, soit environ 8,66
   3. Les angles sont déjà connus : trente et son complément soixante
   4. L’aire est la moitié de cinq fois 8,66, et le périmètre est la somme des trois côtés

   La même forme que la ligne précédente en deux fois plus grand — les côtés sont 5, 8,66 et 10 contre 3, 5,2 et 6, et leur rapport est partout le même, ce qui est exactement ce que signifie avoir les mêmes angles. Remarquez que l’hypoténuse est imprimée alors que vous l’avez saisie : elle est recalculée à partir des côtés plutôt que reprise en écho, si bien que les trois côtés du panneau satisfont toujours exactement le théorème de Pythagore et ne peuvent jamais se contredire. L’arrondi à deux décimales est ce qui fait 8,66 plutôt que 8,6602.

Quatre choses à savoir. D’abord, exactement deux des cinq champs doivent être remplis, et ces deux-là ne doivent pas être tous les deux des angles. Un champ ne suffit pas, trois sont plus qu’il n’en faut, et la page distingue ces deux cas dans son message ; deux angles remplissent le compte et restent pourtant insolubles, parce que deux angles fixent la forme et ne disent rien de la taille. Le panneau lui-même ne marque pas les champs qu’il attend, ce compte est donc à votre charge. Deuxièmement, les deux angles aigus sont acceptés mais ni l’un ni l’autre ne peut valoir zéro ou quatre-vingt-dix, parce que les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont strictement entre ces valeurs ; un côté nul est refusé pour la même raison, un triangle dégénéré n’ayant ni aire ni périmètre qui vaillent la peine d’être imprimés. Troisièmement, la page rend des centimètres et des centimètres carrés quelle que soit l’unité saisie — un côté entré en pieds est converti avant que le triangle soit résolu, et les réponses reviennent en centimètres. Quatrièmement, deux des sept lignes de sortie sont en général des échos de votre propre entrée, aussi voir ressortir le côté que vous venez de saisir n’est pas la page qui échoue à calculer ; la valeur imprimée a traversé la conversion d’unité et l’arrondi, et ce sont les autres lignes qui portent l’information nouvelle.

Combien des cinq champs dois-je remplir ?

Exactement deux. Deux quelconques parmi les trois côtés et les deux angles aigus suffisent à déterminer complètement un triangle rectangle, et un seul ne suffit pas — un côté seul laisse la forme libre et un angle seul laisse la taille libre. La page refuse aussi les trois, non parce que trois mesures seraient ambiguës mais parce que le message qu’il vous faut alors porte sur le compte et non sur l’arithmétique. Le seul couple qui remplit les deux champs et échoue quand même est celui des deux angles, qui fixent la forme et non la taille.

Pourquoi le panneau imprime-t-il le côté que j’ai saisi ?

Parce que la page promet le triangle entier plutôt que les parties que vous n’avez pas fournies. Sa liste de sorties est fixe, un côté saisi figure donc parmi les sept lignes avec tout le reste. La ligne semble n’avoir rien fait, mais la valeur a traversé la conversion d’unité et l’arrondi, et c’est dans les six autres lignes que se trouve l’information nouvelle. L’alternative — un panneau dont les lignes changeraient selon les champs remplis — serait plus difficile à lire, pas plus facile.

Quel angle est l’angle A ?

L’angle A est celui qui fait face au côté a ; l’angle B fait face au côté b. Si vous saisissez donc un côté de 3 et un angle de 30 degrés, la page lit le 3 comme le côté faisant face à cet angle de trente degrés, ce qui en fait le petit côté d’un triangle 30-60-90. Les deux angles aigus totalisent toujours exactement quatre-vingt-dix degrés, parce que l’angle droit prend les quatre-vingt-dix restants des cent quatre-vingts degrés du triangle, et la page calcule le second comme le reste plutôt que de le dériver séparément — c’est pourquoi ils n’arrondissent jamais à 89,99.

Dans quelles unités sont les réponses ?

Toujours en centimètres et en centimètres carrés, quelle que soit l’unité saisie. La page convertit votre entrée dans une unité commune avant de résoudre le triangle, et les sorties sont déclarées en centimètres, si bien qu’un côté saisi en pieds revient comme un nombre de centimètres. Les angles sont toujours en degrés pour la même raison : vous pouvez les saisir en radians ou en grades, mais le panneau rend des degrés.

Quelle est la différence entre cette page et celle du théorème de Pythagore ?

Cette page accepte plus d’entrées et rend plus de sorties. La page de Pythagore prend deux des trois côtés et répond à la question plus étroite du côté manquant ; celle-ci prend deux mesures quelconques parmi cinq — angles compris — et rend la figure complète, en tête de laquelle vient l’hypoténuse dans tous les cas. Les deux s’accordent exactement partout où elles se recouvrent, parce qu’elles travaillent sur le même triangle avec le même arrondi.

Pourquoi une hypoténuse plus courte qu’un côté est-elle refusée ?

Parce qu’un tel triangle n’existe pas. L’hypoténuse est le côté qui fait face à l’angle droit et c’est toujours le plus long des trois, elle doit donc être strictement plus grande que chacun des deux autres. Quand les deux champs sont remplis avec un côté et une hypoténuse et que l’hypoténuse est le plus petit nombre, les deux ont presque certainement été saisis dans le mauvais ordre, et la page le dit et propose de les échanger plutôt que de prendre la racine carrée d’un nombre négatif — ce qui ne donnerait aucune réponse du tout.

• Right Triangle — the five measurements, which combinations determine the triangle, and the identities that relate them — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — the relation between the three sides, with the converse and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Finding a Side in a Right-Angled Triangle — using the sine, cosine and tangent to solve for a side from one side and one angle — Math is Fun (United Kingdom)
• Pythagoras' Theorem — the theorem from first principles, with the converse and worked examples — Math is Fun (United Kingdom)