Calculatrice du théorème de Pythagore

a² + b² = c² c = √(a² + b²) a = √(c² − b²) b = √(c² − a²) Aire = ab ÷ 2 Périmètre = a + b + c

a

L’un des deux côtés de l’angle droit. N’importe lequel des deux peut s’appeler a, donc les deux cases de côté sont interchangeables : échanger les nombres entre elles ne change rien à la réponse

b

L’autre côté de l’angle droit. Lequel des deux vous remplissez et lequel vous laissez vide ne change rien au triangle ; la case étiquetée b est simplement celle que vous n’avez pas utilisée pour a

c

L’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit et le plus long des trois. C’est la seule case où l’erreur est facile, parce qu’elle ressemble à n’importe quelle autre case de côté : si la page vous dit que l’hypoténuse doit être plus longue que le côté fourni, c’est que les deux nombres ont été échangés

Le côté manquant

Le côté que vous avez laissé vide, calculé à partir des deux autres et affiché en premier puisque c’est la question que vous posiez. À noter qu’il peut s’agir d’un côté de l’angle droit comme de l’hypoténuse, selon la case laissée vide

Aire

La moitié du produit des deux côtés de l’angle droit, en centimètres carrés. Elle n’utilise que ces deux côtés : l’hypoténuse n’entre jamais dans l’aire d’un triangle rectangle, ce qui est utile à se rappeler quand on vérifie un résultat

Périmètre

Les trois côtés additionnés, en centimètres. Il est calculé à partir des longueurs non arrondies, si bien qu’additionner les deux nombres imprimés que vous avez saisis et le côté manquant imprimé peut donner un écart d’une unité sur le dernier chiffre

Deux décimales

La largeur d’affichage des trois sorties. Un côté qui sort d’une racine carrée est irrationnel, sauf si le triangle est justement un triplet à côtés entiers : pour la plupart des saisies, ces deux chiffres sont une coupe et non une fin

C’est la bonne page chaque fois qu’un angle droit intervient et qu’une longueur manque. Une échelle contre un mur, où les deux côtés que vous pouvez mesurer sont le mur et le sol et où l’échelle est l’hypoténuse. Un champ rectangulaire, où la diagonale est nécessaire pour une clôture et où les deux côtés sont déjà connus. Un toit, où la montée et l’avancée sont connues et où la longueur du chevron ne l’est pas. Un écran, dont on annonce la diagonale sans donner les deux côtés. Tout ce qui peut se ramener à un rectangle et à sa diagonale est un travail pour cette page. C’est aussi la page à ouvrir pour vérifier une distance calculée sur une grille de coordonnées : les pas horizontaux et verticaux entre deux points sont les côtés de l’angle droit, et la distance à vol d’oiseau entre eux est l’hypoténuse — c’est pourquoi la page de distance du même sous-groupe et celle-ci portent la même arithmétique sous deux déguisements. Deux habitudes rendent la réponse facile à croire. L’hypoténuse est toujours le plus long des côtés, donc un côté manquant qui sort plus long que l’hypoténuse que vous avez saisie signale que les deux cases ont été remplies à l’envers. Et le côté manquant est toujours plus court que la somme des deux autres, parce qu’une ligne droite entre deux points est plus courte que n’importe quel chemin qui passe par un troisième : un résultat qui viole l’une ou l’autre de ces bornes est faux, quelle que soit l’allure de l’arithmétique. Quand vous avez les trois côtés, l’aire vaut un coup d’œil comme contrôle : un triangle dont les côtés de l’angle droit mesurent trois et quatre couvre six unités carrées, et un triangle qui en couvre soixante a une virgule au mauvais endroit.

1. Côtés de trois et quatre

   1. L’hypoténuse manque, donc on additionne : 3² + 4² = 9 + 16 = 25
   2. On prend la racine carrée : √25 = 5
   3. Aire : (3 × 4) ÷ 2 = 6
   4. Périmètre : 3 + 4 + 5 = 12

   La saisie que la page charge au départ, et le plus petit triangle rectangle dont les trois côtés sont entiers. Chaque valeur ici est exacte, ce qui en fait le cas d’étalonnage : trois, quatre, cinq, une aire de six et un périmètre de douze, sans rien d’arrondi nulle part. Si vous ne devez retenir qu’un seul triangle rectangle, retenez celui-ci, car c’est le moyen le plus rapide de vérifier toute autre réponse dans les mêmes unités : neuf plus seize font vingt-cinq, et un résultat qui ne se ramène pas à cela s’est trompé quelque part.

2. Côtés de cinq et douze

   1. Hypoténuse : 25 + 144 = 169
   2. Racine carrée : √169 = 13
   3. Aire : (5 × 12) ÷ 2 = 30
   4. Périmètre : 5 + 12 + 13 = 30

   Le triplet à côtés entiers juste au-dessus, et une coïncidence à remarquer plutôt qu’à prendre pour une erreur : l’aire et le périmètre valent tous les deux trente. C’est une propriété de ce triangle-là et non une règle, et il est facile de se convaincre que ce n’en est pas une — le triangle trois quatre cinq ci-dessus a une aire de six et un périmètre de douze, qui ne sont pas égaux. L’aire d’un triangle rectangle est la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit tandis que le périmètre en est la somme, et les deux ne se rejoignent que lorsque les côtés satisfont une équation bien particulière.

3. Un côté et l’hypoténuse, le côté manquant

   1. Le côté manquant est un côté de l’angle droit, donc on soustrait : 10² − 6² = 100 − 36 = 64
   2. On prend la racine carrée : √64 = 8
   3. Aire : (6 × 8) ÷ 2 = 24
   4. Périmètre : 6 + 8 + 10 = 24

   La direction qui utilise la soustraction, et celle qui prend en défaut parce que les deux opérations ne diffèrent que par un signe. C’est le triangle trois quatre cinq doublé, ce qui explique que l’aire et le périmètre retombent sur le même nombre : doubler chaque côté quadruple l’aire et double le périmètre, et ici les deux se croisent. À la lecture, le côté manquant de 8 est plus court que l’hypoténuse de 10 et plus long que le côté de 6, ce qui est exactement sa place.

4. L’autre côté, à partir d’un autre couple

   1. Le côté manquant est un côté de l’angle droit, donc on soustrait : 169 − 144 = 25
   2. Racine carrée : √25 = 5
   3. Aire : (5 × 12) ÷ 2 = 30
   4. Périmètre : 5 + 12 + 13 = 30

   Le même triangle que le deuxième exemple, atteint par un autre couple de cases : c’est le contrôle que la page exerce sur elle-même. Le triangle cinq douze treize peut se résoudre soit à partir de ses deux côtés de l’angle droit, ce qui est le deuxième exemple, soit à partir d’un côté et de l’hypoténuse, ce qui est celui-ci, et les deux chemins doivent produire les trois mêmes côtés. À noter que la case laissée vide n’est pas la même : la réponse est de nouveau un côté de l’angle droit, mais c’est le côté a et non le côté b, et les nombres des deux cases de saisie ont été échangés par rapport à l’exemple précédent.

5. Les deux côtés égaux

   1. Hypoténuse : 1 + 1 = 2
   2. Racine carrée : √2 = 1,4142135…, ce qui s’arrondit à 1,41
   3. Aire : (1 × 1) ÷ 2 = 0,5
   4. Périmètre : 1 + 1 + 1,41421 = 3,41421…, ce qui s’arrondit à 3,41

   Le plus petit triangle rectangle isocèle, et la démonstration standard que la réponse n’est en général pas un nombre entier. L’hypoténuse d’un carré de côté un vaut la racine carrée de deux, un nombre qui ne se termine jamais et ne se répète jamais, et aucun triangle à côtés entiers n’a de rapport un pour un pour racine de deux — c’est précisément pourquoi les réponses de ce théorème doivent être arrondies. Le périmètre est la valeur intéressante ici : c’est la seule sortie qui dépende de l’hypoténuse non arrondie, et additionner vous-même les deux nombres imprimés au 1,41 imprimé donne la même valeur sur cette saisie, mais pas sur toutes.

6. Côtés de zéro virgule cinq et un virgule deux

   1. Hypoténuse : 0,25 + 1,44 = 1,69
   2. Racine carrée : √1,69 = 1,3
   3. Aire : (0,5 × 1,2) ÷ 2 = 0,3
   4. Périmètre : 0,5 + 1,2 + 1,3 = 3

   Un triplet à côtés entiers déguisé : zéro virgule cinq, un virgule deux et un virgule trois, c’est le triangle cinq douze treize avec chaque côté divisé par dix, donc la réponse est exacte et non arrondie malgré les décimales. Les triplets pythagoriciens se mettent à l’échelle, ce qui veut dire qu’il en existe une infinité et aussi qu’un triangle rectangle aux côtés décimaux d’apparence ingrate peut très bien tomber juste. Cela montre en outre qu’une réponse décimale n’est pas la même chose qu’une réponse arrondie — ce 1,3 est exact et le 1,41 de l’exemple précédent ne l’est pas, et la page n’a aucun moyen de vous dire lequel des deux vous regardez.

La page résout un côté et vous donne l’aire et le périmètre. Elle ne dit pas si les côtés forment un triplet pythagoricien, si le triangle est isocèle, ni quoi que ce soit d’autre sur la nature de ce triangle, et c’est une décision et non un oubli. La question de savoir si un jeu de côtés est un triplet pythagoricien ne peut pas être tranchée de façon fiable depuis cette page, parce que les nombres que reçoit le solveur ont déjà été convertis en centimètres : des côtés de trois et quatre pouces arrivent sous la forme 7,62 et 10,16, et le fait que le trois quatre cinq d’origine était un triplet à côtés entiers est une information que la conversion a déjà jetée. Un jugement qui changerait de réponse selon l’unité choisie par l’utilisateur serait pire que pas de jugement du tout : la page se taît, et c’est un outil séparé qui est à sa place ici. Tout est donné en centimètres et en centimètres carrés quelles que soient les listes déroulantes, et la conversion a lieu avant que le triangle soit résolu et non après. L’élévation au carré n’est pas linéaire, donc ce n’est pas la même chose que de résoudre dans l’unité d’origine puis de convertir la réponse, et un triplet à côtés entiers saisi en pouces ne donnera pas des centimètres entiers. Le côté manquant sort d’une racine carrée et il est irrationnel pour presque toutes les saisies : les deux décimales sont donc une coupe et non une réponse complète, même si les données de départ peuvent être exactes. Le périmètre et l’aire sont calculés à partir des longueurs non arrondies, si bien que les reconstruire à partir des nombres imprimés à l’écran peut donner un écart d’une unité sur le dernier chiffre. Exactement deux des trois cases doivent être remplies : en remplir une seule est refusé parce que la figure n’est pas déterminée, et les remplir toutes les trois est refusé parce que les trois côtés se contraignent mutuellement et qu’un jeu qui se contredit ne décrit aucun triangle. Un côté de longueur nulle n’est pas accepté, contrairement au rayon de la page du cercle qui est voisine — un triangle avec un côté de longueur nulle n’existe pas, et son aire comme son périmètre n’auraient aucun sens. L’hypoténuse doit être strictement plus longue que le côté de l’angle droit fourni avec elle, et quand ce n’est pas le cas, la page vous demande d’échanger les deux nombres plutôt que d’afficher un code d’erreur ; ce message signifie que les deux cases ont été remplies à l’envers, ce qui est l’erreur la plus fréquente que cette figure attire. Enfin, il s’agit d’un triangle plan comportant un angle droit : les triangles obliquangles, et les triangles tracés sur une sphère, sortent de ce que dit le théorème.

Quelles deux cases dois-je remplir ?

N’importe lesquelles des trois. Les deux côtés de l’angle droit, ou un côté de l’angle droit et l’hypoténuse : les deux fonctionnent, et la page reconnaît le cas en regardant quelle case vous avez laissée vide. Ce qu’elle n’accepte pas, c’est une seule case ou les trois ensemble. Un seul côté ne détermine pas un triangle rectangle, il n’y aurait donc rien à résoudre ; et les trois le surdéterminent, puisque deux côtés fixent déjà le troisième et qu’un jeu qui se contredit n’a aucun triangle derrière lui.

Comment savoir s’il faut additionner ou soustraire ?

Cela dépend de la case laissée vide. Si c’est l’hypoténuse qui manque, on additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit et on prend la racine carrée. Si c’est un côté de l’angle droit qui manque, on soustrait le carré du côté connu au carré de l’hypoténuse et on prend la racine carrée de ce qui reste. La page tranche pour vous d’après la forme de la saisie, et c’est la principale raison de l’utiliser plutôt qu’une calculatrice : les deux cas ne diffèrent que par un signe, et les confondre est la façon classique d’obtenir une réponse fausse qui a l’air parfaitement plausible.

La page dit que l’hypoténuse doit être plus longue que le côté. Qu’ai-je fait de travers ?

Les deux nombres sont dans les mauvaises cases. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et c’est toujours le plus long des trois : elle ne peut donc jamais être plus courte qu’un côté de l’angle droit, ni égale à l’un d’eux. Échanger les deux valeurs corrige le problème. C’est l’erreur la plus fréquente de cette page parce que les deux cases se ressemblent — rien dans un champ de saisie ordinaire n’indique laquelle doit porter le grand côté, et un triangle de côtés 5, 5 et 3 n’existe pas.

Pourquoi le côté manquant a-t-il des décimales alors que j’ai saisi des nombres entiers ?

Parce que la racine carrée d’un nombre entier n’est en général pas un nombre entier. Les triangles rectangles à côtés entiers — trois quatre cinq, cinq douze treize, huit quinze dix-sept — existent vraiment et sont en nombre infini, mais ils ne représentent qu’une petite minorité de tous les triangles rectangles. Pour tout le reste, le côté manquant est un nombre irrationnel et les deux décimales affichées sont l’endroit où il a été coupé. Une réponse de 7,62 est une approximation ; une réponse de 8 est exacte.

La page me dit-elle si mon triangle est un triplet pythagoricien ?

Non, et elle ne l’essaie délibérément pas. Au moment où l’arithmétique s’exécute, les longueurs ont déjà été converties en centimètres : un triangle saisi comme trois et quatre pouces arrive au solveur sous la forme 7,62 et 10,16, et l’information disant si les côtés d’origine étaient entiers a disparu avant même que la question puisse être posée. Un contrôle qui donnerait des réponses différentes selon l’unité choisie serait pire que pas de contrôle du tout : la page résout le côté et laisse la classification à un outil séparé.

L’aire est-elle égale au périmètre ?

Seulement par coïncidence, et la table de cette page en contient justement une : un triangle cinq douze treize a une aire de trente centimètres carrés et un périmètre de trente centimètres. Ce sont deux grandeurs de nature différente et l’égalité ne porte que sur les chiffres. L’aire d’un triangle rectangle est la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit, le périmètre est la somme des trois côtés, et les deux se trouvent coïncider pour ce triangle et pour une poignée d’autres. Le triangle trois quatre cinq, deux lignes plus haut, affiche une aire de six contre un périmètre de douze.

L’un des côtés peut-il valoir zéro ?

Non. Un triangle dont un côté est de longueur nulle n’est pas un triangle — les trois points seraient alignés ou confondus, et l’aire comme le périmètre perdraient toute signification. C’est une vraie différence avec la page du cercle du même sous-groupe, où un rayon de zéro est une saisie légitime décrivant un cercle réduit à un point. Un côté de zéro est refusé ici au niveau du champ lui-même, et une longueur négative est refusée de la même façon.

• Pythagorean theorem — the relation between the legs and the hypotenuse of a right triangle, with the history the introduction draws on: use in Babylonian calculations more than a millennium before Pythagoras, early Indian and Chinese sources, and the Zhoubi Suanjing dissection argument in which pieces around a central square establish the relation between the three side squares (Dauben 2007, Maor 2007) — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean triple — the whole-number side sets such as 3, 4, 5 that the page produces but deliberately does not identify, and the reason they are the exception rather than the rule — Wolfram MathWorld (United States)
• Right triangle — the shape the page solves, with the hypotenuse defined as the side opposite the right angle and therefore the longest of the three — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; le théorème de Pythagore et sa réciproque relèvent du programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部