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CalcMax

Calculatrice de distance

Intervalle : -1 000 000 000 – 1 000 000 000

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Résultat

5,0000

Distance

Variation de x (Δx)
3,0000
Variation de y (Δy)
4,0000

Une calculatrice de distance donne la distance en ligne droite entre deux points : la longueur du segment qui les joint, mesurée à vol d’oiseau et non le long d’un chemin que l’on parcourrait. Saisissez les deux points, quatre nombres en tout, et la réponse revient à quatre décimales. Derrière se tient la formule de la distance, qui est le théorème de Pythagore habillé en coordonnées. Abaissez une horizontale depuis un point et une verticale depuis l’autre : elles se rencontrent en un coin et forment un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont les variations de coordonnées et dont l’hypoténuse est la distance demandée. Pour les points (0, 0) et (3, 4), ces deux côtés valent 3 et 4, donc la distance est √(9 + 16), soit exactement 5. Ce triangle explique pourquoi la page imprime trois nombres au lieu d’un. Les deux côtés reviennent sous forme de variation horizontale et de variation verticale entre les points, et ils constituent le calcul intermédiaire : la réponse est la racine carrée de la somme de leurs carrés, et avec les deux à l’écran vous pouvez suivre l’arithmétique sans en faire une seule ligne vous-même. Ils sont aussi signés, ce qui surprend la première fois. La variation verticale est négative chaque fois que le second point est plus bas que le premier, parce qu’il s’agit d’un écart orienté et non d’une distance : la page garde délibérément le signe au lieu de prendre une valeur absolue, car le signe est la seule chose qui dise de quel côté se trouve le second point, et c’est précisément ce dont un calcul de pente aurait besoin ensuite. Deux limites valent la peine d’être connues avant de se fier à la réponse. Cette page mesure des distances dans un plan, et uniquement dans un plan. Il n’y a pas de case pour une troisième coordonnée, parce qu’une page à champs z facultatifs devrait inventer une réponse au cas où un point aurait un z et pas l’autre, et les deux autres pages de coordonnées de cette famille — le milieu et l’extrémité — auraient alors une forme différente de celle-ci sans qu’aucun lecteur puisse en voir la raison. Si vos points sont dans l’espace, vous pouvez toujours utiliser la page deux fois, mais il vous faudra ajouter vous-même le troisième côté. Et les coordonnées ne portent aucune unité. Quelle que soit votre unité de mesure, la réponse est dans la même : des mètres si vos nombres sont des mètres, des kilomètres si ce sont des kilomètres, des carreaux de papier si vous les avez relevés sur un graphique. La page ne convertira rien et ne peut pas vous avertir qu’un point est en mètres et l’autre en millimètres.

Les distances entre points qui reviennent souvent

x du point 1y du point 1x du point 2y du point 2Variation de x (Δx)Variation de y (Δy)Distance (en unités)
0034345
1258467.2111
0011111.4142
2.5-1.52.5-1.5000
-347-210-611.6619
0010010010
3400-3-45
00600000080000006000000800000010000000

Huit couples de points, avec deux colonnes de calcul intermédiaire et la réponse dans la dernière. Commencez par la première ligne, qui est la saisie chargée par défaut : les variations valent 3 et 4 et la distance exactement 5, le plus petit triangle rectangle dont les côtés sont entiers. La deuxième ligne est le même genre de diagonale sans l’exactitude — des variations de 4 et de 6, une distance de 7,2111 et une racine carrée qui ne s’arrête jamais. La troisième ligne est une diagonale de un et un, dont la distance est la racine carrée de deux et s’imprime 1,4142, à savoir par cœur parce que c’est la plus courte distance irrationnelle qui existe. La quatrième ligne est deux fois le même point, une distance nulle. La cinquième est celle à étudier si les signes continuent de vous piéger : le second point est loin à droite et en dessous du premier, donc la variation horizontale vaut dix et la variation verticale moins six, et la distance de 11,6619 ressort positive malgré tout. La sixième ligne court à plat le long de l’axe des x, si bien que la variation verticale est nulle et que la distance se réduit à la variation horizontale. La septième ligne est le segment trois quatre cinq mesuré à l’envers, de (3, 4) vers l’origine, ce qui rend les deux variations négatives tout en laissant la distance à 5 — et la huitième est le même triangle multiplié par deux millions, ce qui montre que de grandes coordonnées n’introduisent aucun arrondi qui leur soit propre. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (7.2111 plutôt que 7,2111), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

Distance = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) Variation de x = x₂ − x₁ Variation de y = y₂ − y₁

Premier point
Un x et un y : le point depuis lequel vous mesurez. Ses coordonnées sont de simples nombres, donc elles peuvent être négatives, fractionnaires ou nulles, et il n’y a aucune unité à choisir
Second point
Le point jusqu’auquel vous mesurez, avec les mêmes règles. Il peut se trouver dans n’importe quelle direction par rapport au premier, y compris exactement au-dessus, au-dessous, à gauche ou à droite
Variation de x (Δx)
Le premier x retranché du second : c’est le pas latéral d’un point à l’autre. Une valeur négative signifie que le second point se trouve à gauche du premier, et c’est le même nombre qu’un calcul de pente utiliserait comme déplacement horizontal
Variation de y (Δy)
Le premier y retranché du second, le pas vertical entre les points. Une valeur négative signifie que le second point est plus bas. Avec la variation horizontale, elle forme un triangle rectangle dont la distance est l’hypoténuse
Distance
La racine carrée de la somme des deux variations élevées au carré. Elle n’est jamais négative, elle n’est nulle que lorsque les deux points coïncident, et comme c’est le plus souvent une racine carrée, elle est arrondie à quatre décimales

À utiliser chaque fois que l’on a deux points et que l’on veut l’écart entre eux sans se soucier de son orientation. La distance entre deux références sur une carte, la longueur d’une clôture entre deux poteaux, la longueur de câble nécessaire pour traverser une pièce en diagonale, la distance d’une livraison depuis un dépôt lorsque le trajet est une ligne droite et non une route. C’est aussi le contrôle auquel on recourt quand un calcul plus long a mal tourné : deux résultats que l’on peut placer dans un plan se mesurent l’un par rapport à l’autre, et une distance qui sort d’un ordre de grandeur est le signe d’une erreur de signe quelque part en amont. Les deux variations rendent service dans un autre ensemble de tâches. Si vous avez besoin de savoir quelle part de l’écart est latérale et quelle part est verticale, elles répondent directement, et elles répondent avec des signes : elles donnent donc la direction autant que la grandeur. C’est exactement ce qu’il faut avant de calculer une pente, un angle ou un relèvement — la page de la distance ne vous donnera aucun des trois, mais elle vous tend les deux nombres à partir desquels ils se construisent tous. Une habitude de travail qui vaut la peine : élevez les deux variations au carré de tête avant de lire la réponse. Neuf plus seize font vingt-cinq, donc une distance de 5 est juste, tandis qu’une distance de 50 signalerait une virgule mal placée plutôt qu’un résultat surprenant. Et si vos points viennent d’un repère cartésien tracé sur un graphique, les deux variations se lisent directement sur le quadrillage.

Exemples détaillés

  1. Trois en travers et quatre vers le haut

    1. Variation horizontale : 3 − 0 = 3
    2. Variation verticale : 4 − 0 = 4
    3. Élevez les deux au carré : 9 et 16
    4. Additionnez et prenez la racine carrée : √25 = 5

    Le couple chargé par défaut, et le plus petit triangle rectangle dont les trois côtés sont des nombres entiers. Deux choses méritent d’être remarquées. Les deux variations sont les nombres que vous avez saisis, ce qui n’arrive que lorsque l’un des points est à l’origine, et la distance est exacte plutôt qu’une racine carrée arrondie, ce qui est rare sur cette page. Servez-vous de cette saisie comme d’un étalonnage : si la page renvoie 5 ici, l’arithmétique est saine et toute réponse d’apparence étrange ailleurs tient à la saisie et non à un défaut.

  2. Une diagonale dont la distance est une racine carrée arrondie

    1. Variation horizontale : 5 − 1 = 4
    2. Variation verticale : 8 − 2 = 6
    3. Élevez les deux au carré : 16 et 36
    4. Additionnez : 52, puis prenez la racine carrée, qui vaut 7,21110255… et s’arrondit à 7,2111

    Le cas ordinaire plutôt que le cas bien rangé. Cinquante-deux n’est pas un carré parfait, la réponse est donc irrationnelle et les quatre chiffres imprimés en sont le début plutôt que la totalité. Une vérification utile et gratuite : la distance doit être plus longue que chacune des deux variations, donc 7,2111 face à des variations de 4 et de 6 est plausible, tandis qu’une distance plus courte que la plus grande des deux signifierait que la racine carrée a été appliquée à la mauvaise grandeur.

  3. Les deux mêmes points mesurés dans l’autre sens

    1. Variation horizontale : 0 − 3 = −3
    2. Variation verticale : 0 − 4 = −4
    3. Élevez les deux au carré : 9 et 16, car le carré efface les signes
    4. Additionnez et prenez la racine carrée : √25 = 5

    Le segment trois quatre cinq avec ses extrémités échangées, et la démonstration la plus claire de deux propriétés à la fois. Les deux variations deviennent négatives parce que les deux différences sont maintenant mesurées dans l’autre sens, tandis que la distance reste à 5, parce que le carré jette les signes avant qu’ils puissent nuire. C’est toute la raison pour laquelle la distance est toujours positive : c’est une longueur, et le sens dans lequel elle a été mesurée n’entre jamais dans le calcul.

  4. Une distance mesurée en millions

    1. Variation horizontale : six millions moins zéro = six millions
    2. Variation verticale : huit millions moins zéro = huit millions
    3. Élevez les deux au carré et additionnez : 3,6 × 10¹³ plus 6,4 × 10¹³ font 10¹⁴
    4. Prenez la racine carrée : dix millions

    Le triangle trois quatre cinq multiplié par deux millions, ce qui arrive lorsque les mêmes coordonnées servent à une grille cartographique projetée en mètres plutôt qu’à un graphique sur papier. Rien sur la page ne change avec la taille des nombres — les deux variations sont aussi exactes que les entrées et la distance tombe juste —, et cette ligne est là pour le montrer, car un lecteur qui attend d’un grand nombre qu’il introduise des arrondis se méfierait sinon d’une réponse exacte.

  5. Deux points qui sont le même point

    1. Variation horizontale : 2,5 − 2,5 = 0
    2. Variation verticale : (−1,5) − (−1,5) = 0
    3. Élevez les deux au carré : 0 et 0
    4. Additionnez et prenez la racine carrée : √0 = 0

    Une distance nulle est la bonne réponse pour un point et lui-même, et c’est la seule saisie qui puisse en produire une, puisque la somme de deux carrés n’est nulle que lorsque les deux carrés le sont. La page ne traitera pas cela comme un résultat vide. Cela vaut la peine de le voir une fois, pour qu’un zéro dans la première colonne ne se lise pas comme un champ resté vide.

Limites

Cette page mesure dans un plan, et uniquement dans un plan. Il n’y a pas de case pour une troisième coordonnée : la distance entre deux points de l’espace lui est donc hors de portée, car il faudrait aussi la différence sur le troisième axe, et cette page n’a nulle part où la mettre. Une page à champs z facultatifs a été envisagée puis écartée, parce qu’un point avec un z et l’autre sans n’a pas de réponse sensée et que les deux pages de coordonnées voisines auraient dû recevoir les mêmes champs pour rester cohérentes. Les coordonnées sont sans unité, donc la réponse est dans l’unité que vous avez utilisée, et la page ne peut pas repérer un couple mixte — si un point est en mètres et l’autre en millimètres, l’arithmétique tournera allègrement et renverra un nombre faux, sans que rien ne le signale. Les deux variations sont des différences orientées et non des distances, si bien qu’une variation négative à l’affichage est correcte et non une erreur à corriger. La distance elle-même est arrondie à quatre décimales et elle est le plus souvent irrationnelle : la valeur imprimée marque donc l’endroit où les chiffres s’arrêtent, et non la réponse entière. Les coordonnées sont limitées à plus ou moins un milliard, ce qui dépasse largement tout graphique mais reste bien à l’intérieur de certains systèmes de coordonnées projetées exprimés en mètres, et la page refusera ces valeurs plutôt que de les calculer. Enfin, il s’agit d’une distance en ligne droite et non d’un itinéraire : s’il faut suivre des routes, des murs ou un littoral, le nombre donné ici est le chemin le plus court possible et sera toujours plus court que celui que vous pouvez réellement parcourir.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que la formule de la distance ?
C’est le théorème de Pythagore avec des coordonnées dedans. Prenez la différence entre les deux valeurs de x et la différence entre les deux valeurs de y, élevez chacune au carré, additionnez et prenez la racine carrée. Les deux différences sont les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle et la distance en est l’hypoténuse : la formule n’est donc pas une règle séparée à mémoriser, c’est la règle du triangle appliquée aux pas entre les points. Pour (0, 0) et (3, 4), cela donne √(9 + 16), soit 5.
Pourquoi les deux colonnes supplémentaires sont-elles parfois négatives ?
Parce que ce sont des pas orientés et non des écarts, et qu’un pas a un sens. La variation horizontale est le premier x retranché du second : elle est donc négative exactement lorsque le second point se trouve à gauche du premier, et la variation verticale est négative lorsque le second point est plus bas. La page garde le signe à dessein. C’est la seule chose qui dise de quel côté se trouve le second point, c’est ce dont un calcul de pente ou de relèvement a besoin ensuite, et la distance elle-même ignore complètement les signes puisque le carré les efface.
Cela fonctionne-t-il pour des points dans l’espace ?
Non, et la page ne prétend pas le contraire — il n’y a aucune case de troisième coordonnée à remplir. Une distance en trois dimensions demande aussi la différence sur le troisième axe, ajoutée à la somme des carrés avant la racine, et avec deux coordonnées seulement la page devrait supposer une valeur pour la troisième. Si vos points sont dans l’espace, vous pouvez calculer la distance en deux dimensions avec cette page puis la combiner vous-même avec la différence de hauteur, mais la page ne fera pas cette étape à votre place.
Les coordonnées sont-elles en mètres, en centimètres, autre chose ?
Dans l’unité que vous décidez. La page les traite comme de simples nombres, n’attache aucune unité à la réponse et ne propose aucun menu pour en choisir une, et c’est délibéré : un couple de coordonnées venu d’un graphique ou d’une grille cartographique n’a pas d’unité tant que l’on n’a pas décidé dans quoi la grille était tracée. Si vos nombres sont en mètres, la distance est en mètres ; s’ils sont en degrés de longitude, la distance est en degrés, et cette dernière ne se convertit pas en kilomètres sans savoir où l’on se trouve sur le globe.
La distance peut-elle être négative ou nulle ?
Elle ne peut pas être négative, parce que le carré des deux pas efface les signes avant l’addition et qu’une racine carrée d’un nombre positif ou nul n’est jamais négative. Elle n’est nulle que lorsque les deux pas sont nuls, c’est-à-dire lorsque les deux points sont le même point — une vraie réponse et non un calcul raté. Tout autre couple de points distincts donne une distance positive, aussi proches soient-ils.
Comment vérifier la réponse sans calculatrice ?
Élevez les deux pas au carré, additionnez-les, puis demandez-vous quel nombre, élevé au carré, donne ce total. Quatre et six donnent 16 plus 36, soit 52, et 7,2111 au carré vaut à peu près 52 : la réponse est donc dans la bonne région même si 52 n’est pas un carré parfait. Deux propriétés rendent le contrôle rapide : la distance est toujours plus longue que chacun des deux pas, puisque l’hypoténuse d’un triangle rectangle en est le plus grand côté, et elle est toujours plus courte que leur somme. Tout résultat hors de ces bornes est faux.

Références

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