Calculatrice d’extrémité manquante

Autre extrémité x = 2 × (milieu x) − (extrémité connue x) Autre extrémité y = 2 × (milieu y) − (extrémité connue y) Demi-longueur = √((x connue − milieu x)² + (y connue − milieu y)²)

Milieu

Une abscisse et une ordonnée pour le point situé au milieu du segment. Il vous est donné plutôt que calculé, il doit donc être le vrai milieu du segment auquel vous pensez — la page n’a aucun moyen de vérifier qu’il l’est

Extrémité connue

Le bout que vous avez déjà. Ce doit être l’une des deux extrémités et non un autre point du segment, puisque la règle suppose qu’il se trouve exactement aussi loin du milieu que la réponse

Autre extrémité

La réponse, une coordonnée par axe, chacune arrondie à quatre décimales. Elle se trouve à la même distance du milieu que l’extrémité connue, mais du côté opposé : elle tombe donc en général en dehors de l’intervalle des nombres que vous avez saisis

Demi-longueur

La distance de l’extrémité connue au milieu, calculée directement à partir de ces deux points. C’est le contrôle que la page exerce sur elle-même : l’extrémité retrouvée doit se situer à la même distance du milieu, et c’est la comparaison de ce nombre avec votre propre mesure qui fait apparaître un signe inversé

Quatre décimales

La largeur avec laquelle chaque nombre est écrit, zéros de queue compris. Les coordonnées entières s’affichent tout de même avec quatre zéros après la virgule, ce qui est un choix d’affichage et non une prétention de précision

Le travail évident consiste à terminer une forme : vous avez le centre de quelque chose et un bord, et il vous faut le point exactement opposé. Le centre d’un cercle et une extrémité d’un diamètre donnent l’autre extrémité de ce diamètre, ce qui est le même problème dit autrement. Un géomètre qui a planté un piquet au milieu d’un tracé et qui sait où un bout a atterri veut l’autre bout, et c’est exactement cette page. Cela se présente aussi en dessin : le milieu d’une ligne et une extrémité sont connus, et il faut le bout opposé pour placer un miroir ou un élément symétrique. Il existe un second usage, moins évident et souvent plus précieux : la vérification. Prenez un segment, déterminez son milieu, saisissez-le ici avec une extrémité, et la page devrait vous rendre l’autre extrémité. Si elle ne le fait pas, c’est que le milieu était faux ou que le segment n’est pas droit, et dans les deux cas vous avez appris quelque chose qui valait la peine d’être su avant de bâtir dessus. La ligne de la demi-longueur est la version la plus rapide de ce contrôle, car une forme dont les deux moitiés ne s’accordent pas n’est pas symétrique par rapport au point que vous croyiez être son milieu. Une habitude rend la réponse beaucoup plus digne de confiance : avant de lire le résultat, demandez-vous de quel côté du milieu le nouveau point doit se trouver. La réponse est toujours le côté opposé à l’extrémité que vous avez saisie, et un résultat du même côté que l’extrémité connue est une erreur de signe et non une surprise.

1. Le couple par défaut, c’est-à-dire la page du milieu lue à l’envers

   1. Doublez l’abscisse du milieu : 3 × 2 = 6, puis retranchez l’abscisse connue : 6 − 1 = 5
   2. Doublez l’ordonnée du milieu : 5 × 2 = 10, puis retranchez l’ordonnée connue : 10 − 2 = 8
   3. L’autre extrémité est (5 ; 8)
   4. Demi-longueur : l’écart de (1 ; 2) à (3 ; 5) vaut √(4 + 9) = √13 = 3,6056

   Le même segment que celui avec lequel la page du milieu se charge, parcouru dans l’autre sens : donnez à cette page-là (1 ; 2) et (5 ; 8), elle rend (3 ; 5), et c’est là que celle-ci commence. L’accord entre les deux pages est le contrôle le moins coûteux qui soit que ni l’une ni l’autre n’a de signe inversé, et il vaut pour n’importe quel couple et pas seulement pour celui-ci. La demi-longueur de 3,6056 est le même nombre que celui qu’affiche la page du milieu pour le même segment, et ce n’est pas une coïncidence — c’est le même écart mesuré entre la même paire de points.

2. L’autre bout d’un segment dont le milieu est à l’origine

   1. Doublez l’abscisse du milieu : 0 × 2 = 0, puis retranchez l’abscisse connue : 0 − 3 = −3
   2. Doublez l’ordonnée du milieu : 0 × 2 = 0, puis retranchez l’ordonnée connue : 0 − 4 = −4
   3. L’autre extrémité est (−3 ; −4)
   4. Demi-longueur : l’écart de (3 ; 4) à l’origine vaut √(9 + 16) = 5

   Un milieu à l’origine réduit la règle à un changement de signe, et c’est le cas le plus net pour voir ce que fait la page : la réponse est le symétrique de l’extrémité connue par rapport au milieu. Avec plusieurs zéros dans l’entrée, un signe se perd aussi très facilement, ce qui en fait la saisie à essayer quand un résultat paraît faux — la réponse y est forcée et il n’y a rien à arrondir.

3. Une extrémité dans le quadrant opposé

   1. Doublez l’abscisse du milieu : (−2) × 2 = −4, puis retranchez l’abscisse connue : −4 − 4 = −8
   2. Doublez l’ordonnée du milieu : 1 × 2 = 2, puis retranchez l’ordonnée connue : 2 − (−3) = 5
   3. L’autre extrémité est (−8 ; 5)
   4. Demi-longueur : l’écart de (4 ; −3) à (−2 ; 1) vaut √(36 + 16) = √52 = 7,2111

   Ici chaque signe joue un rôle, et c’est la deuxième ligne qui prend les gens en défaut : retrancher une ordonnée négative revient à additionner, si bien que la réponse 5 se trouve au-dessus du milieu 1 et non en dessous. L’extrémité retrouvée occupe le quadrant diagonalement opposé à l’extrémité connue, ce qui est le schéma général — un segment passant par un milieu traverse d’un côté à l’autre sur les deux axes à la fois.

4. Une extrémité connue qui est le milieu lui-même

   1. Doublez l’abscisse du milieu : 2 × 2 = 4, puis retranchez l’abscisse connue : 4 − 2 = 2
   2. Même chose pour l’ordonnée : 4 − 2 = 2
   3. L’autre extrémité est (2 ; 2), le point dont vous êtes parti
   4. Demi-longueur : l’écart est nul, parce que les deux points coïncident

   Un segment de longueur nulle est le seul cas où la réponse ne se trouve pas de l’autre côté du milieu — elle est le milieu, et l’extrémité connue s’y trouve aussi. C’est la bonne réponse et non un échec dégénéré : si les deux bouts d’un segment sont le même point, alors ce point en est aussi le milieu, et la page n’a rien de plus à dire. Cela vaut la peine d’être vu une fois, pour qu’une coordonnée répétée ne se lise pas comme un défaut du programme.

5. Un milieu très loin de l’extrémité connue

   1. Doublez l’abscisse du milieu : 1 000 000 × 2 = 2 000 000, puis retranchez l’abscisse connue : 2 000 000 − 0 = 2 000 000
   2. Doublez l’ordonnée du milieu : 0 × 2 = 0, puis retranchez l’ordonnée connue : 0 − 0 = 0
   3. L’autre extrémité est (2 000 000 ; 0)
   4. Demi-longueur : l’écart de l’origine à (1 000 000 ; 0) vaut 1 000 000

   Le cas qui montre que la réponse n’est pas enfermée dans l’intervalle des entrées. Les deux nombres saisis sont à moins d’un million de l’origine, et la réponse se trouve à deux millions de là — plus loin que tout le reste de la page, parce que l’extrémité connue et la réponse encadrent le milieu au lieu de se côtoyer. Rien ici n’est un dépassement de capacité ni une approximation : doubler et retrancher des nombres entiers reste exact bien au-delà de cette taille.

La page suppose que le point que vous appelez milieu en est vraiment un. Elle ne vérifie pas que l’extrémité connue et l’extrémité retrouvée sont à égale distance de lui — elle construit la seconde de façon qu’elles le soient, ce qui signifie qu’un milieu faux au départ produit une réponse fausse du même écart exactement, et que la page ne peut pas le voir. Si votre milieu est une estimation et non une mesure, la réponse est une estimation elle aussi. Les coordonnées ne portent aucune unité, et la page n’en convertit ni n’en conserve aucune : elle ne peut donc pas s’apercevoir qu’un milieu en mètres et une extrémité en millimètres ont été mélangés. Les quatre entrées sont limitées à plus ou moins un milliard, mais l’extrémité retrouvée ne l’est pas : elle peut atteindre trois milliards, et c’est correct et non un défaut, parce que doubler puis retrancher a le droit de dépasser les nombres fournis. Une coordonnée retrouvée en dehors de l’intervalle que vous avez saisi est donc normale sur cette page. La demi-longueur est arrondie à quatre décimales et se révèle souvent irrationnelle : c’est une approximation pour la plupart des entrées, et un contrôle à la main contre votre propre mesure ne tombera pas toujours d’accord jusqu’à la dernière décimale. Enfin, la page retrouve un point et ne dit rien d’autre : elle ne donne pas la longueur totale du segment, ni la pente de la droite qui le porte, ni une troisième dimension, si bien qu’un couple de points de l’espace ne peut pas être complété ici, même lorsque deux des trois coordonnées sont connues.

Quelle est la formule qui donne l’autre extrémité ?

Doublez le milieu et retranchez l’extrémité que vous connaissez, une fois par axe. Si le milieu vaut 3 et l’extrémité connue 1, l’autre extrémité vaut 6 moins 1, soit 5. C’est la règle du milieu réarrangée : le milieu est la moyenne des deux extrémités, donc les deux extrémités additionnées valent le double du milieu, et en retirer l’une laisse l’autre. Il n’y a rien de plus à retenir que le sens de cette dernière soustraction.

Pourquoi la réponse sort-elle en dehors de l’intervalle des nombres que j’ai saisis ?

Parce que les deux extrémités se trouvent de part et d’autre du milieu : la réponse dépasse donc le milieu d’autant que l’extrémité saisie reste en deçà. Saisissez un milieu à un million de l’origine et une extrémité connue à l’origine, et la réponse se trouve à deux millions de là. Ce n’est ni un dépassement de capacité ni une erreur — doubler et retrancher peut produire un nombre plus grand que les deux entrées, et la page n’impose aucune borne à son résultat, seulement la limite d’un milliard de large sur ce qui peut être saisi dans les quatre champs.

À quoi sert la troisième valeur affichée ?

C’est la page qui se contrôle elle-même. Un milieu est à égale distance des deux extrémités, donc l’écart entre l’extrémité connue et le milieu doit égaler l’écart entre le milieu et l’extrémité que vous venez de retrouver. La page affiche le premier de ces deux écarts, et s’il correspond à la moitié du segment que vous connaissiez déjà, la réponse est cohérente. Comparer au second écart ne prouverait rien, puisque la page se servirait de sa propre réponse pour tester sa propre réponse.

La page vérifie-t-elle que mon milieu est bien le milieu ?

Non, et elle en est incapable. La page prend le point que vous appelez milieu comme un fait de départ et construit l’autre extrémité de façon qu’elle se trouve à la même distance — si le point saisi n’était pas le vrai centre du segment, la réponse sera fausse du même écart exactement et rien sur la page n’aura l’air anormal. Un milieu qui est une estimation plutôt qu’une mesure donne une extrémité estimée. La ligne de la demi-longueur est la seule prise dont vous disposez, et elle ne renseigne que sur la géométrie que vous avez saisie, pas sur le terrain.

Puis-je m’en servir pour des points de l’espace ?

Seulement en traitant les axes un par un. La page comporte deux champs de coordonnées par point et pas de troisième, si bien qu’un problème en trois dimensions ne peut pas y être saisi tel quel. La règle elle-même n’a rien à voir avec deux dimensions — doubler le milieu et retrancher l’extrémité connue, sur chaque axe —, vous pouvez donc calculer la troisième coordonnée vous-même de la même façon, mais la page ne le fera pas et n’en montrera pas le résultat.

Et si l’extrémité connue est le milieu lui-même ?

Alors la réponse est ce même point, et la demi-longueur est nulle. Un segment dont les extrémités coïncident n’a pas de longueur, et son milieu est le point lui-même : rien n’a mal tourné. C’est le seul cas où l’extrémité retrouvée ne se trouve pas du côté opposé du milieu, et le voir une fois vaut la peine, pour qu’une coordonnée répétée n’ait pas l’air d’un échec du calcul.

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, and the relation this page inverts to recover the far end from the middle and one end — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, where knowing the middle and one end determines the other end completely — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair the page takes in and gives back, and the reason no unit is attached to any of it — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; le plan repéré et les coordonnées du milieu d'un segment relèvent du programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部