Calculatrice du milieu d’un segment

Milieu x = (x₁ + x₂) ÷ 2 Milieu y = (y₁ + y₂) ÷ 2 Demi-longueur = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ÷ 2

Première extrémité

L’un des deux bouts du segment, donné par un x et un y. L’un ou l’autre bout peut être saisi en premier — échanger les deux couples ne change pas le milieu, l’addition ne se souciant pas de l’ordre

Seconde extrémité

L’autre bout, avec les mêmes règles. Aucune des deux extrémités n’a besoin d’être plus grande que l’autre : le second x peut donc être plus petit que le premier, et l’une ou l’autre coordonnée peut être négative

Milieu

Les deux moyennes, une par axe, chacune arrondie à quatre décimales. C’est la réponse, et elle se trouve toujours entre les deux extrémités — un milieu en dehors d’elles signifie qu’un signe a été perdu quelque part

Demi-longueur

La distance entre le milieu et l’une des deux extrémités, calculée directement à partir des deux extrémités et non à partir du milieu arrondi. C’est le même nombre pour les deux bouts, et c’est le contrôle que cette valeur existe pour vous donner

Quatre décimales

La largeur avec laquelle tous les nombres de la page sont écrits, et non une prétention à la précision. Les coordonnées sont affichées avec leurs zéros de fin, et la demi-longueur est souvent une racine carrée qui ne se termine pas : quatre décimales sont l’endroit où elle est coupée

Sortez cette page dès que quelque chose doit se placer à égale distance entre deux choses que vous pouvez nommer. À mi-chemin entre deux villes sur une carte, le centre d’un diamètre, le point où un géomètre plante un piquet, le milieu d’un mur auquel vous allez suspendre quelque chose, le point d’équilibre entre deux figures sur un graphique. Dans chaque cas vous avez les deux extrémités et vous voulez ce qui se trouve entre elles, et faire la moyenne de chaque coordonnée y répond. C’est aussi le moyen le plus rapide d’obtenir le centre d’un cercle quand vous disposez de deux points de ce cercle opposés l’un à l’autre, puisque le centre d’un cercle est le milieu de n’importe lequel de ses diamètres. L’autre moitié de la page est la partie que l’on oublie d’utiliser. Un milieu n’est pas seulement un couple de nombres produit par une règle : c’est un point situé à la même distance des deux extrémités, et la demi-longueur affichée vous permet de le confirmer sur-le-champ. Si vous avez mesuré le segment à la règle, vous connaissez déjà la distance totale, et sa moitié doit être égale à ce que la page affiche. Quand ce n’est pas le cas, c’est la saisie qui est fausse et non la réponse, et la cause la plus fréquente est un signe : la différence entre un y de moins 7 et un y de 7 vaut quatorze et non zéro, et un moins oublié sur la seconde extrémité déplace toute la réponse de sept vers le haut ou vers le bas tout en gardant un air parfaitement ordinaire.

1. Le segment par défaut, de un à cinq en abscisse et de deux à huit en ordonnée

   1. Moyenne des x : (1 + 5) ÷ 2 = 3
   2. Moyenne des y : (2 + 8) ÷ 2 = 5
   3. Le milieu est (3, 5)
   4. Demi-longueur : l’écart en x vaut 4 et l’écart en y vaut 6, la distance totale est donc √(16 + 36) = √52 = 7,2111 et sa moitié vaut 3,6056

   Le couple que la page charge à l’ouverture, et un bon couple à vérifier de tête. Les deux moyennes sont des nombres entiers, les deux coordonnées du milieu sont donc exactes, tandis que la demi-longueur est une racine carrée et se trouve arrondie : c’est une image fidèle de la page entière. Aller de (1, 2) à (5, 8), c’est quatre cases vers la droite et six vers le haut ; le milieu se trouve deux cases à droite et trois vers le haut du premier bout, ce qui est bien (3, 5), et la demi-longueur de 3,6056 est la diagonale de ce pas de deux sur trois.

2. Le segment trois quatre cinq, où tous les nombres sont exacts

   1. Moyenne des x : (0 + 3) ÷ 2 = 1,5
   2. Moyenne des y : (0 + 4) ÷ 2 = 2
   3. Le milieu est (1,5, 2)
   4. L’écart en x vaut 3 et l’écart en y vaut 4, la distance totale est donc √(9 + 16) = 5 et la demi-longueur vaut 2,5

   Le triangle trois quatre cinq revient partout dans cette famille parce que c’est le plus petit triangle rectangle dont les trois côtés soient entiers, et ici il paie deux fois : la distance totale vaut exactement 5 et la demi-longueur exactement 2,5, rien sur la page n’est donc arrondi. Servez-vous-en comme point de calibration quand vous vous demandez si une réponse surprenante vient d’un arrondi — sur cette saisie, ce ne peut pas être le cas. Remarquez aussi le zéro de fin sous une autre forme : l’abscisse du milieu vaut 1,5 et s’affiche 1,5000, ce qui est le contrat des quatre décimales et non l’affirmation que la réponse est connue à quatre décimales près.

3. Deux extrémités de part et d’autre de l’origine

   1. Moyenne des x : (4 + (−4)) ÷ 2 = 0
   2. Moyenne des y : ((−7) + 7) ÷ 2 = 0
   3. Le milieu est l’origine, (0, 0)
   4. L’écart en x vaut −8 et l’écart en y vaut 14, la distance est donc √(64 + 196) = √260 = 16,1245 et sa moitié vaut 8,0623

   Un milieu nul est une vraie réponse et non une case vide. Le couple d’ici est symétrique par rapport à l’origine, l’origine se trouve donc exactement à mi-chemin entre les deux points, et les deux coordonnées du milieu reviennent à 0,0000. Ce même zéro apparaît pour tout segment dont les extrémités sont symétriques l’une de l’autre, ce qui est une famille nombreuse et non une curiosité. Notez le traitement des signes dans les écarts : soustraire une coordonnée négative revient à additionner, l’écart en y vaut donc 14 alors que les deux valeurs de y sont 7 et moins 7.

4. Un milieu entier à partir d’extrémités qui n’en ont pas l’air

   1. Moyenne des x : ((−3) + 7) ÷ 2 = 2
   2. Moyenne des y : (4 + (−2)) ÷ 2 = 1
   3. Le milieu est (2, 1)
   4. L’écart en x vaut 10 et l’écart en y vaut −6, la distance est donc √(100 + 36) = √136 = 11,6619 et sa moitié vaut 5,831

   Les deux écarts sont pairs ici, et c’est pourquoi deux coordonnées d’apparence bancale donnent des moyennes entières. Dix cases vers la droite et six vers le bas donnent une demi-longueur de 5,831, une racine carrée qui ne se termine jamais : c’est donc aussi le cas qui montre la coupure à quatre décimales en train de faire son travail. Pour vérifier la ligne à la main, élevez au carré la demi-longueur affichée : 5,831 au carré fait 34,0 et 5,8309 au carré fait 33,999 — assez proche du 34 au carré duquel la valeur exacte provient, ce qui est la meilleure confirmation que quatre chiffres puissent donner.

5. Deux extrémités qui sont le même point

   1. Moyenne des x : (2,5 + 2,5) ÷ 2 = 2,5
   2. Moyenne des y : ((−1,5) + (−1,5)) ÷ 2 = −1,5
   3. Le milieu est le point de départ lui-même
   4. Les deux écarts sont nuls, la distance vaut donc 0 et la demi-longueur aussi

   Un segment de longueur nulle, auquel la page répond honnêtement : le milieu d’un point avec lui-même est ce point, et la demi-longueur est nulle. C’est le seul type de saisie qui puisse faire afficher 0 sur la troisième ligne, une demi-longueur nulle exigeant que les deux extrémités coïncident. Cela vaut la peine de le voir une fois, pour qu’une page montrant trois nombres dont l’un est nul ne se lise pas comme une valeur manquante — rien ici n’a échoué à se calculer.

La page renvoie le milieu du segment que vous décrivez, et rien d’autre à son sujet. Elle ne vous donne pas la droite qui passe par les deux points : elle ne dira donc ni la pente, ni les points d’intersection avec les axes, ni l’équation de cette droite. Elle ne donne pas non plus la distance totale du segment — la troisième ligne en est la moitié, doublez donc la demi-longueur si c’est la distance entière que vous vouliez. Les coordonnées sont sans unité et aucune unité n’est attachée à une sortie. Si vos points sont en pieds, les réponses sont en pieds ; si ce sont des carreaux de quadrillage, les réponses sont en carreaux ; mais la page ne convertit rien et ne vous avertira pas si vous mélangez des mètres et des millimètres entre les deux extrémités. C’est un risque réel avec une page sans unité : elle ne peut pas voir que (1, 2) et (5 000, 8 000) sont probablement le même segment saisi dans deux unités différentes, et le milieu qu’elle renvoie sera simplement faux d’un facteur. Les coordonnées sont limitées à plus ou moins un milliard. Cette limite existe pour des raisons arithmétiques et non mathématiques, et le message d’erreur vous dira quel champ l’a franchie, mais elle signifie que la page n’est pas un outil pour des coordonnées à l’échelle d’un levé continental ni pour une orbite de satellite exprimée en mètres. Enfin, la demi-longueur est arrondie à quatre décimales et se trouve souvent être un nombre irrationnel : c’est donc une approximation pour la plupart des saisies, et la multiplication par deux en fin de vérification manuelle hérite de cet arrondi — c’est pourquoi une demi-longueur doublée peut différer de la distance totale d’un ou deux chiffres sur la dernière décimale.

Quelle est la formule du milieu ?

Faites la moyenne de chaque coordonnée séparément. Le milieu en x est la somme des deux valeurs de x divisée par deux, et le milieu en y est la somme des deux valeurs de y divisée par deux : c’est pourquoi la réponse se trouve toujours entre les extrémités, axe par axe, et non ailleurs dans le plan. Pour les extrémités (1, 2) et (5, 8), cela donne 3 et 5, parce que 1 et 5 font une moyenne de 3 tandis que 2 et 8 donnent 5. Il n’y a pas de seconde règle cachée derrière la première : si vous savez faire la moyenne de deux nombres, vous savez trouver un milieu.

Pourquoi la page affiche-t-elle une troisième valeur en plus des deux coordonnées ?

Parce que deux coordonnées ne se contrôlent pas et qu’une demi-longueur, si. Tout point a des coordonnées, un milieu faux est donc toujours un couple de nombres d’apparence plausible que rien ne trahit. La demi-longueur est la distance entre le milieu et l’une des deux extrémités, et par définition ces deux distances sont égales : la comparer à la moitié de la distance que vous avez mesurée est donc un contrôle qui réussit ou échoue sur-le-champ. C’est aussi souvent le nombre que vous vouliez réellement : la distance entre le milieu d’une chose et son bord.

Les coordonnées ont-elles une unité ?

Non, et la réponse non plus. La page traite vos nombres comme de simples coordonnées, et c’est délibéré : un plan repéré n’a pas d’unité propre, et une calculatrice qui vous obligerait à choisir entre centimètres et pouces avant de pouvoir taper une lecture de graphique inventerait une unité que vous n’avez jamais eue. Si vos points viennent d’une carte en mètres, lisez la sortie en mètres ; s’il s’agit de longitude et de latitude, lisez la demi-longueur en degrés, ce qui n’est pas une distance en kilomètres et ne peut pas être converti en l’une d’elles sans savoir où vous vous trouvez sur le globe.

Le milieu peut-il se trouver en dehors du segment ?

Non, et c’est utile à savoir quand on vérifie une réponse. Le milieu de deux nombres est leur moyenne, et une moyenne ne sort jamais de l’intervalle des nombres dont elle est tirée : le milieu d’un segment est donc toujours quelque part entre ses deux bouts, et sur le bord seulement lorsque les deux extrémités sont égales. Si la page renvoie un point qui n’est pas entre vos deux extrémités, ce sont les saisies qui sont fausses et non le calcul. Un moins oublié est la cause habituelle.

Que se passe-t-il si les deux extrémités sont le même point ?

Vous récupérez ce point et une demi-longueur nulle, ce qui est la bonne réponse et non une erreur. Un point et lui-même définissent un segment de longueur nulle, et le milieu de ce segment est le point lui-même. C’est la seule saisie qui puisse produire un zéro sur la troisième ligne, une demi-longueur nulle exigeant que les deux écarts disparaissent. La page ne se plaindra pas, parce qu’il n’y a rien dont se plaindre.

Combien de décimales la réponse comporte-t-elle ?

Quatre, et les zéros de fin sont affichés plutôt que supprimés : le milieu de (1, 2) et (5, 8) se lit donc 3,0000 et 5,0000. Ces zéros disent quelque chose sur la largeur d’affichage et rien sur la certitude — la coordonnée vaut exactement 3, et la page l’écrit ainsi pour aligner une colonne de nombres. C’est la demi-longueur qui est généralement approchée, puisqu’il s’agit d’une racine carrée sur la plupart des saisies, et quatre décimales sont l’endroit où la page cesse de l’écrire.

Le milieu est-il le même si j’échange les deux extrémités ?

Oui. L’addition ne se soucie pas de l’ordre, la moyenne de 1 et de 5 est donc la même que celle de 5 et de 1, et il en va de même pour toutes les autres cases. La seule chose qui change quand vous échangez les deux bouts est le signe des deux écarts qui servent à la demi-longueur — et comme ces écarts sont élevés au carré avant d’être additionnés, la demi-longueur ressort identique elle aussi. Échangez les couples librement : rien sur la page ne dépend de l’extrémité que vous avez appelée la première.

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, with the coordinate formula for it and the property that the midpoint of a diameter is the centre of a circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, and the object whose midpoint this page returns — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair this page takes in and gives back, and the reason a coordinate-plane problem carries no unit unless the axes were drawn with one — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; le plan repéré et la distance entre deux points relèvent du programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部