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CalcMax

Calculatrice d’aire de triangle

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

30,0000 cm²

Aire

Une calculatrice d’aire de triangle prend une base et la hauteur perpendiculaire au-dessus d’elle et renvoie la surface que le triangle couvre, en centimètres carrés. La formule est l’une des plus courtes des mathématiques — base fois hauteur, divisé par deux — et la division par deux est la partie qui mérite d’être comprise, parce que tout le reste de cette page en découle. Prenez un triangle quelconque, copiez-le, faites pivoter la copie d’un demi-tour et joignez les deux le long d’un côté qui coïncide : ce qui apparaît est un parallélogramme, de même base, de même hauteur et d’aire double. C’est pourquoi la part du triangle est une moitié plutôt qu’un tout, et cela vaut pour tous les triangles et pas seulement pour les bien proportionnés. Un triangle rectangle est le cas le plus facile à voir, puisque la copie se glisse droit et que le parallélogramme devient un rectangle — mais le raisonnement ne dépend de la présence d’aucun angle droit dans la figure, et la formule non plus. Le mot avec lequel il faut être prudent est hauteur. Il désigne la distance perpendiculaire allant de la base jusqu’au sommet opposé, mesurée à angle droit par rapport à la base, et non la longueur de l’un des côtés obliques. Ces deux nombres ne sont égaux que lorsque le triangle se trouve être rectangle, et employer un côté oblique à la place de la hauteur est la façon la plus fréquente d’obtenir une réponse qui a l’air raisonnable et qui est fausse. Une calculatrice qui demande la hauteur perpendiculaire vous demande de faire cette mesure avant de taper quoi que ce soit, donc il vaut la peine d’être sûr du nombre que vous avez.

L’aire d’un triangle à partir d’une base et de sa hauteur perpendiculaire

Base du triangle (cm)Hauteur (cm)Aire (cm²)
10630
7414
5820
12954
448
62.57.5
110.5
050

Huit triangles et trois colonnes, parce que la page a une seule formule et une seule réponse. La première ligne est le couple avec lequel la page se charge, et c’est aussi la ligne qui explique la formule : comparez-la avec la page du parallélogramme, où une base de 10 et une hauteur de 6 donnent 60 plutôt que 30. Exactement le double, chaque fois, et voilà la division par deux justifiée. La troisième ligne est celle à comparer avec la page du trapèze : une base de 5 avec une hauteur de 8 donne 20, et un trapèze dont la base supérieure est nulle et la base inférieure vaut 10 avec une hauteur de 4 donne aussi 20, parce que ce trapèze est un triangle. La cinquième ligne est le triangle rectangle isocèle, où la base et la hauteur se trouvent être le même nombre et où l’aire est la moitié de ce carré — 4 et 4 donnent 8. La sixième est une hauteur comportant une décimale, où la moitié de 15 donne 7,5 exactement et où rien ne se perd à l’arrondi. La septième est le triangle unité, une base de 1 et une hauteur de 1, dont l’aire vaut 0,5 et qui mérite d’être retenu comme la plus petite réponse sensée. La dernière ligne est une hauteur nulle, où le triangle s’est effondré sur sa base et ne couvre rien — une vraie réponse plutôt qu’une réponse manquante. Chaque valeur est recalculée à partir de ses deux entrées au moment où la page est construite, en centimètres, et les quatre décimales sont les mêmes que celles du panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (7.5 plutôt que 7,5), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

A = b × h ÷ 2

Base
L’un quelconque des trois côtés, en centimètres. Lequel vous choisissez n’a pas d’importance tant que la hauteur est mesurée par rapport à ce même côté
Hauteur
La distance perpendiculaire allant de la base jusqu’au sommet opposé, en centimètres — mesurée à angle droit par rapport à la base, jamais le long d’un côté oblique
Aire
La surface que le triangle enferme, en centimètres carrés. La moitié de ce que couvrirait un parallélogramme de même base et de même hauteur
Deux
Le diviseur, et toute la raison pour laquelle la formule n’est pas simplement base fois hauteur. Un triangle est la moitié du parallélogramme obtenu en faisant pivoter d’un demi-tour une copie de lui-même
b × h
L’aire de ce parallélogramme, calculée d’abord et divisée par deux ensuite. Faire la multiplication avant la division est ce qui garde le dernier chiffre juste lorsque les nombres ne sont pas entiers
Quatre décimales
La largeur avec laquelle la lecture est écrite. Diviser par deux un produit exact peut laisser une fraction — une base de 7 avec une hauteur de 5 donne 17,5, et une base d’un demi-centimètre donne un quart
Centimètres carrés
L’unité de la réponse, quoi que dise la liste. Une aire est toujours dans une unité élevée au carré, donc une base et une hauteur données en pouces reviennent comme un chiffre en centimètres carrés qu’il faut diviser par 6,4516 pour être lu en pouces carrés

Cette page répond à la question de l’aire pour toute figure qui est un triangle, quelle que soit sa matière et quelle que soit sa façon d’être tracée. Le terrain en est l’usage le plus ancien : une parcelle qui se termine en pointe est un triangle, et une parcelle à quatre coins en est deux, ce qui explique que les géomètres travaillent ainsi depuis aussi longtemps qu’il existe des actes notariés. La couverture, le bardage et le vitrage sont les usages modernes, et ils apportent tous une facture avec eux — un pignon, un carreau triangulaire, un coin de tôle, chacun facturé au mètre carré, donc l’aire doit être juste avant que la commande ne parte. Le tissu et le papier coupés en diagonale relèvent du même calcul avec une autre unité, et il en va de même pour la voile d’un bateau ou pour la face triangulaire d’une pyramide. C’est aussi la seconde moitié d’un très grand nombre d’autres travaux. Tout polygone peut se découper en triangles, et une fois qu’on sait en faire un, le reste n’est plus que de l’arithmétique — ce qui explique que cette formule se retrouve à l’intérieur de calculatrices de quadrilatères, de prismes et de toitures, et qu’il vaut la peine d’en être sûr pour elle-même. Et il y a la version scolaire : des triangles rectangles, des triangles isocèles, ceux qu’on trace sur du papier quadrillé et dont on peut compter les carreaux pour vérifier soi-même la réponse. Cette vérification mérite d’être faite une fois, parce que constater que le comptage et la formule concordent est ce qui fait cesser la division par deux d’être une règle à mémoriser.

Exemples détaillés

  1. Une base de 10 et une hauteur de 6

    1. Multipliez la base par la hauteur : 10 × 6 = 60
    2. Divisez par deux : 60 ÷ 2 = 30

    Le couple avec lequel la page se charge, et la ligne qui montre le rapport au parallélogramme : saisissez la même base et la même hauteur comme parallélogramme et vous obtenez 60, exactement le double. Si vous ne devez retenir qu’un seul nombre de cette page, retenez celui-là — c’est le moyen le plus rapide de juger si une aire de triangle qu’on vous a donnée est plausible.

  2. Une base de 7 et une hauteur de 4

    1. Multipliez la base par la hauteur : 7 × 4 = 28
    2. Divisez par deux : 28 ÷ 2 = 14

    Le cas ordinaire : une base impaire, une hauteur paire et une réponse en nombre entier. Rien ici n’est une figure particulière et rien n’a eu à être mesuré sous un angle commode. Voilà à quoi ressemblent la plupart des triangles réels — une parcelle grossière, un pignon, un morceau de carton coupé en biais — et la formule ne se soucie pas que les côtés soient inégaux.

  3. Une base de 5 et une hauteur de 8

    1. Multipliez la base par la hauteur : 5 × 8 = 40
    2. Divisez par deux : 40 ÷ 2 = 20

    La ligne à comparer avec la page du trapèze. Donnez à un trapèze une base supérieure nulle, une base inférieure de 10 et une hauteur de 4, et vous obtenez 20 — le même nombre, parce qu’un trapèze dont une base vaut zéro est un triangle. Les deux pages impriment le même chiffre pour la même figure, et c’est l’intérêt de les avoir toutes les deux.

  4. Une base de 12,5 et une hauteur de 8

    1. Multipliez la base par la hauteur : 12,5 × 8 = 100
    2. Divisez par deux : 100 ÷ 2 = 50

    Une mesure comportant une décimale, ce que donne habituellement un mètre ruban. La multiplication a lieu avant la division par deux et cette division est exacte, donc aucune erreur d’arrondi ne s’introduit — la réponse est 50 exactement, et non 50,0000 et des poussières.

  5. Une base de 20 et une hauteur de 0

    1. Multipliez la base par la hauteur : 20 × 0 = 0
    2. Divisez par deux : 0 ÷ 2 = 0

    Une hauteur nulle signifie que le triangle s’est aplati sur sa propre base et n’est plus qu’un segment. Zéro est une entrée légale, donc c’est une vraie réponse plutôt qu’une réponse manquante — la page la distingue d’un champ laissé vide, qui n’affiche aucun résultat parce qu’il n’y a rien à partir de quoi travailler.

Limites

Cette page prend une base et une hauteur perpendiculaire, et rien d’autre. Elle ne travaillera pas à partir des trois côtés d’un triangle, ce qui est un calcul différent avec sa propre formule et sa propre page. Elle ne donne ni périmètre, ni angles, ni longueurs de côtés, et la hauteur n’est pas un côté oblique — si la seule mesure que vous avez suit l’un des bords du triangle, ce bord doit être transformé en hauteur perpendiculaire avant de servir ici. La réponse est toujours en centimètres carrés quelle que soit l’unité choisie dans la liste, et comme il s’agit d’une aire, la conversion est au carré : une base et une hauteur saisies en pouces reviennent en centimètres carrés, et pour lire cela en pouces carrés il faut diviser par environ 6,45 et non par 2,54. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage plutôt qu’une prétention à la précision, et la moitié d’un produit exact peut réellement être une fraction — une base de 7 avec une hauteur de 5 donne 17,5. Zéro est accepté pour l’une ou l’autre entrée et donne une réponse nulle, ce qui est correct pour un triangle dégénéré et n’est pas la même chose que de laisser les champs vides. Rien ici ne traite un côté courbe, un triangle tracé sur une sphère, ni l’épaisseur d’un matériau — c’est la figure plate à deux dimensions, et rien de plus.

Questions fréquentes

Quel côté est la base ?
N’importe lequel des trois, du moment que la hauteur est mesurée par rapport à celui que vous avez choisi. Un triangle admet trois couples base-hauteur possibles et les trois donnent la même aire, ce qui est un bon contrôle à faire une fois : prenez un triangle, calculez l’aire depuis chacun des trois sommets à tour de rôle, et regardez les trois réponses concorder. La page ne se soucie pas du couple que vous employez.
Pourquoi la réponse est-elle la moitié de base fois hauteur ?
Parce que deux copies d’un triangle forment un parallélogramme. Prenez le triangle, copiez-le, faites pivoter la copie d’un demi-tour et joignez les deux le long d’un côté qui coïncide — la figure obtenue a la même base, la même hauteur et exactement deux fois l’aire. Le triangle en est la moitié. Voilà tout le raisonnement, et il tient pour tous les triangles, pas seulement pour les bien proportionnés.
Puis-je employer un côté oblique comme hauteur ?
Non, et c’est l’erreur que cette page existe pour empêcher. La hauteur est la distance perpendiculaire allant de la base jusqu’au sommet opposé, mesurée à angle droit par rapport à la base. Un côté oblique est plus long que cette distance dès que le triangle penche, donc l’employer gonfle l’aire. Les deux nombres ne sont égaux que dans un triangle rectangle, où l’un des côtés se trouve déjà à angle droit avec la base.
Où se trouve la version à trois côtés ?
Sur sa propre page. Calculer l’aire d’un triangle à partir de ses trois longueurs de côtés fait appel à une autre formule et à une racine carrée plutôt qu’à une division par deux, et c’est un outil distinct. Cette page fait délibérément une seule chose, ce qui est le même choix que font les pages du cercle et de la sphère dans ce groupe : une page qui répond à une question est plus facile à employer qu’une page qui vous demande laquelle de plusieurs questions vous vouliez poser.
Les unités ont-elles de l’importance ?
La liste d’unités change ce que vous saisissez, pas ce qui sort. La lecture est toujours en centimètres carrés, et comme il s’agit d’une aire la conversion est au carré — un triangle mesuré en pouces revient comme un chiffre en centimètres carrés, et vous divisez par 6,4516 pour le lire en pouces carrés. Saisir des pieds et lire la réponse comme des pieds carrés est l’erreur à surveiller.
Et si l’un des nombres est zéro ?
La réponse est zéro, et c’est correct : un triangle sans hauteur s’est aplati sur sa base et ne couvre rien. Zéro est traité comme une valeur réelle plutôt que comme un champ vide, donc la page imprime un résultat. Laisser un champ vide est autre chose — il n’y a rien à partir de quoi travailler et la page n’affiche aucun résultat du tout.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de la formule de HéronAire d’un triangle à partir des trois côtés, par Héron.Calculatrice de hauteur de triangleHauteur d’un triangle au-dessus d’une base donnée.Calculatrice de triangleCôté, angles et aire d’un triangle à partir de deux côtés.Calculatrice d’aire de parallélogrammeAire et périmètre d’un parallélogramme quelconque.