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Calculatrice d’aire de parallélogramme

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

24,0000 cm²

Aire

Périmètre
22,0000 cm

Une calculatrice d’aire de parallélogramme prend une base, une hauteur et un côté adjacent et renvoie l’aire et le périmètre. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux : le rectangle, le losange et le carré en sont tous des cas particuliers, et la forme obtenue en poussant un rectangle de côté est le cas général. Son aire est la formule la plus facile de la géométrie, base fois hauteur, et c’est la même formule que celle du rectangle — ce qui mérite qu’on s’y arrête, parce qu’un rectangle poussé de travers contient visiblement moins que le rectangle droit et que la formule dit le contraire. L’explication est que la hauteur perpendiculaire n’est pas le côté adjacent. C’est la distance perpendiculaire entre la base et le côté qui lui fait face, mesurée à la verticale et non le long de la pente, et c’est d’elle que l’aire dépend réellement. Poussez le rectangle de travers : le côté adjacent s’allonge pendant que la hauteur perpendiculaire ne change pas, et un rectangle et son jumeau penché ont exactement la même aire. Le périmètre est l’endroit où la pente compte, et c’est la raison pour laquelle cette page demande trois nombres plutôt que deux. Un parallélogramme a deux côtés d’une longueur et deux côtés d’une autre, donc son périmètre vaut deux fois la somme de ces deux longueurs — et ces deux longueurs sont la base et le côté adjacent, pas la base et la hauteur. Hauteur et côté adjacent sont deux nombres différents pour tout parallélogramme sauf le rectangle, où ils coïncident. De là vient le seul refus de la page : un côté adjacent plus court que la hauteur ne décrit aucun parallélogramme, parce que la hauteur vaut le côté adjacent multiplié par le sinus de l’angle qu’il fait avec la base, et qu’aucun sinus ne dépasse un. Une base de 6 avec une hauteur de 4 et un côté adjacent de 1, cela fait trois nombres qui ne se dessinent pas, et la page le dit au lieu de renvoyer un nombre. Le tout est en centimètres et en centimètres carrés quel que soit le réglage des sélecteurs d’unités, et les deux résultats sont exacts dès que les entrées le sont.

Parallélogrammes à partir d’une base, d’une hauteur et d’un côté adjacent

Base b (cm)Hauteur (cm)Côté adjacent (cm)Aire (cm²)Périmètre (cm)
6452422
3451216
125136050
101101040
2.523511
11114
10011100202
503016

Huit parallélogrammes, et la première ligne est celle avec laquelle la page se charge. La deuxième ligne est celle à lire en regard de la page du triangle : une base de 3 et une hauteur de 4 donnent ici une aire de 12, et le triangle de même base et de même hauteur a une aire de 6, ce qui est le rapport de deux à un que la coupe en diagonale rend évident. La quatrième ligne est longue et basse, dix par un avec un côté adjacent de dix : une forme écrasée presque à plat, et l’endroit le plus lisible de la table pour voir que l’aire est gouvernée par la hauteur perpendiculaire tandis que le périmètre est gouverné par les deux longueurs de côté et ne remarque presque pas la hauteur. La cinquième ligne est la seule à entrée décimale, une base de 2,5 pour une hauteur de 2 et un côté adjacent de 3 : elle montre que rien n’oblige les entrées à être entières, l’aire valant 5 et le périmètre 11 sans qu’aucun arrondi n’intervienne. La septième ligne pousse la quatrième plus loin : une base de 100 pour une hauteur de 1 et un côté adjacent de 1, soit un éclat de cent centimètres de long et d’un centimètre de haut, dont l’aire vaut 100 centimètres carrés et le périmètre 202. La sixième ligne est la limite que la page autorise : un côté adjacent égal à la hauteur, ce qui rend l’angle droit et la forme carrée. La huitième et dernière ligne est une hauteur de zéro, où le côté du haut s’est affaissé sur celui du bas : l’aire vaut 0, honnêtement, et le périmètre vaut encore 16, parce que les quatre côtés sont toujours là et qu’on peut encore en faire le tour. Deux nombres qui semblent incohérents sur une ligne où la forme s’est aplatie en un segment de droite, voilà ce qu’il vaut mieux rencontrer dans une table que dans le panneau de résultats. Chaque valeur est recalculée à partir de ses trois entrées au moment où la page est construite, en centimètres, et toutes sont exactes puisque rien sur cette page n’introduit de π ni de racine carrée. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (2.5 plutôt que 2,5), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

Aire = b × h Périmètre = 2(b + a)

Base
La longueur du côté sur lequel la figure repose, en centimètres. C’est l’un des deux côtés dont le périmètre a besoin, et c’est aussi la longueur que l’aire multiplie — mais elle multiplie la hauteur perpendiculaire, pas le côté adjacent
Hauteur
La hauteur perpendiculaire, c’est-à-dire la distance entre la base et le côté qui lui fait face, mesurée à angle droit et non le long de la pente, en centimètres. C’est le nombre dont dépend l’aire, et il n’entre pas du tout dans le périmètre. Le confondre avec le côté adjacent est l’erreur la plus fréquente sur cette page, parce que c’est le côté adjacent qu’un mètre ruban atteint
Côté adjacent
La longueur de l’un des deux côtés penchés, en centimètres. C’est le nombre dont le périmètre a besoin, avec la base, et il n’entre pas dans l’aire. Il est toujours supérieur ou égal à la hauteur, l’égalité n’ayant lieu que sur le rectangle et le carré, où la pente disparaît
Aire
L’aire d’un parallélogramme, en centimètres carrés : la base multipliée par la hauteur perpendiculaire. C’est exactement la même formule que pour un rectangle de mêmes base et hauteur, et le poussé de travers n’y change rien, parce que ce qui est perdu d’un côté est regagné de l’autre
Périmètre
Le périmètre du parallélogramme, en centimètres : deux fois la somme de la base et du côté adjacent. La hauteur n’y figure pas, ce qui est la raison pour laquelle la page demande trois nombres et non deux : deux d’entre eux servent à l’aire, deux autres au périmètre, et un seul est commun aux deux
Centimètres et centimètres carrés
Les unités des deux résultats : les longueurs en centimètres, l’aire en centimètres carrés, quel que soit le réglage des sélecteurs d’unités de la page. Un côté saisi dans une autre unité revient donc en centimètres, et c’est à vous de convertir
Quatre décimales
La largeur d’affichage des deux résultats. Contrairement à la plupart des pages de géométrie, aucune racine carrée ni aucun π n’intervient ici : les deux résultats sont exacts dès que les trois entrées le sont, et les quatre décimales servent seulement à accueillir une base ou une hauteur décimale

La formule de l’aire est celle qui compte le plus, et il vaut la peine de savoir qu’elle est la même formule base fois hauteur pour tous les parallélogrammes, rectangle compris. C’est en le montrant qu’elle gagne son utilité : une forme penchée n’est pas plus petite qu’une forme droite de même base et de même hauteur, et un champ déformé par une clôture de guingois ne perd rien en surface, ce que l’œil, lui, ne rapporte pas. Si vous cherchez l’aire d’une parcelle dont vous avez mesuré les côtés au sol, attention toutefois : la hauteur est la distance perpendiculaire, qui est rarement le nombre que donne un mètre ruban, et le côté adjacent ne la remplace pas. Pour le périmètre, la même parcelle demande les deux longueurs de côté, et c’est là que cette page réclame le troisième nombre. Le refus mérite d’être rencontré exprès plutôt que par accident : si vous saisissez un côté adjacent plus court que la hauteur, les deux nombres se contredisent, et la cause la plus fréquente est qu’on a mesuré une base et un côté adjacent, puis deviné la hauteur perpendiculaire ou pris l’autre côté pour elle. Le triangle voisin de cette page utilise la même base et la même hauteur et renvoie la moitié de l’aire, et la page du rectangle renvoie la même aire avec un côté adjacent égal à la hauteur : ce sont les deux vérifications les plus rapides que cette page se comporte bien.

Exemples détaillés

  1. Une base de 6, une hauteur de 4 et un côté adjacent de 5

    1. Aire : 6 × 4 = 24 centimètres carrés
    2. Périmètre : 2 × (6 + 5) = 22 centimètres
    3. La hauteur de 4 ne sert pas au périmètre, et le côté adjacent de 5 ne sert pas à l’aire

    L’entrée avec laquelle la page se charge, et la paire de calculs qui montre pourquoi la page a besoin de trois nombres : l’aire vient de la base et de la hauteur, le périmètre de la base et du côté adjacent, et aucun des deux résultats n’utilise les trois entrées. Les deux nombres sont ici entiers et exacts, ce qui est le cas dès que les trois entrées le sont : cette page ne fait apparaître ni racine carrée ni π.

  2. Une base de 3, une hauteur de 4 et un côté adjacent de 5

    1. Aire : 3 × 4 = 12 centimètres carrés
    2. Périmètre : 2 × (3 + 5) = 16 centimètres
    3. Douze vaut exactement le double de l’aire du triangle de même base et de même hauteur, soit 3 × 4 ÷ 2 = 6

    La ligne qui rend le doublement visible. Coupez le parallélogramme le long d’une diagonale et vous obtenez deux triangles de même base et de même hauteur : l’aire du parallélogramme vaut donc exactement le double de celle d’un seul de ces triangles, et la page de l’aire du triangle renvoie bien 6 pour une base de 3 et une hauteur de 4. C’est la vérification la plus rapide de cette page, et elle fonctionne sur toutes ses lignes.

  3. Une base de 12, une hauteur de 5 et un côté adjacent de 13

    1. Aire : 12 × 5 = 60 centimètres carrés
    2. Périmètre : 2 × (12 + 13) = 50 centimètres
    3. Le triangle 5-12-13 est le plus petit triangle rectangle à côtés entiers après le 3-4-5, et c’est lui qui rend ces nombres ronds

    Un parallélogramme long et bas, et la ligne où les deux résultats sont le plus éloignés : l’aire vaut 60 et le périmètre 50, ce qui rappelle que les deux grandeurs sont différentes et ne se mesurent pas dans la même unité. Le côté adjacent de 13 avec une hauteur de 5 signifie que la pente est forte : le côté penché mesure plus du double de la hauteur perpendiculaire, et c’est exactement la situation où confondre les deux donne une aire trop grande.

  4. Une base de 1, une hauteur de 1 et un côté adjacent de 1

    1. Aire : 1 × 1 = 1 centimètre carré
    2. Périmètre : 2 × (1 + 1) = 4 centimètres
    3. Le côté adjacent est égal à la hauteur, donc l’angle vaut 90 degrés et la forme est un carré

    La limite que la page accepte au lieu de la refuser. Quand le côté adjacent est égal à la hauteur, le sinus de l’angle vaut un, l’angle est droit et le parallélogramme est un carré : un membre bien réel de la famille, et non un cas dégénéré. C’est aussi le seul cas où hauteur et côté adjacent sont le même nombre, et donc le seul où se tromper entre les deux ne change rien — partout ailleurs sur cette page, la confusion fait une aire trop grande.

  5. Une base de 5, une hauteur de 0 et un côté adjacent de 3

    1. Aire : 5 × 0 = 0 centimètre carré
    2. Périmètre : 2 × (5 + 3) = 16 centimètres
    3. Les deux résultats découlent chacun de sa propre formule, et ils décrivent deux choses différentes de la même forme aplatie

    Le cas où les deux résultats semblent se contredire et ne se contredisent pas. Une hauteur nulle signifie que le côté du haut est venu se poser sur celui du bas et que la forme s’est aplatie en un segment de droite : elle n’enferme donc aucune surface, et l’aire vaut bien 0. Le périmètre, lui, vaut toujours 16, parce que les quatre côtés sont encore là et qu’on peut encore en faire le tour. C’est le genre de ligne qu’il vaut mieux rencontrer d’abord dans une table, où l’on prend le temps de lire, que dans le panneau de résultats.

Limites

La hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé, et la page ne peut pas savoir si ce que vous avez mesuré était le côté adjacent à la place. Saisir le côté adjacent dans le champ de la hauteur donne une aire trop grande, et c’est l’erreur la plus fréquente sur cette page, parce que le côté adjacent est celui qu’un mètre ruban atteint. Le périmètre utilise la base et le côté adjacent et ne tient aucun compte de la hauteur : si vous fournissez une hauteur sans côté adjacent, la page ne peut pas calculer du tout. Un côté adjacent plus court que la hauteur est refusé, parce qu’il ne décrit aucun parallélogramme : la hauteur vaut le côté adjacent multiplié par le sinus de l’angle qu’il fait avec la base, et aucun angle n’a de sinus supérieur à un. Les résultats sont en centimètres et en centimètres carrés quel que soit le réglage des sélecteurs d’unités. Quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision. La page suppose un vrai parallélogramme, avec deux paires de côtés parallèles : elle ne vérifie donc pas un quadrilatère dont les côtés opposés sont inégaux, et elle ne donne ni angles, ni diagonales, ni moyen de saisir directement l’angle entre les côtés. Une hauteur nulle est acceptée et renvoie une aire de zéro avec un périmètre non nul, ce qui est arithmétiquement correct et physiquement un segment de droite plutôt qu’une forme : le périmètre décrit alors le chemin autour des quatre côtés et non la longueur de la forme aplatie.

Questions fréquentes

Pourquoi la page demande-t-elle trois nombres alors que l’aire n’en utilise que deux ?
Parce que les deux résultats ne se nourrissent pas des mêmes entrées. L’aire vient de la base et de la hauteur perpendiculaire, le périmètre de la base et du côté adjacent, et les deux listes n’ont que la base en commun. Il faut donc trois nombres au total, et la page les demande tous les trois plutôt que de laisser un résultat sans entrée.
La hauteur est-elle la même chose que le côté adjacent ?
Non, et c’est la confusion que cette page rencontre le plus souvent. La hauteur perpendiculaire est la distance entre la base et le côté opposé, mesurée à angle droit ; le côté adjacent est le côté penché lui-même, et il est toujours plus long dès que la figure est penchée. Les deux ne coïncident que sur le rectangle et le carré. Saisir le côté adjacent dans le champ de la hauteur donne une aire trop grande, parce que le côté adjacent est justement le nombre qu’un mètre ruban atteint.
Pourquoi la page refuse-t-elle un côté adjacent plus court que la hauteur ?
Parce qu’un tel parallélogramme ne peut pas exister. La hauteur vaut le côté adjacent multiplié par le sinus de l’angle qu’il fait avec la base, et aucun sinus ne dépasse un : la hauteur est donc toujours inférieure ou égale au côté adjacent. Quand vous saisissez un côté adjacent plus court que la hauteur, les deux nombres se contredisent, et la cause habituelle est qu’une hauteur a été devinée ou prise pour le côté.
Pourquoi l’aire est-elle la même que celle d’un rectangle ?
Parce que la formule base fois hauteur est commune aux deux, et que c’est bien la hauteur perpendiculaire qui y entre, pas le côté adjacent. Pencher la figure allonge le côté adjacent sans changer la hauteur, et la surface perdue d’un côté est exactement regagnée de l’autre. Un rectangle et son jumeau penché de même base et de même hauteur ont donc la même aire, même si l’œil dit le contraire.
L’aire est nulle mais le périmètre ne l’est pas : lequel des deux est faux ?
Aucun des deux. Une hauteur de zéro signifie que le côté du haut est venu se poser sur celui du bas, donc que la forme s’est aplatie en un segment de droite : elle n’enferme plus aucune surface, et l’aire vaut bien 0. Le périmètre, lui, continue de faire le tour des quatre côtés, qui sont toujours là, et vaut donc la somme de leurs longueurs. Les deux résultats décrivent la même figure aplatie sous deux aspects différents.
Comment obtenir plutôt l’aire d’un triangle ?
En coupant le parallélogramme le long d’une diagonale, ce qui donne deux triangles de même base et de même hauteur. L’aire du triangle vaut alors la moitié de celle du parallélogramme, soit la base multipliée par la hauteur perpendiculaire puis divisée par deux. La page de l’aire du triangle prend ces deux mêmes entrées, et la page de la formule de Héron prend les trois côtés quand la hauteur n’est pas connue.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de périmètrePérimètre des figures usuelles à partir de leurs côtés.Calculatrice d’hexagoneAire, périmètre et diagonales d’un hexagone régulier.Calculatrice de rectangleAire, périmètre et diagonale d’un rectangle.Calculatrice de trapèzeAire, périmètre et hauteur d’un trapèze quelconque.