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CalcMax

Calculatrice d’hexagone

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

93,5307 cm²

Aire

Périmètre
36,0000 cm
Grande diagonale
12,0000 cm
Petite diagonale
10,3923 cm
Apotème
5,1962 cm
Angle intérieur
120 °

Une calculatrice d’hexagone prend la longueur du côté d’un hexagone régulier et en renvoie six mesures : l’aire, le périmètre, les deux diagonales, l’apothème et l’angle intérieur. L’hexagone régulier est la forme d’une alvéole de ruche, d’un écrou, d’une tête de boulon et d’une dalle de carrelage, et s’il revient si souvent, c’est qu’il est la façon la plus économe de partager une surface en cellules égales sans laisser de vide : les abeilles l’ont trouvé avant qu’on ne le démontre. Son autre vertu est arithmétique. Un hexagone régulier se compose de six triangles équilatéraux réunis en un point, et presque tout le reste en découle. Le périmètre vaut six côtés. La grande diagonale, celle qui traverse le centre d’un sommet au sommet opposé, vaut deux côtés, parce qu’elle est deux de ces triangles mis bout à bout. La petite diagonale, celle qui saute un seul sommet, est la hauteur de deux de ces triangles dos à dos, soit la racine carrée de trois multipliée par le côté. L’aire vaut six triangles équilatéraux, dont chacun est un quart de la racine carrée de trois fois le côté au carré ; six de ces quarts donnent trois racines de trois sur deux, multiplié par le côté au carré. Et l’apothème, la distance du centre jusqu’au milieu d’un côté, c’est-à-dire le rayon du cercle inscrit dans l’hexagone, est la moitié de la petite diagonale, soit la racine carrée de trois sur deux fois le côté. Six résultats pour une seule entrée, et cette entrée unique mérite qu’on s’y arrête, car c’est elle qui distingue cette page de la plupart de ses voisines : un rectangle demande deux nombres, un triangle en demande trois, un quadrilatère quelconque davantage, tandis qu’un hexagone régulier n’a besoin que de son côté, parce que le mot régulier a déjà fixé chaque angle à 120 degrés et chaque côté à la même longueur. Changez le côté et la figure entière se met à l’échelle : le côté doublé double le périmètre et les diagonales, mais l’aire est multipliée par quatre, car une aire va toujours avec le carré d’une longueur, et cette page ne fait pas exception. L’angle intérieur est la seule valeur qui ne bouge pas du tout quand le côté change. Il est fixé à 120 degrés par le simple fait qu’il y a six côtés, ce que la table ci-dessous montre bien, où le même nombre descend la dernière colonne de chaque ligne. Les cinq valeurs de grandeur s’affichent avec quatre décimales parce que trois d’entre elles portent la racine carrée de trois et ne tombent presque jamais juste, alors que le périmètre et la grande diagonale sont exacts dès que le côté l’est ; l’angle, lui, est un nombre entier et s’affiche comme tel.

Hexagones réguliers du côté zéro au côté dix

Côté (cm)Aire (cm²)Périmètre (cm)Grande diagonale (cm)Petite diagonale (cm)Apothème (cm)Angle intérieur (°)
693.5307361210.39235.1962120
12.5981621.73210.866120
210.39231243.46411.7321120
323.38271865.19622.5981120
564.951930108.66034.3301120
7.5146.1418451512.99046.4952120
10259.8076602017.32058.6603120
000000120

Huit hexagones, et la première ligne est celle avec laquelle la page se charge. Lisez les deux premières colonnes l’une après l’autre pour voir la relation qui prend le plus de monde en défaut : en passant d’un côté de 5 à un côté de 10, le périmètre, les diagonales et l’apothème doublent, mais l’aire passe de 64,9519 à 259,8076, soit quatre fois et non deux fois, parce que l’aire va avec le carré de la longueur. La dernière colonne vaut 120 sur chaque ligne, et c’est une propriété et non une erreur de copier-coller : l’angle intérieur d’un hexagone régulier est fixé par ses six côtés, il ne bouge donc pas avec la taille, et c’est la seule grandeur de cette page qui survive au côté ramené à zéro alors que les cinq autres s’effondrent. La deuxième ligne est l’hexagone unité, où les trois valeurs en racine de trois apparaissent le plus nettement : 1,7321 pour la petite diagonale et 0,866 pour l’apothème, soit la racine de trois et la racine de trois sur deux. La troisième ligne porte la première coïncidence : un hexagone de côté 2 a une aire de 10,3923, et l’hexagone de côté 6 de la première ligne a une petite diagonale des mêmes 10,3923. La septième ligne, un côté de 10, porte la seconde : son apothème vaut 8,6603, qui est la petite diagonale d’un hexagone de côté 5, les deux étant cinq racines de trois atteintes par deux chemins différents. Deux grandeurs qui partagent quatre chiffres affichés dans une même table, voilà exactement le genre de chose qui ressemble à une erreur de copier-coller, et les deux sont réelles. La dernière ligne est un côté de zéro, où les cinq colonnes de grandeur valent zéro et où la réponse est réelle plutôt qu’absente, et où la colonne des angles, pour la raison dite plus haut, vaut encore 120. Chaque nombre est recalculé à partir de son côté au moment où la page est construite, en centimètres et en degrés, et les largeurs décimales sont celles qu’utilise le panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (64.9519 plutôt que 64,9519), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

A = (3√3 ÷ 2) × s² P = 6s d_longue = 2s d_courte = √3 × s apothème = (√3 ÷ 2) × s angle intérieur = 120°

Côté
La longueur de l’un des six côtés, en centimètres. C’est la seule entrée de la page, et elle suffit parce qu’un hexagone régulier a ses six côtés égaux et ses six angles fixés à 120 degrés : ce nombre détermine donc la figure entière
Aire
La surface intérieure de l’hexagone, en centimètres carrés, soit trois racines de trois sur deux multiplié par le côté au carré. Les six triangles équilatéraux qui le composent sont l’origine de cette constante, et non une formule à retenir par cœur
Périmètre
La distance sur tout le tour, en centimètres : six fois le côté, puisque les six sont égaux. C’est le seul résultat toujours exact dès que le côté l’est, ce qui en fait celui auquel on compare les autres
Grande diagonale
La distance d’un sommet au sommet opposé en passant par le centre, en centimètres. Elle vaut exactement deux fois le côté, ce qui en fait le diamètre du cercle circonscrit à l’hexagone, et c’est aussi la plus grande mesure que l’on puisse prendre en travers de la figure
Petite diagonale
La distance entre deux sommets séparés par exactement un sommet, en centimètres, soit la racine carrée de trois multipliée par le côté. Elle vaut un peu moins de deux apothèmes et un peu plus d’une fois et demie le côté, et elle découpe l’hexagone en un rectangle et deux triangles
Apothème
La distance du centre jusqu’au milieu d’un côté, en centimètres, soit la racine carrée de trois sur deux multiplié par le côté. C’est le rayon du cercle inscrit dans l’hexagone, et exactement la moitié de la petite diagonale : les deux sont la même mesure vue depuis le centre et depuis un sommet
√3
La racine carrée de trois, environ 1,7320508. Elle apparaît dans l’aire, la petite diagonale et l’apothème, et c’est la hauteur d’un triangle équilatéral de côté un : le nombre qui transforme le côté d’un triangle en sa hauteur
Angle intérieur
L’angle entre deux côtés voisins à l’intérieur de l’hexagone, qui vaut 120 degrés pour tout hexagone régulier et ne dépend donc pas du tout du côté. Il vient de la règle selon laquelle les angles d’un polygone totalisent le nombre de côtés moins deux, fois 180 degrés : six côtés, quatre triangles, 720 degrés partagés entre six sommets égaux. C’est le seul résultat de cette page qu’un hexagone plus grand affiche à l’identique
Quatre décimales
La largeur d’écriture de chaque résultat. L’aire, la petite diagonale et l’apothème portent presque toujours une racine de trois et ne tombent donc presque jamais juste ; le périmètre et la grande diagonale sont exacts, et les afficher sur quatre décimales est une largeur et non une affirmation. L’angle intérieur vaut exactement 120 et s’affiche comme un nombre entier, sans aucun séparateur décimal : les largeurs sont fixées par résultat et non pour la page entière

Cette page est faite pour l’hexagone en tant qu’objet, et l’alvéole de ruche est la raison pour laquelle il revient sans cesse. Si vous carrelez une surface et voulez savoir combien de matière consomme une dalle hexagonale, c’est l’aire qu’il vous faut ; et il vaut la peine de savoir qu’un hexagone de côté un a une aire d’environ 2,6 alors qu’un carré de côté un a une aire de 1 : à longueur de bord égale, l’hexagone couvre plus de terrain, et c’est cette économie que l’on copie dans les calages d’emballage et les panneaux. Si vous découpez les dalles dans une plaque, c’est l’apothème qui vous dit à quelle distance espacer les centres, et les deux diagonales vous disent de quel dégagement la pièce finie a besoin : la grande en travers de sa plus grande largeur, la petite entre les mesures prises sur les faces plates, celles qui décident si un écrou passera dans une clé. Une tête de boulon se désigne sur les plats, c’est-à-dire deux fois l’apothème, et la douille qui va avec se désigne de la même façon : le résultat à prendre est donc l’apothème, et non la grande diagonale. Et si vous vérifiez un dessin, les deux diagonales ont entre elles un rapport fixe, la petite valant exactement la moitié de la grande multipliée par la racine carrée de trois ; un hexagone calculé dont les diagonales ne sont pas dans ce rapport a donc une faute de frappe et non un écart d’arrondi.

Exemples détaillés

  1. Un côté de 6

    1. Périmètre : 6 × 6 = 36
    2. Grande diagonale : 2 × 6 = 12
    3. Apothème : (√3 ÷ 2) × 6 = 5,196152…, soit 5,1962 après arrondi
    4. Petite diagonale : √3 × 6 = 10,392304…, soit 10,3923 après arrondi
    5. Aire : (3√3 ÷ 2) × 36 = 93,530743…, soit 93,5307 après arrondi
    6. Angle intérieur : (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 degrés, identique pour tout hexagone régulier

    L’entrée avec laquelle la page se charge. Deux des six résultats sont exacts, le périmètre à 36 et la grande diagonale à 12, et trois portent la racine carrée de trois et affichent quatre chiffres. Le sixième est l’angle intérieur, 120 degrés, le même nombre que la table ci-dessous affiche sur chacune de ses huit lignes. La vérification à faire une fois : l’apothème vaut exactement la moitié de la petite diagonale, 5,1962 contre 10,3923, et cela tient pour tout côté et pas seulement pour celui-ci.

  2. Un côté de 1

    1. Périmètre : 6 × 1 = 6
    2. Grande diagonale : 2 × 1 = 2
    3. Petite diagonale : √3 × 1 = 1,7320508…, soit 1,7321 après arrondi
    4. Apothème : (√3 ÷ 2) × 1 = 0,8660254…, soit 0,866 après arrondi
    5. Aire : (3√3 ÷ 2) × 1 = 2,5980762…, soit 2,5981 après arrondi
    6. Angle intérieur : (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 degrés, identique pour tout hexagone régulier

    L’hexagone unité, et la ligne dont on retient les constantes : un hexagone régulier de côté un a une aire de 2,5981, une petite diagonale de 1,7321 et un apothème de 0,866. Il bat aussi le carré de côté un, dont l’aire vaut 1, ce qui est l’arithmétique derrière l’alvéole de ruche. L’apothème s’affiche 0,866 et non 0,8660 parce que la quatrième décimale est un zéro final et que la forme imprimée reste aussi courte que possible ; l’angle intérieur, à 120, n’a aucune partie décimale à afficher.

  3. Un côté de 2

    1. Périmètre : 6 × 2 = 12
    2. Grande diagonale : 2 × 2 = 4
    3. Petite diagonale : √3 × 2 = 3,4641016…, soit 3,4641 après arrondi
    4. Apothème : (√3 ÷ 2) × 2 = 1,7320508…, soit 1,7321 après arrondi
    5. Aire : (3√3 ÷ 2) × 4 = 10,392304…, soit 10,3923 après arrondi
    6. Angle intérieur : (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 degrés, identique pour tout hexagone régulier

    La ligne qui surprend : l’aire de cet hexagone vaut 10,3923, et un hexagone de côté 6 a une petite diagonale des mêmes 10,3923. Deux grandeurs différentes, sur deux hexagones différents, qui affichent les quatre mêmes chiffres sont une coïncidence des nombres et non une colonne calculée deux fois ; mieux vaut le savoir avant de le remarquer dans la table de référence et d’en conclure le pire. L’angle intérieur, lui, est la colonne sans aucune surprise, 120 sur chaque ligne.

  4. Un côté de 10

    1. Périmètre : 6 × 10 = 60
    2. Grande diagonale : 2 × 10 = 20
    3. Petite diagonale : √3 × 10 = 17,320508…, soit 17,3205 après arrondi
    4. Apothème : (√3 ÷ 2) × 10 = 8,660254…, soit 8,6603 après arrondi
    5. Aire : (3√3 ÷ 2) × 100 = 259,807621…, soit 259,8076 après arrondi
    6. Angle intérieur : (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 degrés, identique pour tout hexagone régulier

    Un hexagone de dix centimètres de côté, à peu près la taille d’une petite dalle. L’apothème de 8,6603 est la seconde des deux coïncidences de cette page : il porte les quatre mêmes chiffres que la petite diagonale d’un hexagone de côté 5, puisque les deux valent cinq racines de trois vus d’endroits différents. Le chiffre à retenir de cette ligne est la grande diagonale de 20 contre la petite de 17,32 : l’hexagone est plus large d’un sommet à l’autre que de plat à plat, d’environ 15 pour cent, et c’est pourquoi un écrou et la clé qui va avec se désignent sur les plats.

  5. Un côté de 0

    1. Périmètre : 6 × 0 = 0
    2. Grande diagonale : 2 × 0 = 0
    3. Petite diagonale : √3 × 0 = 0
    4. Apothème : (√3 ÷ 2) × 0 = 0
    5. Aire : (3√3 ÷ 2) × 0 = 0
    6. Angle intérieur : (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 degrés, identique pour tout hexagone régulier

    Zéro est une entrée légitime et non une case vide. Un hexagone de côté zéro est un point unique et les cinq mesures de grandeur valent toutes zéro : une ligne de zéros est donc une vraie réponse et non le signe que quelque chose n’a pas été rempli. L’angle intérieur fait exception et reste à 120 degrés, parce qu’il tient au fait d’avoir six côtés et non à la taille : la figure s’est effondrée, mais elle n’est pas devenue une autre figure. La page distingue le zéro de la case laissée vide, laquelle n’affiche aucun résultat faute de matière pour calculer.

Limites

Cette page ne traite que les hexagones réguliers : six côtés de même longueur et six angles de 120 degrés. Un hexagone qui n’est pas régulier n’a pas de longueur de côté unique et ne peut pas être décrit par un seul nombre ; la page vous donnera alors les valeurs de l’hexagone régulier de ce côté, sans vous dire que la figure que vous avez en tête en est une autre. L’angle intérieur est fixé à 120 degrés quelle que soit la taille et s’affiche inchangé sur chaque ligne de la table, y compris sur la ligne où le côté vaut zéro ; la page ne donne ni angle extérieur ni angle au centre, et aucun angle du tout pour un hexagone non régulier, faute d’une réponse unique à donner. Les résultats sont en centimètres, en centimètres carrés et en degrés quel que soit le réglage du sélecteur d’unités : un côté saisi en pouces revient donc en centimètres, à vous de convertir. Quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision : c’est généreux pour un côté mesuré, et les deux dernières décimales ne veulent rien dire si l’entrée n’était pas exacte. L’aire croît avec le carré du côté tandis que le périmètre et les diagonales croissent avec le côté lui-même, si bien qu’agrandir un hexagone change ces valeurs à des rythmes différents ; l’angle intérieur est le seul qui ne change pas du tout. L’apothème et la petite diagonale sont affichés comme deux résultats alors que l’un vaut exactement la moitié de l’autre, parce que les deux se citent dans des métiers différents et que la page préfère les donner tous les deux plutôt que de vous faire diviser par deux. Rien ici ne traite un hexagone percé d’un trou, un hexagone tracé sur une surface courbe, ni l’épaisseur d’une dalle ou d’un écrou hexagonal, qui est une troisième dimension pour laquelle cette page n’a aucun champ.

Questions fréquentes

Pourquoi une seule mesure suffit-elle pour un hexagone ?
Parce que la page ne traite que les hexagones réguliers, dont les six côtés sont égaux et les six angles fixés à 120 degrés. Ces deux faits ne laissent que la taille à décider, et une longueur de côté la fixe. C’est ce qui distingue un hexagone régulier d’un rectangle, qui demande deux nombres, ou d’un triangle quelconque, qui en demande trois.
Qu’est-ce que l’apothème, et à quoi sert-il ?
C’est la distance du centre de l’hexagone jusqu’au milieu d’un côté, et c’est le rayon du plus grand cercle inscrit. Il est utile parce que c’est ainsi que se mesurent les objets à faces plates dans la pratique : un écrou et la clé qui va avec se désignent tous deux sur les plats, c’est-à-dire deux fois l’apothème, et non d’un sommet à l’autre, ce qui serait la grande diagonale.
Laquelle des deux diagonales est laquelle ?
La grande diagonale va d’un sommet au sommet opposé en passant par le centre, et vaut exactement deux fois le côté. La petite diagonale relie deux sommets séparés par un sommet, et vaut la racine carrée de trois multipliée par le côté. La grande dépasse la petite d’environ 15 pour cent, et la petite vaut exactement deux fois l’apothème.
Pourquoi trois résultats ont-ils quatre décimales et les autres aucune ?
Parce que les largeurs sont fixées par résultat et non pour la page. L’aire, la petite diagonale et l’apothème contiennent tous la racine carrée de trois, qui ne tombe jamais juste : leurs résultats non plus, et ils s’affichent sur quatre décimales. Le périmètre vaut six fois le côté et la grande diagonale deux fois le côté, donc les deux sont exacts dès que le côté l’est ; ils s’affichent sur une largeur fixe de quatre décimales, et les zéros finaux ne s’affichent simplement pas. L’angle intérieur vaut exactement 120 et s’affiche comme un nombre entier, sans séparateur décimal.
Comment un hexagone se compare-t-il à un carré de même côté ?
L’hexagone couvre plus. Un hexagone régulier de côté un a une aire d’environ 2,6 unités carrées contre 1 pour un carré de côté un, à longueur de bord égale ; mais il a aussi un périmètre plus long pour ce bord, six côtés au lieu de quatre, si bien que la comparaison n’est juste que formulée en aire par unité de bord. C’est cette économie qui fait utiliser des alvéoles hexagonales dans les ruches, les calages d’emballage et les panneaux de radiateur.
Le côté peut-il valoir zéro ?
Oui, et les cinq mesures reviennent alors à zéro, ce qui décrit honnêtement un hexagone sans taille. Le zéro est traité comme une entrée réelle et non comme une case vide, si bien qu’une ligne de zéros est une réponse. Une case vide, c’est autre chose : quand il n’y a rien dedans, la page n’affiche aucun résultat, parce qu’il n’y a rien pour calculer.
Pourquoi l’angle intérieur ne change-t-il jamais quand je change le côté ?
Parce qu’il tient à la figure et non à sa taille. Les angles d’un polygone totalisent le nombre de côtés moins deux, fois 180 degrés ; pour six côtés cela fait 720 degrés, et un hexagone régulier les partage également entre six sommets, soit 120 chacun. Aucun terme de ce calcul ne mentionne la longueur du côté : un hexagone de côté 1 et un hexagone de côté 10 ont donc tous deux des sommets à 120 degrés, et un hexagone effondré en un point affiche encore 120, ce qui est la réponse honnête pour une figure qui a perdu sa taille sans perdre sa forme.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de périmètrePérimètre des figures usuelles à partir de leurs côtés.Calculatrice d’aire de parallélogrammeAire et périmètre d’un parallélogramme quelconque.Calculatrice de polygoneAire, périmètre et angles d’un polygone régulier.Calculatrice d’octogoneAire, périmètre, apothème et diagonales d’un octogone.