Calculatrice d’octogone

A = 2(1 + √2) × s² P = 8s a = s(1 + √2) ÷ 2 d_courte = s√(2 + √2) d_moyenne = s(1 + √2) d_longue = s√(4 + 2√2) angle intérieur = 135°

Côté

La longueur de l’un quelconque des huit côtés, en centimètres. Comme pour tout polygone régulier, c’est la seule saisie qui existe, parce que les huit côtés sont égaux et les huit angles fixés à 135 degrés : ce seul nombre décide donc de la taille de toute la forme

Aire

La surface que couvre l’octogone, en centimètres carrés : deux fois un plus racine de deux, multiplié par le côté au carré. La constante vaut environ 4,828, et c’est le chiffre à retenir — un octogone couvre près de cinq fois l’aire du carré construit sur l’un de ses côtés

Périmètre

La longueur du contour, en centimètres : huit fois le côté, puisque les huit sont égaux. C’est la seule sortie qui soit toujours exacte dès que le côté l’est, ce qui en fait la valeur sur laquelle vérifier les autres quand un résultat paraît faux

Apothème

La distance du centre jusqu’au milieu d’un côté, en centimètres, soit le côté multiplié par un plus racine de deux, le tout divisé par deux. C’est le rayon du plus grand cercle qui tient à l’intérieur de l’octogone, et c’est la valeur qui fixe l’écart entre les côtés plats — deux fois l’apothème est l’octogone mesuré entre deux côtés opposés

Diagonale courte

La distance entre deux sommets séparés par un seul autre sommet, en centimètres, soit le côté multiplié par la racine carrée de deux plus racine de deux. Elle est un peu plus courte que la diagonale moyenne et un peu plus longue que le côté, et sur un octogone elle est assez proche du côté pour qu’on confonde les deux sur un dessin

Diagonale moyenne

La distance entre deux sommets séparés par deux autres sommets, en centimètres : le côté multiplié par un plus racine de deux. Elle vaut exactement le double de l’apothème, parce que les deux sont la même expression avec un deux placé ailleurs, et c’est la diagonale autour de laquelle la géométrie de l’octogone régulier est construite

Diagonale longue

La distance d’un sommet au sommet opposé en passant par le centre, en centimètres, soit le côté multiplié par la racine carrée de quatre plus deux fois racine de deux. C’est la plus grande mesure qu’on puisse prendre à travers la forme, et c’est aussi le diamètre du cercle tracé autour de l’octogone : sa moitié est donc le rayon avec lequel ce cercle se trace

Angle intérieur

L’angle entre deux côtés voisins, à l’intérieur de l’octogone : 135 degrés, fixés là par le seul nombre de côtés. Il ne dépend pas du tout de la longueur du côté, et c’est pourquoi cette colonne du tableau de référence porte le même nombre sur chaque ligne — un octogone de côté 1 et un octogone de côté 10 ont le même angle intérieur, seule leur taille diffère

√2

La racine carrée de deux, environ 1,4142136. Elle apparaît dans six des sept sorties, seuls le périmètre et l’angle intérieur n’en contiennent pas, et elle est là parce que l’octogone est le carré aux coins coupés — couper un coin à 45 degrés est exactement ce qui fait entrer la racine carrée de deux dans l’affaire

Cette page est faite pour l’octogone en tant qu’objet, et les deux cas les plus fréquents sont la pièce plate et l’accessoire rond. Si vous découpez un octogone dans une plaque — un plateau de table, un carreau, une dalle, la platine d’un poteau —, l’aire vous dit ce que vous consommez et l’apothème vous dit comment le tracer. L’apothème est le nombre à marquer en premier : son double est la largeur entre deux côtés opposés, et c’est par les côtés plats qu’on mesure un octogone découpé, puisque les sommets sont difficiles à prendre à la règle. La diagonale longue donne ensuite la largeur d’un sommet à l’autre, qui détermine si la pièce terminée tient dans le cercle à partir duquel vous la découpez ; cette même valeur est le diamètre du cercle circonscrit à l’octogone, donc un flan rond de ce diamètre contiendra l’octogone sans le moindre jeu. Si vous assemblez huit morceaux — un cadre, une lanterne, un toit de kiosque —, c’est l’angle intérieur de 135 degrés qu’il faut aller chercher, parce que l’onglet de chaque pièce en est la moitié, 67,5 degrés, et que ce réglage est le même pour tous les octogones, quelle que soit leur taille. Si c’est l’accessoire rond qui est en jeu, la diagonale longue est la réponse à la question de savoir si l’octogone passera par une ouverture circulaire, et l’apothème est la réponse à la surface plate qu’il présentera une fois en place. Et si vous voulez simplement comparer un octogone à un carré de même côté, la constante d’aire de 4,83 contre le 1 du carré est toute la comparaison : l’octogone couvre plus de terrain pour la même arête, mais il a aussi deux fois plus d’arêtes, si bien que c’est la colonne du périmètre qui est la plus juste quand c’est de la matière qu’on achète.

1. Un côté de 6

   1. Périmètre : 8 × 6 = 48
   2. Apothème : 6 × (1 + √2) ÷ 2 = 7,242640…, ce qui s’arrondit à 7,2426
   3. Diagonale moyenne : 6 × (1 + √2) = 14,485281…, ce qui s’arrondit à 14,4853
   4. Diagonale courte : 6 × √(2 + √2) = 11,086554…, ce qui s’arrondit à 11,0866
   5. Diagonale longue : 6 × √(4 + 2√2) = 15,678754…, ce qui s’arrondit à 15,6788
   6. Aire : 2 × (1 + √2) × 36 = 173,823376…, ce qui s’arrondit à 173,8234
   7. Angle intérieur : (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135, exact

   La saisie que la page charge au départ. Deux vérifications sont visibles sur cette seule ligne. La diagonale moyenne, 14,4853, vaut exactement le double de l’apothème, 7,2426 — cela tient pour toutes les longueurs de côté, pas seulement celle-ci, parce que les deux viennent de la même expression avec un deux placé ailleurs. Et la diagonale longue de 15,6788 est le diamètre du cercle tracé autour de l’octogone : un octogone de côté 6 tient donc dans un cercle de 15,6788 centimètres de diamètre, et dans aucun cercle plus petit. C’est aussi la ligne qui se compare aux deux pages voisines à même longueur de côté : un côté de 6 donne 173,8234 ici, 93,5307 sur la page de l’hexagone et 61,9372 sur celle du pentagone — même arête, et d’autant plus de surface renfermée qu’il y a de côtés.

2. Un côté de 1

   1. Périmètre : 8 × 1 = 8
   2. Apothème : (1 + √2) ÷ 2 = 1,207106…, ce qui s’arrondit à 1,2071
   3. Diagonale moyenne : 1 + √2 = 2,414213…, ce qui s’arrondit à 2,4142
   4. Diagonale courte : √(2 + √2) = 1,847759…, ce qui s’arrondit à 1,8478
   5. Diagonale longue : √(4 + 2√2) = 2,613125…, ce qui s’arrondit à 2,6131
   6. Aire : 2 × (1 + √2) = 4,828427…, ce qui s’arrondit à 4,8284
   7. Angle intérieur : 135

   L’octogone unité, et la ligne qui montre le plus nettement les deux constantes : l’aire vaut 4,8284 et la diagonale moyenne 2,4142, qui est le même nombre divisé par deux. La diagonale courte de 1,8478 mérite qu’on s’y arrête, parce que c’est la diagonale qui saute un sommet et qu’elle vaut moins du double du côté — les sommets d’un octogone sont rapprochés comparés à ceux d’un hexagone, et c’est ce qui donne à la forme son air presque rond. Face à un carré de côté un, dont l’aire vaut 1, l’octogone couvre 4,83 fois plus de terrain.

3. Un côté de 5

   1. Périmètre : 8 × 5 = 40
   2. Apothème : 5 × (1 + √2) ÷ 2 = 6,035533…, ce qui s’arrondit à 6,0355
   3. Diagonale moyenne : 5 × (1 + √2) = 12,071067…, ce qui s’arrondit à 12,0711
   4. Diagonale courte : 5 × √(2 + √2) = 9,238795…, ce qui s’arrondit à 9,2388
   5. Diagonale longue : 5 × √(4 + 2√2) = 13,065628…, ce qui s’arrondit à 13,0656
   6. Aire : 2 × (1 + √2) × 25 = 120,710678…, ce qui s’arrondit à 120,7107
   7. Angle intérieur : 135

   Un octogone de cinq centimètres, à peu près la taille d’un petit carreau ou de la tête d’un poteau de clôture. C’est la ligne qui s’aligne sur une autre ligne de ce même tableau d’une manière qui ressemble à une erreur : la diagonale moyenne y vaut 12,0711, les quatre mêmes chiffres que l’apothème pour un côté de 10. Cela vient de ce que doubler le côté double toutes les longueurs de cette liste, si bien que toute valeur que prend l’apothème au côté 10 doit réapparaître quelque part au côté 5 — ici, sous la forme de la diagonale qui vaut exactement le double de l’apothème du plus petit octogone. Rien n’est calculé deux fois.

4. Un côté de 10

   1. Périmètre : 8 × 10 = 80
   2. Apothème : 10 × (1 + √2) ÷ 2 = 12,071067…, ce qui s’arrondit à 12,0711
   3. Diagonale moyenne : 10 × (1 + √2) = 24,142135…, ce qui s’arrondit à 24,1421
   4. Diagonale courte : 10 × √(2 + √2) = 18,477590…, ce qui s’arrondit à 18,4776
   5. Diagonale longue : 10 × √(4 + 2√2) = 26,131259…, ce qui s’arrondit à 26,1313
   6. Aire : 2 × (1 + √2) × 100 = 482,842712…, ce qui s’arrondit à 482,8427
   7. Angle intérieur : 135

   Un octogone de dix centimètres, taille courante pour une dalle ou un carreau décoratif. L’apothème de 12,0711 est la valeur avec laquelle le tracer : son double, 24,1421, est la largeur entre deux côtés opposés, et c’est la distance qu’on reporte sur l’établi. La diagonale longue de 26,1313 est la largeur d’un sommet à l’autre : un trou circulaire de ce diamètre est donc le plus petit par lequel cet octogone passera. Comparez les deux largeurs — 24,14 entre les côtés opposés contre 26,13 entre les sommets — et vous tenez l’octogone en une ligne : les sommets dépassent d’environ 8 pour cent au-delà des côtés plats, et c’est tout ce qu’a accompli le fait de les couper sur un carré.

5. Un côté de 0

   1. Périmètre : 8 × 0 = 0
   2. Apothème : 0 × (1 + √2) ÷ 2 = 0
   3. Diagonale moyenne : 0 × (1 + √2) = 0
   4. Diagonale courte : 0 × √(2 + √2) = 0
   5. Diagonale longue : 0 × √(4 + 2√2) = 0
   6. Aire : 2 × (1 + √2) × 0 = 0
   7. Angle intérieur : (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135

   Zéro est une saisie légale et non une case vide, et cette ligne est la démonstration la plus claire de ce qu’est l’angle intérieur : un octogone de côté nul s’est effondré en un point, six des sept valeurs valent zéro, et l’angle intérieur vaut toujours 135 degrés. C’est une propriété de la forme et non de la taille, il survit donc entièrement à la disparition de la taille. Laisser la case vide est un autre cas : sans rien dedans, la page n’affiche aucun résultat.

La page ne traite que les octogones réguliers : huit côtés de même longueur et huit angles de 135 degrés. Un octogone qui n’est pas régulier — un carré dont les coins ont été coupés inégalement, par exemple, ou un octogone allongé — n’a pas de longueur de côté unique et ne peut pas être décrit par un seul nombre, et la page vous donnera tranquillement l’octogone régulier de ce côté sans vous dire que la forme que vous avez en tête en est une autre. Les sorties sont en centimètres et en centimètres carrés quelle que soit l’unité choisie dans la liste déroulante : un côté saisi en pouces revient donc en centimètres, à vous de convertir. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention à la précision, et elles sont généreuses pour un côté mesuré ; les deux derniers chiffres n’ont de sens que si la saisie était exacte. L’angle intérieur est exact à 135 degrés et s’imprime sans décimale pour cette raison, mais il porte le même nombre sur chaque ligne : une page qui semble ne pas réagir à un changement de côté n’est donc pas figée, six des sept valeurs ont bougé. La page est bidimensionnelle et n’a aucun champ pour l’épaisseur de matière : elle ne peut donc pas donner le volume d’un prisme octogonal, le poids d’une plaque octogonale ni la profondeur d’un trou octogonal. Elle ne modélise pas non plus les carreaux carrés de remplissage qui comblent les vides quand on pave avec des octogones : c’est une question de calepinage et non la mesure d’une forme.

Pourquoi l’angle intérieur ne change-t-il jamais quand je change le côté ?

Parce que les angles d’un octogone régulier sont fixés par le nombre de côtés et par rien d’autre. L’angle intérieur d’un polygone régulier vaut le nombre de côtés moins deux, fois 180 degrés, divisé par le nombre de côtés ; pour huit côtés cela fait 135 degrés, et aucune longueur de côté n’apparaît dans cette expression. Un octogone de côté 1 et un octogone de côté 100 ont exactement les mêmes angles et ne diffèrent que par la taille. C’est pourquoi la dernière colonne du tableau de référence porte le même nombre sur chaque ligne, et c’est ce qui fait qu’un réglage d’onglet à 67,5 degrés fonctionne pour tous les octogones que vous couperez jamais.

Laquelle des trois diagonales est laquelle ?

La diagonale courte saute un sommet et vaut le côté multiplié par la racine carrée de deux plus racine de deux, soit 1,85 pour un côté unité. La diagonale moyenne saute deux sommets et vaut le côté multiplié par un plus racine de deux, soit 2,41. La diagonale longue traverse de part en part par le centre et vaut le côté multiplié par la racine carrée de quatre plus deux fois racine de deux, soit 2,61. Un hexagone n’en a que deux parce qu’avec six sommets il n’y a que deux portées distinctes ; huit sommets en donnent trois. Celle du milieu vaut exactement le double de l’apothème, ce qui est le moyen le plus rapide de la distinguer des autres.

Qu’est-ce que l’apothème et pourquoi compte-t-il pour un octogone ?

C’est la distance du centre jusqu’au milieu d’un côté, et c’est le rayon du plus grand cercle qui tient à l’intérieur. Pour un octogone, il compte plus que pour la plupart des formes parce que ce sont les côtés plats qui servent à mesurer la pièce terminée : deux fois l’apothème est la largeur entre deux côtés opposés, et contrairement aux sommets ces côtés plats se mesurent facilement à la règle. Si vous tracez un octogone à découper, l’apothème est le premier nombre à reporter sur la pièce.

De combien un octogone est-il plus grand qu’un carré de même côté ?

D’environ 4,83 fois l’aire, puisqu’un octogone unité couvre 4,8284 unités carrées et qu’un carré unité en couvre 1. Ce nombre résume toute la forme : un octogone est un carré dont on a coupé les quatre coins, et couper les coins retire de l’aire au carré tout en laissant aux quatre côtés plats presque toute leur largeur. Mais l’octogone a aussi huit arêtes au lieu de quatre : si c’est de la matière de bordure ou de cadre que vous achetez, comparez donc les périmètres plutôt que les aires.

Quel est le plus petit trou rond par lequel un octogone passera ?

Un cercle dont le diamètre égale la diagonale longue, puisque c’est la mesure la plus grande à travers la forme et qu’elle va d’un sommet à l’autre en passant par le centre. Pour un côté de 10, cela fait 26,1313 centimètres. La même valeur lue dans l’autre sens est le diamètre du cercle dans lequel l’octogone s’inscrit exactement, les huit sommets touchant le cercle, ce qui est la donnée utile quand vous découpez l’octogone dans un flan rond et voulez perdre le moins de matière possible.

L’octogone pave-t-il un sol à lui seul ?

Non, et les vides sont la partie intéressante. Des octogones posés à plat laissent un petit trou carré entre chaque groupe de quatre, et ces carrés sont précisément ce qui fait du pavage octogonal un motif — le sol classique octogones et carrés, ce sont les octogones qui couvrent et les carrés qui comblent. La page mesure un octogone et ne modélise pas le calepinage : le nombre de carreaux nécessaires pour un sol est donc un calcul séparé de ceux présentés ici.

• Octagon — the eight-sided polygon, with the area, the apothem, the three diagonals and the interior angle this page computes, and the construction as a square with its corners cut off — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — the family a regular octagon belongs to, with the interior angle fixed by the side count and the apothem defined as the distance from the centre to a side, which is what makes the middle diagonal exactly twice it — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of this shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; les côtés, le périmètre et l'aire d'un polygone régulier relèvent du programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部