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CalcMax

Calculatrice de pentagone

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

61,9372 cm²

Aire

Périmètre
30,0000 cm
Apotème
4,1291 cm
Diagonale
9,7082 cm
Angle intérieur
108 °

Une calculatrice de pentagone prend la longueur du côté d’un pentagone régulier et renvoie cinq mesures : l’aire, le périmètre, l’apothème, la diagonale et l’angle intérieur. C’est à cinq côtés qu’un polygone régulier commence à ressembler à un cercle plutôt qu’à une boîte, et le pentagone est le premier d’entre eux à posséder une propriété vraiment surprenante. L’angle intérieur d’un polygone régulier est fixé par son nombre de côtés, et pour cinq côtés il vaut 108 degrés ; la moitié, 54 degrés, est l’onglet que demande un cadre à cinq côtés, le genre de nombre qu’un encadreur ou un fabricant de lanternes consulte plutôt qu’il ne le déduit. L’aire vaut la racine carrée de vingt-cinq plus dix fois la racine carrée de cinq, divisée par quatre, multipliée par le côté au carré, et la constante tombe à environ 1,72 — un nombre étonnamment compact pour une forme qui contient une racine carrée imbriquée. L’apothème, la distance du centre au milieu d’un côté, est le côté divisé par deux fois la tangente de 36 degrés. Et la diagonale, la ligne qui joint deux sommets non voisins, possède la propriété qui a rendu cette forme célèbre : elle vaut le côté multiplié par le nombre d’or, environ 1,618, sur tout pentagone de toute taille. C’est ce rapport qui explique que le pentagone soit partout dans le design et dans la nature alors que l’hexagone est partout dans l’ingénierie. Le nombre d’or est le nombre tel que le tout soit au plus grand ce que le plus grand est au plus petit, et les diagonales d’un pentagone régulier se coupent exactement dans cette proportion — ce qui explique aussi que l’étoile à cinq branches tracée à partir des diagonales d’un pentagone ne soit rien d’autre que des triangles d’or empilés les uns dans les autres, et que la forme se retrouve sur des drapeaux, dans des logos et dans l’agencement spiralé des feuilles et des graines. Le pentagone est également la seule forme de cette série qui ne pave pas un plan à elle seule : des pentagones réguliers laissent des trous quand on les pose bord à bord, ce qui oblige un pavage pentagonal à faire appel à une seconde forme pour combler, et ce qui explique que cette forme soit plus souvent décorative que structurelle.

Pentagones réguliers d’un côté de zéro à un côté de dix

Côté (cm)Aire (cm²)Périmètre (cm)Apothème (cm)Diagonale (cm)Angle intérieur (°)
661.9372304.12919.7082108
11.720550.68821.618108
26.8819101.37643.2361108
315.4843152.06464.8541108
543.0119253.4418.0902108
7.596.776937.55.161412.1353108
10172.0477506.881916.1803108
00000108

Huit pentagones, et la première ligne est celle que la page charge au départ. La dernière colonne porte le même nombre sur chaque ligne, 108, et c’est la propriété et non une erreur de copier-coller : l’angle intérieur d’un pentagone régulier est fixé par le fait d’avoir cinq côtés, il ne bouge donc pas quand la taille bouge, et c’est la seule valeur de la page qui survive au passage du côté à zéro. La colonne de la diagonale est celle à vérifier, et elle se vérifie de la même façon sur chaque ligne — divisez-la par le côté et vous obtenez le nombre d’or : 1,618 ÷ 1, 4,8541 ÷ 3, 8,0902 ÷ 5, 16,1803 ÷ 10, tous égaux à 1,618. C’est la chose la plus caractéristique de cette forme et la raison pour laquelle elle apparaît dans le design et dans les plantes bien plus qu’un polygone à cinq côtés n’aurait le droit d’y prétendre. Deux cases de ce tableau répètent des chiffres d’une ligne à l’autre d’une manière qui ressemble à une erreur et n’en est pas une : l’apothème pour un côté de 10 vaut 6,8819, et l’aire pour un côté de 2 aussi. C’est la même expression de racine carrée atteinte par des chemins différents, l’une étant une longueur et l’autre une aire, et cette rencontre ne signifie rien de plus que le fait que les deux expressions partagent une valeur à ces deux tailles. La première ligne est aussi celle qui se compare aux deux pages de polygones voisines à un côté de 6 : 61,9372 ici, contre 93,5307 pour l’hexagone et 173,8234 pour l’octogone — la même arête, et d’autant plus de surface renfermée qu’il y a de côtés, en route vers le cercle. Chaque nombre ici est recalculé à partir de son côté au moment où la page est construite, en centimètres et en degrés, et les largeurs décimales sont celles qu’utilise le panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (61.9372 plutôt que 61,9372), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

A = √(25 + 10√5) ÷ 4 × s² P = 5s a = s ÷ (2·tan(π ÷ 5)) diagonale = φ·s angle intérieur = 108°

Côté
La longueur de l’un quelconque des cinq côtés, en centimètres. Comme pour tout polygone régulier, c’est la seule saisie qui existe : les cinq côtés sont égaux et les cinq angles sont fixés à 108 degrés, donc le côté détermine à lui seul toute la forme
Aire
La surface que couvre le pentagone, en centimètres carrés : la racine carrée de vingt-cinq plus dix fois la racine carrée de cinq, divisée par quatre, multipliée par le côté au carré. La constante vaut environ 1,7205, et c’est le chiffre à retenir — un pentagone couvre environ 1,72 fois le carré construit sur l’un de ses côtés
Périmètre
La longueur du contour, en centimètres : cinq fois le côté, puisque les cinq sont égaux. C’est la seule sortie qui soit toujours exacte dès que le côté l’est, ce qui en fait la valeur sur laquelle vérifier les autres quand un résultat paraît faux
Apothème
La distance du centre jusqu’au milieu d’un côté, en centimètres, soit le côté divisé par deux fois la tangente de 36 degrés. C’est le rayon du plus grand cercle qui tient à l’intérieur du pentagone, et son double est la largeur de la forme mesurée entre deux côtés opposés
Diagonale
La distance entre deux sommets séparés par un seul autre sommet, en centimètres, soit le côté multiplié par le nombre d’or. Il n’y a ici qu’une seule diagonale et non les deux d’un hexagone, parce que les cinq diagonales d’un pentagone régulier sont toutes de la même longueur — chacune saute exactement un sommet, il n’y a donc pas de paire longue et courte à distinguer
Angle intérieur
L’angle entre deux côtés voisins, à l’intérieur du pentagone : 108 degrés, fixés là par le seul nombre de côtés. Il ne dépend pas de la longueur du côté, et c’est pourquoi cette colonne du tableau de référence porte le même nombre sur chaque ligne. Sa moitié, 54 degrés, est l’onglet que demande un cadre à cinq côtés
φ
Le nombre d’or, environ 1,6180339887, qui est le nombre par lequel la diagonale vaut le côté. C’est le rapport dans lequel les diagonales d’un pentagone se coupent, et c’est la raison pour laquelle cette forme apparaît dans le design et dans les plantes bien plus souvent que son arithmétique ne le laisserait croire
√5
La racine carrée de cinq, environ 2,2360680. Elle apparaît dans l’aire par l’expression vingt-cinq plus dix racine de cinq, et c’est elle qui fait du nombre d’or un nombre irrationnel plutôt qu’une fraction — un plus la racine carrée de cinq, sur deux

Cette page est faite pour le pentagone en tant qu’objet, et les pentagones sont en général décoratifs plutôt que structurels, ce qui change ce qu’on attend des nombres. Si vous en découpez un dans une plaque — un plateau de table, une enseigne, un pavé, un bac de jardin —, l’aire vous dit quelle matière vous consommez et l’apothème vous dit comment le tracer depuis le centre, puisque le double de l’apothème est la largeur entre deux côtés opposés et que c’est la mesure sur laquelle une règle peut réellement se poser. La diagonale est alors ce qui vous dit si la pièce terminée tient dans l’espace où elle doit aller, car c’est la plus grande ligne qui traverse la forme, d’un sommet à l’autre en passant par le milieu. Si vous assemblez quelque chose à partir de cinq morceaux — un cadre, une lanterne, un toit de kiosque, une jardinière —, c’est l’angle intérieur de 108 degrés qu’il faut aller chercher, puisque l’onglet de chaque pièce en est la moitié, 54 degrés, et que ce réglage est le même pour tous les pentagones réguliers, quelle que soit leur taille. Le nombre d’or est la raison de regarder la colonne de la diagonale même quand vous n’en avez pas besoin : c’est la signature de la forme, et un pentagone dont la diagonale ne vaut pas 1,618 fois le côté n’est pas un pentagone régulier, quoi qu’il en ait l’air. Et si vous comparez des formes plutôt que d’en mesurer une, le tableau à côté égal de cette page et ceux qui l’entourent donnent la comparaison la plus juste qui soit : à un côté de 6, le pentagone couvre 61,9372, l’hexagone 93,5307 et l’octogone 173,8234 — la même arête achète donc d’autant plus d’aire qu’il y a de côtés, en route vers le cercle.

Exemples détaillés

  1. Un côté de 6

    1. Périmètre : 5 × 6 = 30
    2. Diagonale : φ × 6 = 1,6180339… × 6 = 9,708203…, ce qui s’arrondit à 9,7082
    3. Apothème : 6 ÷ (2 × tan 36°) = 6 ÷ 1,453085… = 4,129145…, ce qui s’arrondit à 4,1291
    4. Aire : 1,7204774… × 36 = 61,937187…, ce qui s’arrondit à 61,9372
    5. Angle intérieur : (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108, exact

    La saisie que la page charge au départ. La vérification à lui faire passer est la diagonale divisée par le côté : 9,7082 ÷ 6 vaut 1,618, soit le nombre d’or, et ce rapport tient sur chaque ligne du tableau comme sur tous les pentagones réguliers qui ont jamais existé. C’est aussi la ligne qui s’aligne avec les deux pages voisines à même longueur de côté : un côté de 6 donne 61,9372 ici, contre 93,5307 sur la page de l’hexagone et 173,8234 sur celle de l’octogone — même arête, plus de côtés, plus d’aire. Le pentagone est le plus petit des trois et aussi le plus large pour son aire, puisque avec cinq côtés seulement c’est le moins proche du cercle.

  2. Un côté de 1

    1. Périmètre : 5 × 1 = 5
    2. Diagonale : φ × 1 = 1,6180339…, ce qui s’arrondit à 1,618
    3. Apothème : 1 ÷ (2 × tan 36°) = 0,688190…, ce qui s’arrondit à 0,6882
    4. Aire : 1,7204774… × 1 = 1,7204774…, ce qui s’arrondit à 1,7205
    5. Angle intérieur : 108

    Le pentagone unité, et la ligne où les constantes se lisent seules : l’aire vaut 1,7205, qui est la constante d’aire tout entière, et la diagonale vaut 1,618, qui est le nombre d’or lui-même. Les deux méritent d’être retenus sous cette forme. Comparez l’aire au carré de côté un, dont l’aire vaut 1, et au 0,433 du triangle comme au 2,598 de l’hexagone : cinq côtés se placent entre le carré et l’hexagone, ce qui est la tendance que suit toute la famille.

  3. Un côté de 3

    1. Périmètre : 5 × 3 = 15
    2. Diagonale : φ × 3 = 4,854101…, ce qui s’arrondit à 4,8541
    3. Apothème : 3 ÷ (2 × tan 36°) = 2,064572…, ce qui s’arrondit à 2,0646
    4. Aire : 1,7204774… × 9 = 15,484296…, ce qui s’arrondit à 15,4843
    5. Angle intérieur : 108

    La ligne qui montre le nombre d’or sous son jour le plus ingrat et donc le plus convaincant : la diagonale vaut 4,8541 et le côté 3, et 4,8541 ÷ 3 vaut 1,618. Un rapport qui tombe sur les trois mêmes chiffres pour un côté de 1, un côté de 3 et un côté de 6 est une propriété de la forme et non de l’arithmétique. Cette ligne est aussi celle dont l’aire et le périmètre sont les plus proches du tableau — 15,4843 contre 15 —, ce qui est une quasi-rencontre et non une égalité, et les deux sont de toute façon des quantités différentes en unités différentes.

  4. Un côté de 10

    1. Périmètre : 5 × 10 = 50
    2. Diagonale : φ × 10 = 16,180339…, ce qui s’arrondit à 16,1803
    3. Apothème : 10 ÷ (2 × tan 36°) = 6,881909…, ce qui s’arrondit à 6,8819
    4. Aire : 1,7204774… × 100 = 172,047740…, ce qui s’arrondit à 172,0477
    5. Angle intérieur : 108

    Un pentagone de dix centimètres, à peu près la taille d’un pavé. L’apothème de 6,8819 est la valeur avec laquelle le tracer : son double, 13,7638, est la largeur entre deux côtés opposés. Cette ligne contient une coïncidence qu’il vaut mieux repérer avant qu’elle ne ressemble à une erreur — l’apothème y vaut 6,8819, les quatre mêmes chiffres que l’aire pour un côté de 2, plus haut dans le tableau. Les deux sont la même expression de racine carrée atteinte par des chemins différents, l’une étant une longueur et l’autre une aire, et le fait qu’elles partagent quatre chiffres à ces deux tailles ne signifie rien de plus.

  5. Un côté de 0

    1. Périmètre : 5 × 0 = 0
    2. Diagonale : φ × 0 = 0
    3. Apothème : 0 ÷ (2 × tan 36°) = 0
    4. Aire : 1,7204774… × 0 = 0
    5. Angle intérieur : (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108

    Zéro est une saisie légale et non une case vide, et cette ligne montre le plus clairement la nature de l’angle intérieur : un pentagone de côté nul s’est effondré en un point, quatre des cinq valeurs valent zéro, et l’angle intérieur vaut toujours 108 degrés. C’est une propriété de la forme et non de la taille, il survit donc entièrement à la taille. Laisser la case vide est un autre cas : sans rien dedans, la page n’affiche aucun résultat, parce qu’il n’y a rien à partir de quoi travailler.

Limites

La page ne traite que les pentagones réguliers : cinq côtés de même longueur et cinq angles de 108 degrés. Un pentagone qui n’est pas régulier — en forme de maison, ou allongé — n’a pas de longueur de côté unique et ne peut pas être décrit par un seul nombre, et la page vous donnera tranquillement le pentagone régulier de ce côté sans vous dire que la forme que vous avez en tête en est une autre. Les sorties sont en centimètres et en centimètres carrés quelle que soit l’unité choisie dans la liste déroulante : un côté saisi en pouces revient donc en centimètres, à vous de convertir. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention à la précision, et elles sont généreuses pour un côté mesuré ; les deux derniers chiffres n’ont de sens que si la saisie était exacte. L’angle intérieur est exact à 108 degrés et s’imprime sans décimale, mais il est identique sur chaque ligne : une page qui semble ne pas réagir à un changement de côté n’est donc pas figée, quatre des cinq valeurs ont bougé. Il n’y a qu’une diagonale sur cette page et non deux, et ce n’est pas un oubli : les cinq diagonales d’un pentagone régulier sont toutes de même longueur, il n’y a donc pas de paire longue et courte à imprimer. La page est bidimensionnelle et n’a aucun champ pour l’épaisseur de matière : elle ne peut donc pas donner le volume d’un prisme pentagonal ni le poids d’une plaque pentagonale. Elle ne couvre pas non plus l’étoile à cinq branches tracée à partir des diagonales, qui est une forme faite de plusieurs pentagones valant de triangles plutôt qu’un seul pentagone.

Questions fréquentes

Pourquoi la diagonale d’un pentagone vaut-elle toujours 1,618 fois son côté ?
Parce que ce nombre est le nombre d’or, et qu’un pentagone régulier est l’un des endroits les plus simples où il apparaît. Ce rapport est défini comme celui où le tout est au plus grand ce que le plus grand est au plus petit, et les diagonales d’un pentagone se coupent exactement dans cette proportion — ce qui fait que le rapport de la diagonale au côté est encore ce même rapport. Il tient sur tout pentagone de toute taille, et c’est pourquoi la colonne des diagonales du tableau de référence se vérifie en divisant la diagonale de n’importe quelle ligne par son côté.
Pourquoi la page n’affiche-t-elle qu’une diagonale là où la page de l’hexagone en affiche deux ?
Parce qu’un pentagone régulier n’a qu’une seule longueur de diagonale. Chaque diagonale joint deux sommets séparés par exactement un autre sommet, et par symétrie les cinq donnent le même résultat. Un hexagone est différent : avec six sommets il y a deux portées distinctes, l’une qui saute un sommet et l’autre qui traverse de part en part, et cette page-là imprime les deux. Imprimer une diagonale longue et une courte pour un pentagone reviendrait à imprimer deux fois le même nombre et à vous inviter à chercher une différence qui n’existe pas.
Pourquoi l’angle intérieur ne change-t-il jamais quand je change le côté ?
Parce que les angles d’un pentagone régulier sont fixés par le nombre de côtés et par rien d’autre. L’angle intérieur d’un polygone régulier vaut le nombre de côtés moins deux, fois 180 degrés, divisé par le nombre de côtés ; pour cinq côtés cela fait 108 degrés, et aucune longueur de côté n’apparaît dans cette expression. Un pentagone de côté 1 et un pentagone de côté 100 ont les mêmes angles et ne diffèrent que par la taille. C’est pourquoi la dernière colonne du tableau de référence porte le même nombre sur chaque ligne, et c’est ce qui fait qu’un réglage d’onglet à 54 degrés fonctionne pour tous les pentagones que vous couperez jamais.
Qu’est-ce que l’apothème et à quoi sert-il ici ?
C’est la distance du centre jusqu’au milieu d’un côté, et c’est le rayon du plus grand cercle qui tient à l’intérieur. Pour un pentagone, c’est la valeur avec laquelle on trace la forme : son double est la largeur entre deux côtés opposés, et ces côtés plats sont faciles à mesurer à la règle alors que les sommets ne le sont pas. Si vous tracez un pentagone sur une feuille, reportez l’apothème depuis le centre cinq fois de suite et vous obtenez les milieux des cinq côtés.
Les pentagones réguliers pavent-ils un sol ?
Non, et c’est la seule forme de la famille dans ce cas. Trois pentagones réguliers autour d’un point laissent un trou, parce que trois fois 108 degrés font 324 et qu’un tour complet en fait 360 — les 36 degrés manquants ne sont jamais comblés. C’est pourquoi un sol pentagonal réclame une seconde forme pour combler les vides, et c’est la raison pour laquelle le pentagone est plus souvent décoratif que structurel, tandis que l’hexagone, qui pave parfaitement, est la forme des carrelages et des alvéoles.
Le côté peut-il valoir zéro, et est-ce la même chose que laisser la case vide ?
Zéro est une saisie réelle : quatre des cinq sorties reviennent à zéro, ce qui est la réponse honnête pour un pentagone sans taille, et l’angle intérieur vaut toujours 108 degrés parce qu’il ne dépend pas du tout de la taille. Une case vide est autre chose — sans rien de saisi, la page n’affiche aucun résultat, parce qu’il n’y a rien à partir de quoi travailler. Cette distinction compte pendant la frappe, puisque vider la case pour retaper un nombre ne doit pas faire clignoter une ligne de zéros.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’hexagoneAire, périmètre et diagonales d’un hexagone régulier.Calculatrice d’octogoneAire, périmètre, apothème et diagonales d’un octogone.Calculatrice de polygoneAire, périmètre et angles d’un polygone régulier.Calculatrice de cercleRayon, diamètre, circonférence et aire depuis un seul.