Aller au contenu principal
CalcMax

Calculatrice de cercle

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm² – 1 000 000 000 000 000 000 cm²

Résultat

5,0000 cm

Rayon

Diamètre
10,0000 cm
Circonférence
31,4159 cm
Aire
78,5398 cm²

Une calculatrice de cercle prend la seule des quatre mesures que vous connaissez — rayon, diamètre, circonférence ou aire — et vous rend les trois autres. Ces quatre grandeurs décrivent le même cercle de quatre façons : dès que l’une est fixée, les trois autres le sont aussi. Saisissez 5 dans la case du rayon et la page renvoie un diamètre de 10, une circonférence de 31,4159 et une aire de 78,5398. L’arithmétique tient en deux formules et leurs inverses. La circonférence vaut π fois le diamètre, l’aire vaut π fois le rayon au carré, et une division par deux, par deux π ou par π ramène au rayon à partir de n’importe laquelle des trois autres. C’est la raison pour laquelle la page vous demande de remplir exactement une case plutôt que d’imposer le rayon : imposer le rayon serait commode si le rayon était toujours ce que vous avez sous la main, mais un cercle relevé sur un plan se présente souvent comme une aire ou comme une longueur d’entourage, et une page qui exigerait le rayon vous obligerait à faire la division vous-même avant de vous aider. Les quatre cases sont donc toutes facultatives et n’importe laquelle fait l’affaire. En remplir deux est refusé plutôt qu’ignoré, parce que deux de ces valeurs ne sont jamais indépendantes : un rayon et un diamètre qui se contredisent ne décrivent aucun cercle, et en choisir un en silence masquerait la contradiction au lieu de la montrer. Deux points sur les résultats valent la peine d’être connus avant de s’en servir. Les réponses sont en centimètres et en centimètres carrés, quelle que soit l’unité laissée dans la liste déroulante à côté de la saisie. C’est un choix délibéré et non un oubli : les quatre sorties forment un ensemble fixe calculé de la même manière pour tout le monde, le tableau de référence plus bas est calculé dans la même unité pour que la page ne se contredise pas, et passer la saisie en pouces ne change que la façon dont votre nombre est lu à l’entrée. Si vous avez mesuré en pouces, la réponse reste affichée en centimètres et il vous faudra la reconvertir. Enfin, les quatre nombres affichés appartiennent à la valeur que vous avez saisie et non les uns aux autres. Une circonférence de 20 donne un rayon de 3,1831, et l’aire exacte de ce cercle vaut 31,8310 ; multiplier le rayon affiché par lui-même puis par π donne 31,8309, parce que 3,1831 est déjà une version arrondie d’un nombre qui ne se termine jamais. L’aire affichée est la bonne : elle vient du rayon non arrondi, et l’écart est une propriété de l’écriture d’un nombre irrationnel. La page vous laisse aussi partir de l’aire, et c’est le sens que l’on rate à la main le plus souvent : le rayon n’est pas l’aire divisée par π, mais la racine carrée de ce quotient.

Cercles obtenus à partir de chacune des quatre données de départ

DonnéeRayon (cm)Diamètre (cm)Circonférence (cm)Aire (cm²)
r51031.415978.5398
d61237.6991113.0973
C3.18316.36622031.831
A5.641911.283835.4491100
r126.28323.1416
r0.513.14160.7854
r0000
A564.18961128.37923544.90771000000

Huit cercles, et la première colonne indique laquelle des quatre valeurs chaque ligne prend comme point de départ — r pour un rayon, d pour un diamètre, C pour une circonférence et A pour une aire. Cette colonne est là parce que les quatre nombres sont affichés sur chaque ligne : une fois le cercle résolu, il ne lui manque plus rien, et sans la première colonne on ne saurait pas laquelle des quatre valeurs était la donnée. Les quatre premières lignes prennent les quatre points de départ dans l’ordre, et la première est la valeur avec laquelle la page se charge. La troisième ligne est celle qu’il faut étudier, puisqu’elle part d’une circonférence et montre l’arithmétique qui empêche les nombres affichés de se reproduire les uns les autres : l’aire de 31,831 vaut cent divisé par π, et élever le rayon affiché au carré donnerait 31,8309. La quatrième ligne part d’une aire de cent et obtient un rayon de 5,6419, qui est la racine carrée que l’on oublie — diviser cent par π aurait donné 31,831. Les cinquième et sixième lignes sont le cercle de rayon un et sa moitié, et elles font à elles deux une remarque qui mérite un second regard : l’aire du cercle de rayon un vaut 3,1416, exactement la circonférence du cercle de rayon un demi imprimée une ligne plus bas. Les mêmes quatre chiffres désignent une aire sur une ligne et une longueur sur l’autre, ce qui est le rappel le plus net de ce tableau : un en-tête de colonne porte autant de la réponse que le nombre lui-même. La septième ligne est un cercle de rayon zéro, où chaque colonne vaut zéro et où la réponse est réelle et non vide. La huitième part d’une aire d’un million de centimètres carrés et donne un rayon de 564,1896 centimètres, un peu plus de cinq mètres et demi : c’est le genre de valeur pour lequel la case de l’aire est dimensionnée. Notez aussi que la première colonne n’est pas répartie également : quatre des huit lignes partent d’un rayon, parce que le rayon est la valeur à partir de laquelle les trois autres sont définies, tandis que le diamètre et la circonférence n’apparaissent qu’une fois chacun. Chaque nombre est recalculé à partir de sa valeur de départ lors de la construction de la page, et tous sont en centimètres. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (31.4159 plutôt que 31,4159), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte — et les milliers ne sont pas groupés (1000000 plutôt que 1 000 000).

Formule

d = 2r C = 2πr = πd A = πr² et inversement : r = d ÷ 2 = C ÷ 2π = √(A ÷ π)

Rayon
La distance du centre au bord, en centimètres. Zéro est accepté et décrit un cercle de taille nulle, auquel cas les quatre sorties valent zéro
Diamètre
La distance d’un bord à l’autre en passant par le centre, soit deux fois le rayon. Remplir cette case plutôt que celle du rayon ne change rien au résultat, puisque la page la divise par deux avant tout calcul
Circonférence
La distance sur tout le tour, soit π fois le diamètre. C’est la seule entrée qui exige une division par deux π pour revenir au rayon, et c’est donc là que les quatre décimales affichées cessent de suffire pour retrouver les autres à la main
Aire
La surface intérieure du cercle, π fois le rayon au carré, en centimètres carrés. Le chemin inverse passe par une division par π et une racine carrée, ce qui explique que la case de l’aire accepte des valeurs bien plus grandes que les trois cases de longueur
π
Le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, environ 3,14159. La page emploie la valeur complète en double précision plutôt que de la raccourcir à trois décimales : un calcul fait à la main avec 3,14 s’écartera du résultat affiché
Quatre décimales
La largeur d’écriture de chaque sortie. Le rayon et le diamètre sont souvent exacts et s’affichent avec des zéros finals ; la circonférence et l’aire sont presque toujours irrationnelles, et pour ces deux-là les quatre chiffres marquent l’endroit où la réponse est coupée plutôt que celui où elle se termine

La page est utile précisément parce qu’un cercle arrive rarement sous forme de rayon. Une table ronde se vend par son diamètre, une bordure d’engazonnement se vend au mètre et correspond à une circonférence, un pot de peinture couvre tant de mètres carrés et la surface à peindre est un cercle, et une roue de vélo s’annonce par la dimension de son pneu. Chacune de ces situations arrive avec une des quatre mesures, et chacune peut aller directement dans la case correspondante. C’est dans le sens inverse que l’on se trompe à la main. Si l’on part de l’aire, le rayon n’est pas l’aire divisée par π : c’est la racine carrée de ce quotient, et oublier la racine donne un rayon faux d’un facteur égal à sa propre racine carrée, ce qui, pour un massif de taille moyenne, n’est pas une petite erreur. Si l’on part de la circonférence, le rayon vaut la circonférence divisée par deux π, et utiliser 3,14 au lieu de la valeur complète suffit à déplacer le dernier chiffre affiché. La page fait les deux correctement, ce qui en fait un moyen raisonnable de vérifier un calcul fait à la main dont vous n’êtes pas sûr. Une habitude vaut la peine d’être gardée : quel que soit le calcul, le diamètre doit rester plus petit que la circonférence et le rayon plus petit que le diamètre ; si un diamètre ressort plus grand que la circonférence, c’est que la valeur a été saisie dans la mauvaise case.

Exemples détaillés

  1. Un rayon de cinq

    1. Diamètre : 5 × 2 = 10
    2. Circonférence : 2 × π × 5 = 31,415926…, que l’on arrondit à 31,4159
    3. Aire : π × 5 × 5 = 78,539816…, que l’on arrondit à 78,5398
    4. Le rayon revient inchangé, puisque c’est la valeur donnée

    La valeur avec laquelle la page se charge, et la plus facile à contrôler : un cercle de rayon cinq a un diamètre de dix et une aire d’environ 78,5, ce qui est cohérent puisque π vaut un peu plus de trois et que cinq au carré vaut vingt-cinq. Le rayon s’affiche 5,0000 plutôt que 5 : c’est une largeur d’affichage et non une affirmation de précision, il vaut exactement cinq.

  2. Un diamètre de douze

    1. Rayon : 12 ÷ 2 = 6
    2. Circonférence : π × 12 = 37,699111…, que l’on arrondit à 37,6991
    3. Aire : π × 6 × 6 = 113,097335…, que l’on arrondit à 113,0973
    4. Le diamètre reste tel quel

    La même figure atteinte par l’autre bout, et un rappel que le diamètre et le rayon sont exacts alors que les deux autres ne le sont pas : diviser un nombre pair par deux n’introduit aucune erreur, alors que multiplier par π en introduit toujours une. Une aire d’un peu plus de 113 est un contrôle raisonnable : six au carré vaut trente-six, et trente-six fois π donne un peu plus de cent treize.

  3. Une circonférence de vingt

    1. Rayon : 20 ÷ (2 × π) = 3,1830988…, que l’on arrondit à 3,1831
    2. Diamètre : ce rayon doublé vaut 6,3661977…, que l’on arrondit à 6,3662
    3. Aire : π fois le rayon non arrondi au carré, soit 100 ÷ π = 31,830988…, que l’on arrondit à 31,8310
    4. La circonférence reste telle quelle

    Le cas qui montre pourquoi les quatre nombres affichés ne se reproduisent pas toujours les uns les autres. L’aire vaut exactement cent divisé par π, et elle est calculée à partir du rayon non arrondi, non à partir du 3,1831 affiché ; élever ce rayon affiché au carré puis multiplier par π donne 31,8309. Le chiffre affiché est le bon. Lu dans l’autre sens, l’aire d’un cercle de circonférence 20 vaut le tiers de cent, ce qui est le contrôle mental rapide qui dit que 31,83 est du bon ordre de grandeur.

  4. Une aire de cent centimètres carrés

    1. Rayon : √(100 ÷ π) = 5,6418958…, que l’on arrondit à 5,6419
    2. Diamètre : ce rayon doublé vaut 11,2837916…, que l’on arrondit à 11,2838
    3. Circonférence : 2 × π × le rayon non arrondi = 35,449077…, que l’on arrondit à 35,4491
    4. L’aire reste telle quelle

    Le sens que l’on rate sur le papier : le rayon est la racine carrée de l’aire divisée par π, et non l’aire divisée par π, ce qui donnerait 31,831. Cent centimètres carrés, c’est une figure d’environ onze centimètres de large, ce qui est un contrôle utile : un cercle de rayon 31,8 aurait une aire de trois mille, pas de cent. Ce même nombre 31,831 est l’aire calculée dans l’exemple précédent à partir d’une circonférence de vingt ; ici, c’est ce que produirait le calcul faux, ce qui est une coïncidence entre ces deux entrées et non un indice à retenir.

  5. Un rayon de zéro

    1. Diamètre : 0 × 2 = 0
    2. Circonférence : 2 × π × 0 = 0
    3. Aire : π × 0 × 0 = 0
    4. Les quatre sorties valent zéro, ce qui est la lecture correcte d’un cercle de taille nulle

    Zéro est ici une entrée légale et non une case vide. Un cercle de rayon zéro est un point unique, et chacune des quatre mesures vaut zéro : une ligne de zéros est donc une vraie réponse. La page distingue ce cas d’un formulaire entièrement vide, qu’elle refuse en demandant de remplir une case : la différence entre une figure réduite à rien et un formulaire que l’on n’a pas rempli.

Limites

Les sorties sont toujours en centimètres et en centimètres carrés, quelle que soit l’unité choisie dans la liste déroulante. Choisir les pouces change la façon dont votre nombre est interprété à l’entrée et rien de la façon dont la réponse est affichée : un cercle saisi à dix pouces revient avec un rayon de 25,4 centimètres. C’est un choix délibéré, et le tableau de référence suit la même règle pour que la page ne se contredise jamais, mais il vous faudra convertir la réponse vous-même si vous la vouliez dans l’unité saisie. Les quatre valeurs affichées sont dérivées de la valeur saisie et non les unes des autres : elles ne se reproduisent donc pas toujours au dernier chiffre près, et multiplier le rayon affiché par π peut différer de la circonférence affichée à la quatrième décimale ; c’est la circonférence affichée qu’il faut croire. La circonférence et l’aire sont presque toujours irrationnelles, si bien que quatre décimales sont une coupe et non une réponse complète ; arrondir deux fois, c’est-à-dire relire une valeur affichée et s’en servir dans le calcul suivant, est précisément la façon dont l’écart apparaît. Le rayon et le diamètre sont exacts lorsque l’entrée l’était, mais ils sont arrondis eux aussi lorsqu’ils proviennent d’une aire ou d’une circonférence. Une seule case au maximum peut être remplie : deux ou plus sont refusées, parce que les quatre valeurs ne sont pas indépendantes et qu’un couple qui se contredit ne décrit aucun cercle. La page n’accepte aucune valeur négative, et elle ne vous dira pas qu’un cercle d’aire donnée a un rayon que vous auriez trouvé plus vite en prenant une racine carrée plutôt qu’en divisant.

Questions fréquentes

Quelles cases dois-je remplir ?
Exactement une, celle que vous connaissez. Les quatre sont facultatives et n’importe laquelle convient : la page prend la valeur que vous lui donnez, en déduit le rayon, puis calcule les trois autres à partir de là. Remplir deux cases est refusé plutôt que résolu, parce que les quatre mesures ne sont pas indépendantes : un rayon de 5 et un diamètre de 12 ne peuvent pas décrire le même cercle, et la page préfère le dire plutôt que d’en choisir un en silence.
Pourquoi la réponse est-elle en centimètres alors que j’ai saisi des pouces ?
Parce que les quatre sorties forment un ensemble fixe en centimètres et en centimètres carrés, choisi pour que le panneau de résultats et le tableau de référence situé en dessous soient toujours d’accord. La liste déroulante change la façon dont votre nombre est compris à l’entrée, pas la façon dont la réponse est écrite : un rayon saisi à 10 pouces revient à 25,4 centimètres. Si vous voulez la réponse en pouces, divisez les sorties de longueur par 2,54 et l’aire par 6,4516.
Pourquoi l’aire ne correspond-elle pas au rayon affiché ?
Parce que le rayon affiché est déjà arrondi et que l’aire n’est pas calculée à partir de lui. La page calcule l’aire à partir du rayon en pleine précision et n’arrondit l’affichage qu’à la fin : pour une circonférence de 20, l’aire vaut 31,8310, alors qu’élever au carré le rayon affiché de 3,1831 puis multiplier par π donne 31,8309. C’est l’aire affichée qui est correcte. La même chose se produit dans l’autre sens dès que vous reprenez un nombre affiché pour le remettre dans un calcul.
La page utilise-t-elle 3,14 pour pi ?
Non. Elle emploie la précision complète du calcul en double précision, soit π à une quinzaine de chiffres significatifs, et n’arrondit que le résultat affiché. Cela compte à la quatrième décimale : une circonférence calculée à la main avec 3,14 différera en général du résultat affiché d’un ou deux chiffres, et l’écart vient de la constante raccourcie et non d’une erreur de calcul. Pour un contrôle mental rapide, 3,14 suffit, et c’est ce que la plupart des gens devraient utiliser.
Comment retrouver le rayon à partir de l’aire ?
Divisez l’aire par π, puis prenez la racine carrée. C’est la racine que l’on oublie : sans elle, on obtient un nombre de la taille de l’aire elle-même, soit 31,831 au lieu du 5,6419 correct pour cent centimètres carrés. Contrôlez le résultat en l’élevant au carré et en multipliant par π : vous devez retomber sur l’aire de départ, à l’arrondi des chiffres affichés près.
Le rayon peut-il valoir zéro ?
Oui, et les quatre sorties reviennent alors à zéro, ce qui décrit honnêtement un cercle de taille nulle. Zéro est traité comme une vraie entrée et non comme une case vide : une ligne de zéros dans le panneau de résultats n’est pas le signe d’un remplissage raté. Un formulaire entièrement vide est autre chose : si aucune des quatre cases ne porte de valeur, la page en réclame une, faute de quoi que ce soit pour travailler.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de circonférenceCirconférence d’un cercle selon son rayon ou son diamètre.Calculatrice d’aire de cercleAire d’un cercle à partir du rayon ou du diamètre.Calculatrice de longueur d’arcLongueur de l’arc entre deux points d’un cercle.Calculatrice de sphèreRayon, diamètre ou circonférence donnent volume et aire.