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CalcMax

Calculatrice de longueur d’arc

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 ° – 360 °

Résultat

7,8540 cm

Longueur de l’arc

La calculatrice de longueur d’arc prend le rayon d’un cercle et un angle au centre, et renvoie la longueur du morceau de cercle, en centimètres. Un arc de cercle est la partie courbe du cercle comprise entre deux de ses points, et l’angle qui le désigne est celui qui se trouve au centre, entre les deux rayons menés vers ces points. Le calcul n’est qu’une proportion : le cercle entier fait 360 degrés et son contour complet mesure 2πr, donc un arc de θ degrés vaut θ/360 de cette longueur. Quelle que soit la fraction du cercle que couvre l’angle, l’arc couvre la même fraction de la circonférence. Si cette page existe à part plutôt que d’être laissée à une calculatrice de cercle complète, c’est que la plupart des courbes que l’on rencontre ne sont pas des cercles entiers. Un virage de route est un arc de cercle ; le trajet d’une poignée de porte, le balayage d’un essuie-glace, un comptoir cintré, une voûte, le ruban tendu d’un cadran en sont aussi. Dans chacun de ces cas, la question porte sur la longueur de la partie courbe, parce que c’est elle qui se découpe, se chiffre, se pave ou se parcourt. Ce sujet comporte un piège, et c’est un piège d’unités. La forme compacte de la formule s’écrit L = rθ, et dans cette écriture θ est en radians et non en degrés — le radian étant précisément l’unité qui existe pour que cette ligne tombe juste sans facteur devant. Si l’on introduit 60 degrés dans L = rθ, le résultat est environ 57 fois trop grand. Et cela ne se voit pas : l’arc paraît simplement long. Cette page prend les degrés en entrée, parce que 60 est plus commode à saisir que 1,0472, et la formule qu’elle calcule contient le 360, de sorte que les degrés sont éliminés avant que la multiplication ait lieu.

La longueur d’un arc d’après son rayon et l’angle au centre

Rayon (cm)Angle au centre (degrés)Longueur de l’arc (cm)
5605.236
5907.854
518015.708
536031.4159
109015.708
612012.5664
1227056.5487
500

Huit arcs et trois colonnes. La première ligne est le couple avec lequel la page s’ouvre, un sixième de cercle. La quatrième est la ligne qui vérifie cette page contre le reste du site : à 360 degrés, l’arc s’est refermé en un cercle entier, il doit donc égaler la circonférence, et 31,4159 est ce qu’affichent les pages du cercle et de la circonférence pour un rayon de 5. La cinquième mérite qu’on s’y arrête — un rayon de 10 à 90 degrés donne les mêmes 15,708 qu’un rayon de 5 à 180 degrés, parce que doubler l’un et diviser l’autre par deux laisse le produit intact. La sixième est la seule dont le résultat soit un multiple exact de π : un rayon de 6 à 120 degrés vaut 4π, soit 12,5664. Chaque valeur est recalculée à partir de ses deux entrées au moment de la construction de la page, et comme la page du secteur calcule la même grandeur à partir des mêmes deux nombres, la colonne des longueurs d’arc de ce tableau et celle de l’autre doivent se lire ligne pour ligne à l’identique. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (5.236 plutôt que 5,236), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

L = (θ ÷ 360) × 2πr

Rayon
La distance du centre du cercle à l’arc, en centimètres
θ (thêta)
L’angle au centre, en degrés — l’angle entre les deux rayons qui rejoignent les extrémités de l’arc. Ce n’est pas l’angle que l’arc décrit sur le dessin, ni l’angle entre les deux extrémités vu de l’extérieur
360
Le cercle entier en degrés, et la raison pour laquelle cette formule est écrite ainsi. Diviser l’angle par 360 le transforme en la fraction du cercle que l’arc couvre
2πr
La circonférence — la longueur du cercle entier, dont on prend ici une fraction. Le π est la même constante pour tous les cercles, et r est de nouveau le rayon
L
La longueur de l’arc, en centimètres. La même fraction de la circonférence que l’angle l’est de 360 degrés
L = rθ
La même formule sous sa forme compacte, celle que donnent les manuels et les ouvrages de référence. Sous cette forme, θ est en radians et non en degrés — y mettre 60 à la place de 1,0472 est exactement l’erreur contre laquelle cette page met en garde
Quatre décimales
La largeur avec laquelle le résultat est écrit. La réponse ne peut généralement pas s’écrire exactement, parce que π ne le peut pas — un quart de cercle de rayon 5 s’arrête à 7,8540

Chaque fois qu’il s’agit d’une partie de cercle et que sa longueur compte. Le cas le plus terre à terre est le métré : un mur cintré, un comptoir arrondi, une baie en arc, un virage dans un chemin, une clôture qui suit une courbe plutôt qu’une droite — c’est la longueur le long de la courbe qui se commande, et elle dépasse la distance en ligne droite entre les deux extrémités. Les matériaux livrés en bandes et cintrés forment le deuxième cas : chant plat, baguette de finition, joint d’étanchéité, gaine, tronçon courbe d’une main courante, tôle roulée à un rayon donné. Calculer la longueur avant de couper est tout l’objet de la manœuvre, et un arc coupé trop court est une pièce à rebut. Les véhicules et les machines forment le troisième : la distance qu’un essuie-glace balaie, la trajectoire d’un bras robotisé, une courroie qui passe sur un guide courbe, la longueur d’une chaîne autour d’un pignon. Dans tous ces cas, la longueur d’arc est la distance réellement parcourue, et c’est sur elle que le moteur se dimensionne. Vient ensuite l’usage scolaire. La proportion se voit d’un coup d’œil sur un cercle tracé au compas — un arc de 90 degrés est un quart de la circonférence, et on peut le vérifier contre la formule —, et c’est le mécanisme qui mène aux secteurs, aux segments, puis aux radians, lesquels ne sont rien de plus que la même proportion énoncée dans l’autre sens.

Exemples détaillés

  1. Un rayon de 5 et un angle de 90 degrés

    1. L’angle en fraction du cercle : 90 ÷ 360 = 1/4
    2. La circonférence entière : 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Le quart de cette valeur : 31,4159 ÷ 4 = 7,854

    Un quart de cercle, et le couple avec lequel la page s’ouvre. Les deux lectures à garder ensemble sont ce 7,854 et le 31,4159 que le même rayon donne à 360 degrés — l’une vaut exactement quatre fois l’autre, ce qui montre vite que l’angle sert bien de fraction et non d’autre chose.

  2. Un rayon de 5 et un angle de 60 degrés

    1. L’angle en fraction du cercle : 60 ÷ 360 = 1/6
    2. La circonférence entière : 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Le sixième de cette valeur : 31,4159 ÷ 6 = 5,236

    Un sixième de cercle, qui est l’angle qu’un triangle équilatéral ouvre au centre, et la raison pour laquelle 60 degrés revient dès que quelque chose se divise en six. C’est aussi la ligne que donne la page du secteur : quelle que soit la longueur d’arc trouvée ici, la page du secteur affiche le même chiffre pour le même rayon et le même angle.

  3. Un rayon de 5 et un tour complet

    1. L’angle en fraction du cercle : 360 ÷ 360 = 1
    2. La circonférence entière : 2 × π × 5 = 31,4159
    3. La totalité : 31,4159

    Le cas limite, et un contrôle pour toute la page : à 360 degrés, l’arc a fait le tour et s’est refermé, il est donc la circonférence, et la circonférence d’un cercle de rayon 5 vaut 31,4159. Si cette ligne affichait autre chose, la formule serait fausse — c’est ce qui justifie sa présence dans le tableau.

  4. Un rayon de 10 et un angle de 90 degrés

    1. L’angle en fraction du cercle : 90 ÷ 360 = 1/4
    2. La circonférence entière : 2 × π × 10 = 62,8319
    3. Le quart de cette valeur : 62,8319 ÷ 4 = 15,708

    Le même quart de cercle que le premier exemple, et la même longueur que l’arc de 180 degrés au rayon 5. Doubler le rayon et diviser l’angle par deux laisse l’arc inchangé, parce que sa longueur dépend des deux ensemble et non de l’un ou de l’autre. C’est la démonstration la moins coûteuse de ce que la formule multiplie au lieu d’additionner.

  5. Un rayon de 5 et un angle de 0

    1. L’angle en fraction du cercle : 0 ÷ 360 = 0
    2. La circonférence entière : 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Aucune partie : 0

    Un angle nul signifie que les deux rayons se sont refermés l’un sur l’autre et que l’arc s’est réduit à un seul point du cercle : sa longueur est nulle. C’est une vraie réponse et la page l’affiche, ce qui diffère d’un champ vide — un champ vide n’a rien avec quoi calculer et n’affiche aucun résultat.

Limites

Cette page donne la longueur de l’arc et rien d’autre. Elle ne fournit ni l’aire du secteur, ni la longueur de la corde droite entre les deux extrémités, ni l’angle, ni le rayon — les deux premiers figurent sur la page du secteur, et le chemin inverse, de l’arc vers l’angle, est une autre page. L’angle est exprimé en degrés et plafonné à 360 : un angle au centre supérieur à un tour complet est refusé plutôt que ramené dans l’intervalle, parce qu’un angle au centre n’est par définition pas plus d’un tour. Zéro est accepté pour l’une ou l’autre entrée et donne un arc de longueur nulle, ce qui est correct pour un point et n’équivaut pas à un champ vide. Les deux entrées sont prises dans la même unité : un rayon en pouces donne une longueur d’arc en pouces, rien n’est converti. Le résultat est la longueur le long d’un arc de cercle et ne dit rien d’aucune autre courbe — une voûte elliptique, une spirale, une chaînette ou un cintrage qui n’est pas un vrai cercle ne tomberont pas juste, et parmi celles-là l’ellipse est le cas que l’on croit à tort plus simple qu’il n’est.

Questions fréquentes

L’angle est-il en degrés ou en radians ?
En degrés. La formule que calcule cette page est (θ ÷ 360) × 2πr, écrite de façon que les degrés soient divisés avant tout le reste. La forme compacte que l’on voit ailleurs, L = rθ, prend des radians à la place, et cela vaut la peine de le savoir : y saisir 60 donne une réponse environ 57 fois trop grande — et une réponse simplement longue ne paraît pas fausse.
Lequel des angles de la figure est l’angle au centre ?
Celui qui est au centre du cercle, entre les deux rayons menés vers les extrémités de l’arc. Ce n’est pas l’angle entre les deux extrémités mesuré depuis un point de l’arc, ni l’angle dont la courbe semble tourner sur le dessin. Si la figure porte plusieurs angles, l’angle au centre est celui dont le sommet est le centre.
Quelle différence avec la calculatrice de secteur ?
La page du secteur donne trois lectures pour les deux mêmes entrées — l’aire du secteur, la longueur de l’arc et la corde droite entre les extrémités — parce que qui travaille sur un secteur en veut généralement plus d’une. Cette page donne la longueur d’arc seule. Les deux s’accordent exactement sur ce nombre : si vous n’avez besoin que de la longueur, le chemin est plus court ici.
L’angle peut-il dépasser 360 degrés ?
Non, et la page le refuse plutôt que de le ramener dans l’intervalle. Un angle au centre est par définition un angle dont le sommet est le centre d’un cercle et ne peut pas excéder un tour complet ; 400 degrés signifierait un arc plus long que la circonférence entière, ce qui n’est pas un arc. La limite est volontaire et identique à celle de la page du secteur : le même couple de nombres est accepté ou refusé de la même façon des deux côtés.
La longueur de l’arc dépend-elle du rayon ?
Oui, et cette dépendance est une multiplication, pas une addition. Doubler le rayon double l’arc, doubler l’angle le double aussi : un arc de 180 degrés au rayon 5 et un arc de 90 degrés au rayon 10 ont la même longueur. C’est pourquoi la formule multiplie les deux grandeurs au lieu de faire autre chose avec elles.
Comment calculer si la courbe n’est pas un cercle ?
Alors cette page ne donnera pas la bonne réponse, et elle ne vous préviendra pas non plus. Tout arc ici est un morceau de cercle véritable. Une voûte elliptique, un escalier en spirale, une chaînette et la trajectoire d’un objet lancé ont des longueurs qui demandent d’autres mathématiques ; parmi elles, l’ellipse est le cas que l’on suppose le plus souvent être une simple fraction de cercle, alors qu’elle ne l’est pas.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’angle au centreAngle au centre sous-tendu par un arc de cercle.Calculatrice d’aire de secteurAire, arc et corde d’un secteur circulaire par l’angle.Calculatrice de circonférenceCirconférence d’un cercle selon son rayon ou son diamètre.Calculatrice de cercleRayon, diamètre, circonférence et aire depuis un seul.