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Calculatrice d’angle au centre

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

57,2958 °

Angle au centre

Angle au centre en radians
1,0000 rad

La calculatrice d’angle au centre prend le rayon d’un cercle et la longueur d’arc mesurée sur ce cercle, et renvoie l’angle au centre sous-tendu par cet arc, en degrés et en radians. Les deux lectures décrivent le même angle, et ce qui fait l’intérêt de cette page est l’ordre dans lequel elles arrivent. Un angle au centre mesuré en radians vaut, par définition, la longueur d’arc divisée par le rayon : ce n’est pas une formule que l’on aurait démontrée, c’est la définition du radian. La lecture en radians est donc une simple division, sans π nulle part, et celle en degrés n’est que ce nombre multiplié par 180/π. Le couple chargé par défaut le montre : un rayon de 5 avec un arc de 5 donne exactement un radian, parce que l’arc est aussi long que le rayon, et un radian vaut 57,2958 degrés. Tous les autres calculs de la page ne sont que la même division avec d’autres nombres. C’est aussi pourquoi cette page et celle de la longueur d’arc en sont deux, et non une seule : c’est la même équation lue dans les deux sens. L’une prend le rayon et l’arc pour donner l’angle, l’autre prend le rayon et l’angle pour donner l’arc. Les deux méritent d’exister, parce que la question se pose dans les deux sens — mesurer une courbe donne une longueur et l’on cherche l’angle, tracer un secteur donne un angle et l’on cherche la longueur de la bordure. La mise en garde à retenir porte sur la forme compacte, L = rθ. Dans cette écriture, θ est toujours en radians, parce que la forme ne fonctionne qu’ainsi. Si l’on y introduit des degrés, le résultat sort environ 57 fois trop grand, et il n’aura pas l’air faux : il aura seulement l’air long. Cette page donne les deux lectures, la conversion est donc faite pour vous ; la mise en garde sert quand on rencontre la forme compacte ailleurs.

L’angle au centre à partir d’une longueur d’arc et du rayon de son cercle

Rayon (cm)Longueur de l’arc (cm)Angle au centre (degrés)Angle au centre (radians)
5557.29581
10528.64790.5
510114.59162
4114.32390.25
3357.29581
6000
531.4159359.99976.2832
212.5664360.00086.2832

Huit arcs et quatre colonnes — deux mesures en entrée, le même angle en sortie deux fois. La première ligne est le couple chargé par défaut et la définition du radian en une ligne : un arc aussi long que le rayon donne exactement 1, soit 57,2958 degrés. Les deuxième et troisième lignes font monter et descendre la même division — un arc de la moitié du rayon donne un demi-radian et un arc du double du rayon en donne deux — et lues ensemble elles montrent que la colonne des radians se comporte comme la simple division qu’elle est. La quatrième ligne est un quart de radian : un arc de 1 posé sur un rayon de 4 donne 0,25, soit 14,3239 degrés, si bien que la colonne des degrés reste le chiffre en radians multiplié par 57,2958. Les deux dernières lignes sont la même chose dans les deux sens et elles constituent l’intérêt du tableau : un rayon de 5 nourri de sa propre circonférence imprimée donne 359,9997 degrés et un rayon de 2 nourri de la sienne donne 360,0008, parce qu’un arrondi est allé vers le bas et l’autre vers le haut. Une lecture juste au-dessus de 360 est donc correcte, et les deux lignes sont là pour le dire. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (57.2958 plutôt que 57,2958), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

θ(radians) = L ÷ r, θ(degrés) = θ(radians) × 180 ÷ π

Longueur d’arc
La distance parcourue le long de la courbe, en centimètres — la longueur du morceau de cercle, et non la distance en ligne droite entre ses deux extrémités
Rayon
La distance du centre jusqu’à l’arc, en centimètres. Il doit être supérieur à zéro, puisque c’est par lui que la longueur d’arc est divisée
θ (thêta)
L’angle au centre, en radians — la longueur d’arc divisée par le rayon, ce qui est la définition du radian. Un tour complet en fait 2π, soit environ 6,2832
180 ÷ π
Le nombre de degrés que vaut un radian, environ 57,2958. Multiplier la lecture en radians par ce nombre donne la lecture en degrés, et c’est le seul endroit où π entre dans le calcul
Degrés
Le même angle écrit comme on lit le plus souvent les angles, sur 360 pour un tour complet. C’est la lecture affichée en premier, parce que c’est celle qu’un rapporteur montrerait
L = rθ
La forme compacte de la relation, avec θ en radians. Réarrangée, c’est la division que cette page effectue ; utilisée telle quelle avec des degrés à la place des radians, elle donne un résultat environ 57 fois trop grand
Quatre décimales
La largeur d’écriture des deux lectures. Un tour complet vaut 6,2832 radians ou 360 degrés, et près de ce point les quatre décimales de l’entrée se mettent à transparaître dans la réponse

Tout ce qui a été mesuré le long d’une courbe et doit maintenant devenir un angle. L’atelier d’usinage est le cas le plus net : une lumière courbe, un tube cintré, un tronçon d’anneau roulé arrivent avec une longueur, et le plan réclame un angle — c’est cette division qui fait passer de l’un à l’autre. La fabrication et le bâtiment posent le même problème : une main courante mesurée sur sa longueur, une bordure cintrée, une ouverture en plein cintre, un arc de maçonnerie, qu’il faut convertir en angle au centre avant de pouvoir tracer quoi que ce soit. La navigation et l’astronomie s’en servent dans l’autre sens, en prenant un arc mesuré au sol ou dans le ciel pour le convertir en degrés de latitude, de longitude ou de relèvement. Il existe aussi un usage scolaire qui reste la façon la plus claire de comprendre l’unité. Tracez un cercle, coupez une ficelle de la longueur du rayon et posez-la le long du cercle : l’angle qu’elle couvre au centre vaut un radian, et un peu plus de six de ces angles font le tour complet. Faites-le une fois, et le radian cesse d’être une unité arbitraire qu’il faut mémoriser. S’y ajoute un usage pratique qui revient sans cesse en informatique et en ingénierie : connaissant un rayon et une longueur, déterminer quelle fraction d’un cercle a été parcourue. Cette fraction est la lecture en radians divisée par 2π, et c’est précisément à cela que servent les deux lectures de cette page.

Exemples détaillés

  1. Un rayon de 5 et un arc de 5

    1. Divisez l’arc par le rayon : 5 ÷ 5 = 1 radian
    2. Convertissez en degrés : 1 × 180 ÷ π = 57,2958

    Le couple chargé par défaut, et la définition du radian en une ligne : un arc aussi long que le rayon sous-tend un angle d’un radian. Le chiffre en degrés, 57,2958, est celui à retenir si l’on ne retient qu’une chose sur les radians. À noter que la lecture en radians est tombée juste — aucun arrondi n’a été nécessaire — parce que ce couple a été choisi pour rendre la division exacte.

  2. Un rayon de 10 et un arc de 5

    1. Divisez l’arc par le rayon : 5 ÷ 10 = 0,5 radian
    2. Convertissez en degrés : 0,5 × 180 ÷ π = 28,6479

    Le même arc sur un cercle plus grand, donc un angle plus petit — un arc de 5 représente ici la moitié du rayon et non sa totalité. Un demi-radian, soit 28,6479 degrés. C’est la ligne qui montre que l’angle dépend du rapport et non de l’arc seul, le même fait que la page de la longueur d’arc énonce par l’autre bout.

  3. Un rayon de 4 et un quart de la circonférence

    1. La circonférence entière : 2 × π × 4 = 25,1327
    2. Le quart : 25,1327 ÷ 4 = 6,2832 = π
    3. Divisez l’arc par le rayon : 12,5664 ÷ 4 = 3,1416 radian
    4. Convertissez en degrés : 3,1416 × 180 ÷ π = 180,0004

    Un demi-tour, et la ligne qui montre où finissent les quatre décimales de l’entrée. L’angle vaut bien 180 degrés, mais l’arc a été saisi comme le quart de circonférence arrondi, 12,5664, et diviser un nombre arrondi par 4 transporte cet arrondi dans la réponse sous la forme de 0,0004 degré. La lecture en radians vaut π à quatre décimales, ce qui est l’autre façon de voir qu’il s’agit d’un demi-tour.

  4. Un rayon de 2 et la circonférence imprimée

    1. La circonférence entière : 2 × π × 2 = 12,5664, imprimée à quatre décimales
    2. Divisez l’arc par le rayon : 12,5664 ÷ 2 = 6,2832 radians
    3. Convertissez en degrés : 6,2832 × 180 ÷ π = 360,0008

    Un tour complet, et une lecture légèrement supérieure à 360 degrés — ce qui est correct et non une erreur. La circonférence d’un cercle de rayon 2 vaut 12,5663706, que la page imprime 12,5664, arrondi au-dessus. Saisissez cette valeur arrondie et l’angle ressort à une fraction de degré au-delà du tour complet. C’est l’arrondi de l’entrée qui transparaît, pas un défaut de l’arithmétique.

  5. Un rayon de 6 et un arc de 0

    1. Divisez l’arc par le rayon : 0 ÷ 6 = 0 radian
    2. Convertissez en degrés : 0 × 180 ÷ π = 0

    Aucun arc, donc aucun angle : les deux rayons se sont refermés l’un sur l’autre et l’arc s’est réduit à un point. Zéro est une entrée légale ici et la réponse est un vrai zéro. Le rayon, lui, est la case qui ne peut pas être nulle — la longueur d’arc est divisée par lui, donc un rayon nul n’a aucune réponse.

Limites

Cette page renvoie l’angle et rien d’autre : ni l’arc, ni le rayon, ni l’aire du secteur. Avec un angle et un rayon, la longueur d’arc est l’affaire de l’autre page. Le rayon doit être supérieur à zéro — la longueur d’arc est divisée par lui, donc un rayon nul n’a pas de réponse, et la page le signale au lieu d’afficher un blanc. La longueur d’arc peut valoir zéro, ce qui donne un angle nul. L’arc ne peut pas dépasser la circonférence entière de ce cercle : un cercle de rayon 5 a une circonférence de 31,4159, donc un arc de 32 est refusé. La limite est vérifiée sur la circonférence telle que la page l’imprime, à quatre décimales, et non sur sa valeur de pleine précision, ce qui a une conséquence visible : une lecture légèrement supérieure à 360 degrés est possible et correcte. Si la circonférence de votre cercle se termine par un chiffre qui est arrondi au-dessus à l’impression, ressaisir cette valeur imprimée donne un angle comme 360,0008 degrés, parce que l’arrondi était déjà dans le nombre saisi. Ce n’est pas la page qui dépasse sa propre limite. Les deux entrées sont prises dans la même unité et rien n’est converti ; les deux sorties sont toujours en degrés et en radians, quels que soient les menus déroulants.

Questions fréquentes

Pourquoi y a-t-il deux lectures ?
Parce que l’angle a deux unités d’usage courant et que la page fait la conversion pour vous. La lecture en radians est la longueur d’arc divisée par le rayon, ce qui est la définition du radian ; la lecture en degrés est ce nombre multiplié par 180/π. C’est le même angle, et disposer des deux évite de convertir à la main ou de chercher laquelle des deux réclame telle formule.
Ma réponse fait 360,0008 degrés. Est-ce faux ?
Non, c’est correct, et cela arrive quand l’arc saisi était déjà un nombre arrondi. La circonférence d’un cercle de rayon 2 vaut 12,5663706, que la page imprime 12,5664 — arrondi au-dessus. Saisissez cette valeur imprimée et l’angle ressort à une fraction de degré au-delà du tour complet. Ce que vous voyez, c’est l’arrondi de votre entrée, pas une erreur de la division.
Le rayon peut-il être nul ?
Non. L’angle est la longueur d’arc divisée par le rayon, donc un rayon nul n’a aucune réponse — il n’y a pas de cercle sur lequel mesurer un angle. La page le dit plutôt que d’afficher un blanc ou un infini. La longueur d’arc, en revanche, peut être nulle, et cela donne un angle nul, qui est une vraie réponse.
Quelle est la plus grande longueur d’arc possible ?
La circonférence de ce cercle. Un arc est un morceau du cercle, il ne peut donc pas être plus long que le tout, et la page refuse au-delà — pour un rayon de 5, la limite est 31,4159. Passé ce point, il n’y a plus d’angle au centre à trouver, car l’arc aurait fait plus d’un tour.
Quel est le lien avec la page de la longueur d’arc ?
Ce sont la même équation lue dans les deux sens. Cette page prend le rayon et l’arc et donne l’angle ; l’autre prend le rayon et l’angle et donne l’arc. Les deux existent parce que la question se pose dans les deux sens — mesurer une courbe donne une longueur, tracer un secteur donne un angle — et le tableau de chaque page contient une ligne que l’autre imprime aussi.
Le radian est-il une unité comme le degré ?
C’est une unité, mais elle n’est pas arbitraire comme le degré. Le degré est un trois-cent-soixantième de tour, division héritée de l’arithmétique babylonienne ; le radian est l’angle obtenu quand l’arc est exactement aussi long que le rayon. C’est pourquoi la division de cette page ne contient aucun π : π n’apparaît que lorsqu’on convertit le résultat en degrés.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de longueur d’arcLongueur de l’arc entre deux points d’un cercle.Calculatrice d’aire de secteurAire, arc et corde d’un secteur circulaire par l’angle.Calculatrice d’aire de segmentAire entre une corde et son arc, selon rayon et angle.Calculatrice de cercleRayon, diamètre, circonférence et aire depuis un seul.