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CalcMax

Calculatrice d’aire de segment

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 ° – 360 °

Résultat

7,1350 cm²

Aire

Corde
7,0711 cm
Longueur de l’arc
7,8540 cm
Hauteur du segment
1,4645 cm

Une calculatrice de segment prend le rayon d’un cercle et un angle au centre, et renvoie l’aire de la région comprise entre la corde que ces deux nombres découpent et l’arc au-dessus d’elle, ainsi que la corde, l’arc et la hauteur de cette région. Un segment, c’est ce qu’on obtient si l’on prend un secteur — la part de tarte délimitée par deux rayons et un arc — et qu’on en retranche le triangle formé par les deux rayons et la corde. Ce qui reste est la pièce en forme de croissant comprise entre la droite et la courbe, et c’est la forme d’une tranche de pomme, d’une fenêtre en plein cintre, de la section droite d’une conduite partiellement remplie, ou de la région qu’une corde détache d’un terrain circulaire. L’arithmétique est une soustraction une fois qu’on a les deux morceaux : l’aire du secteur est la fraction du cercle, et l’aire du triangle est la moitié du rayon au carré multipliée par le sinus de l’angle. On retire l’une de l’autre. Cette soustraction vaut la peine d’être comprise plutôt que simplement appliquée, parce que c’est le point où cette page cesse de pouvoir dire quelle réponse vous vouliez. Une corde divise un cercle en deux régions — une petite et une grande — et le même rayon avec le même angle décrivent l’une comme l’autre selon le côté de la corde dont vous parlez. En dessous d’un demi-cercle il n’y a aucune ambiguïté. Au-dessus, la formule bascule discrètement vers l’autre.

Des segments usuels, de la mince lamelle au cercle entier

Rayon (cm)Angle au centre (°)Aire (cm²)Corde (cm)Longueur de l’arc (cm)Hauteur du segment (cm)
5907.1357.07117.8541.4645
5602.264755.2360.6699
518039.26991015.7085
612022.110710.392312.56643
527071.40497.071123.56198.5355
10180157.07962031.415910
536078.5398031.415910
500000

Huit segments, et les deux premières colonnes sont les entrées. Lisez les deux premières lignes ensemble pour voir à quelle vitesse un segment rétrécit : la ligne des 60 degrés a deux tiers de l’angle de celle des 90 degrés et moins du tiers de son aire, parce qu’aux petits angles le triangle mange presque tout le quartier. La troisième ligne est 180 degrés, où le triangle n’a aucune aire et où le segment est simplement le demi-cercle — 39,2699, exactement ce que la page du secteur imprime pour son demi-cercle. La cinquième ligne est celle à lire attentivement : à 270 degrés le sinus est négatif, la soustraction se change en addition, et la page renvoie 71,4049 — la plus grande des deux régions que la corde découpe plutôt que la plus petite. Sa corde vaut 7,0711, la même que la ligne des 90 degrés, parce que sin(135°) et sin(45°) sont égaux : deux angles, une corde, et un segment dix fois plus grand. La dernière ligne est un tour complet, où la corde s’est réduite à 0 et où le segment est devenu le cercle entier, avec une hauteur de 10 — le diamètre complet, soit aussi loin qu’un arc puisse bomber. La ligne qui la précède est un angle nul, où le segment s’est effondré sur rien du tout. Chaque nombre est recalculé à partir de son rayon et de son angle au moment où la page est construite, en centimètres et en degrés, et les quatre décimales sont les mêmes quatre décimales que celles du panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (7.135 plutôt que 7,135), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

A = (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sin θ c = 2r sin(θ ÷ 2) h = r(1 − cos(θ ÷ 2))

Rayon
La distance du centre à l’arc, en centimètres. La moitié de la base du triangle qu’on retranche, et le seul nombre qui dise de quel cercle il s’agissait
Angle au centre
L’angle que la corde sous-tend au centre, en degrés. Il fixe le segment avec le rayon : il règle à la fois la part du cercle que le secteur occupe et la hauteur du triangle qu’on enlève
Aire
La surface du segment, en centimètres carrés — l’aire du secteur moins celle du triangle. En dessous de 180 degrés c’est la plus petite des deux régions qu’une corde découpe ; au-dessus, la soustraction se change en addition et vous obtenez la plus grande
Corde
La droite qui referme le segment, en centimètres, et la base du triangle qui a été retiré. Elle grandit jusqu’à devenir un diamètre à 180 degrés puis diminue de nouveau, jusqu’à zéro au tour complet
Longueur de l’arc
La distance le long du bord courbe, en centimètres — la même que l’arc du secteur, puisque retrancher le triangle ne change pas la courbe. C’est la frontière extérieure du segment et elle ne fait que croître avec l’angle
Hauteur du segment
De combien l’arc bombe au-dessus de la corde en son milieu, en centimètres. C’est la profondeur du segment, et la grandeur qu’on mesurerait avec une règle posée en travers du côté plat — elle va de 0 à angle nul jusqu’au diamètre entier au tour complet
½r² sin θ
L’aire du triangle que forment les deux rayons et la corde. Elle culmine à 90 degrés et retombe à rien à 180, ce qui explique qu’un demi-cercle n’ait aucun triangle à retrancher
Quatre décimales
La largeur sous laquelle chaque relevé est écrit. Chacun des quatre porte un π ou un sinus et ne se termine donc presque jamais, et l’aire est la différence de deux tels nombres, ce qui veut dire que ses derniers chiffres sont les moins fiables de la page

Cette page est faite pour la région qu’une droite détache d’un cercle, ce qui se révèle une forme plus courante que le quartier dont elle dérive. Une fenêtre en plein cintre ou une porte à sommet courbe est un segment posé sur un rectangle ; la section droite d’un tunnel dont le plafond est un arc et les parois droites aussi. Les conduites et les cuves partiellement remplies en sont le cas classique : la surface mouillée d’un cylindre horizontal est un segment, ce qui explique que le volume de liquide dans un tonneau soit un problème de segment et non de cercle. Sur une carte, la surface comprise entre une limite de propriété rectiligne et une route ou une rivière courbe est un segment, et le même raisonnement vaut pour le mince morceau d’un terrain circulaire laissé à l’extérieur d’une clôture droite. En fabrication, une corde sciée en travers d’un rondin ou d’un flan circulaire laisse un segment en chute, et la formule de la hauteur est celle vers laquelle se tourner quand ce qu’on peut mesurer est la profondeur de la coupe plutôt que l’angle — une règle posée en travers du plat et descendue jusqu’au point le plus bas de la courbe donne la hauteur directement, et l’angle peut s’en déduire. Et c’est la forme d’une bouchée : une bouchée prise dans un biscuit rond est un segment, avec la corde en travers des marques de dents et la hauteur égale à la profondeur de la bouchée.

Exemples détaillés

  1. Un segment d’un quart de cercle

    1. Aire du secteur : (90 ÷ 360) × π × 5² = 19,6349…
    2. Aire du triangle : ½ × 5² × sin(90°) = 12,5
    3. Aire du segment : 19,6349 − 12,5 = 7,1349…, soit 7,135
    4. Corde : 2 × 5 × sin(45°) = 7,0711
    5. Longueur de l’arc : (90 ÷ 360) × 2π × 5 = 7,854
    6. Hauteur : 5 × (1 − cos(45°)) = 5 × 0,2928932 = 1,4645

    L’entrée avec laquelle la page se charge, et le cas le plus net de ce que fait la soustraction. Le secteur vaut 19,6349 et le triangle en retire 12,5, ce qui laisse 7,135 — un tiers de ce que le quartier couvrait. La hauteur rend la forme concrète : l’arc ne s’élève que de 1,4645 centimètre au-dessus de la corde, donc il s’agit d’un mince croissant plutôt que d’un gros morceau du cercle.

  2. Un segment plat issu de 60 degrés

    1. Aire du secteur : (60 ÷ 360) × π × 5² = 13,0899…
    2. Aire du triangle : ½ × 5² × sin(60°) = 12,5 × 0,8660254 = 10,8253
    3. Aire du segment : 13,0899 − 10,8253 = 2,2646…, soit 2,2647
    4. Corde : 2 × 5 × sin(30°) = 5
    5. Longueur de l’arc : (60 ÷ 360) × 2π × 5 = 5,236
    6. Hauteur : 5 × (1 − cos(30°)) = 5 × 0,1339746 = 0,6699

    Le même cercle que la ligne ci-dessus mais un angle plus étroit, et le segment est bien plus petit que ne le laisserait croire la variation d’angle — 2,2647 contre 7,135 pour deux tiers de l’angle. La raison en est que le triangle mange presque tout le quartier : le secteur vaut 13,0899 et le triangle en prend 10,8253. Aux petits angles un segment est une mince lamelle, et son aire décroît bien plus vite que l’angle.

  3. Un demi-cercle

    1. Aire du secteur : (180 ÷ 360) × π × 5² = 39,2699…
    2. Aire du triangle : ½ × 5² × sin(180°) = 0
    3. Aire du segment : 39,2699 − 0 = 39,2699
    4. Corde : 2 × 5 × sin(90°) = 10
    5. Longueur de l’arc : (180 ÷ 360) × 2π × 5 = 15,708
    6. Hauteur : 5 × (1 − cos(90°)) = 5 × 1 = 5

    L’angle où le triangle s’évanouit. À 180 degrés la corde est un diamètre et les deux rayons s’allongent à plat le long de celle-ci, donc le triangle n’a aucune aire à retrancher et le segment est le demi-cercle entier — 39,2699, exactement ce que la page du secteur imprime pour son demi-cercle. La hauteur vaut 5, le rayon, ce qui est le maximum qu’un segment de ce cercle puisse bomber.

  4. Un tiers de cercle

    1. Aire du secteur : (120 ÷ 360) × π × 6² = 37,6991
    2. Aire du triangle : ½ × 6² × sin(120°) = 18 × 0,8660254 = 15,5885
    3. Aire du segment : 37,6991 − 15,5885 = 22,1106…, soit 22,1107
    4. Corde : 2 × 6 × sin(60°) = 10,3923
    5. Longueur de l’arc : (120 ÷ 360) × 2π × 6 = 12,5664
    6. Hauteur : 6 × (1 − cos(60°)) = 6 × 0,5 = 3

    La ligne qui s’aligne sur les pages voisines de celle-ci. La corde vaut 6√3 et l’arc 4π, les mêmes nombres que la page du secteur imprime pour un quartier de 120 degrés du même cercle — la corde et l’arc ne changent pas quand on retire le triangle, parce que ni l’une ni l’autre n’en fait partie. La hauteur vaut exactement 3, la moitié du rayon, parce que le cosinus de 60 degrés est un demi.

  5. Le grand segment à 270 degrés

    1. Aire du secteur : (270 ÷ 360) × π × 5² = 58,9049
    2. Aire du triangle : ½ × 5² × sin(270°) = 12,5 × (−1) = −12,5
    3. Aire du segment : 58,9049 − (−12,5) = 71,4049
    4. Corde : 2 × 5 × sin(135°) = 7,0711
    5. Longueur de l’arc : (270 ÷ 360) × 2π × 5 = 23,5619
    6. Hauteur : 5 × (1 − cos(135°)) = 5 × 1,7071068 = 8,5355

    La ligne à lire attentivement, et celle qui explique pourquoi cette page ne se prononce pas sur le caractère raisonnable d’une réponse. À 270 degrés le sinus est négatif, donc retrancher le triangle ajoute 12,5 au lieu de l’enlever, et la page renvoie 71,4049 — la plus grande des deux régions que la corde découpe, et non la plus petite. C’est la bonne réponse à l’arithmétique et c’est très souvent pas la région que le lecteur avait en tête, ce qui explique que rien ici ne soit étiqueté petit ou grand segment. La corde vaut 7,0711, la même que la ligne des 90 degrés ci-dessus, parce que sin(135°) égale sin(45°) : deux angles différents, une seule corde.

Limites

La page ne traite que les segments circulaires : une corde droite et l’arc au-dessus d’elle, sur un cercle plat. Au-delà de 180 degrés l’arithmétique bascule et renvoie la plus grande des deux régions que la corde découpe plutôt que la plus petite — c’est délibéré et inévitable, puisque la formule ne peut pas savoir laquelle vous vouliez, et c’est pourquoi aucune réponse ici n’est étiquetée grand ou petit segment. L’aire est une différence de deux nombres qui portent chacun un π ou un sinus, donc ses derniers chiffres sont les moins fiables de la page. La corde et l’arc ne changent pas quand on retire le triangle, donc un lecteur qui voulait le quartier plutôt que le croissant doit employer la page du secteur, à côté. Les relevés sont en centimètres et en centimètres carrés quelle que soit l’unité réglée dans la liste, donc un rayon saisi en pouces revient en centimètres et c’est à vous de convertir. La hauteur se mesure de la corde au point le plus profond de l’arc et c’est la grandeur vers laquelle se tourner quand l’angle est inconnu, mais la page ne remonte pas d’une hauteur vers un angle. Les angles supérieurs à 360 degrés sont refusés plutôt qu’enroulés. Rien ici ne traite un segment d’ellipse, une corde qui ne couvre pas tout l’arc, ni l’épaisseur et les abouts d’une pièce bien réelle comme une douve de tonneau ou une brique de voûte.

Questions fréquentes

En quoi un segment diffère-t-il d’un secteur ?
Un secteur est le quartier délimité par deux rayons et un arc — une part de tarte. Un segment est ce qui reste quand on retranche le triangle de ce quartier : juste la région comprise entre la corde et l’arc. La page du secteur, à côté, calcule le quartier, et celle-ci calcule ce qui subsiste une fois qu’on en a retiré ½r²sin θ.
Pourquoi la page donne-t-elle la plus grande région à 270 degrés ?
Parce que l’aire du triangle vaut ½r²sin θ, et qu’au-delà de 180 degrés le sinus est négatif, donc le fait de le retrancher ajoute au lieu d’enlever. L’arithmétique est juste et la réponse est la plus grande des deux régions que la corde découpe. La page refuse délibérément d’étiqueter ses réponses comme grand ou petit segment : à partir d’un rayon et d’un angle seuls, il n’y a aucun moyen de dire laquelle des deux régions vous vouliez, donc elle en calcule une et vous laisse la lire.
À quoi sert la hauteur du segment ?
C’est de combien l’arc bombe au-dessus du milieu de la corde — la profondeur du segment. Elle est sur la page parce que c’est la mesure qu’on peut réellement prendre : posez une règle en travers du côté plat et descendez jusqu’au point le plus profond de la courbe, et vous l’avez, sans avoir besoin de l’angle. Elle va de 0 à angle nul jusqu’au diamètre entier au tour complet, et c’est la façon habituelle de décrire une conduite partiellement remplie.
Pourquoi la corde et l’arc sont-ils les mêmes que sur la page du secteur ?
Parce que ni l’une ni l’autre ne fait partie du triangle qu’on retire. La soustraction enlève la région renfermée par les deux rayons et la corde ; la corde elle-même est la frontière de ce triangle, pas son intérieur, et l’arc n’est pas touché du tout. Donc un segment de 120 degrés et un secteur de 120 degrés du même cercle ont des cordes identiques et des arcs identiques, et des aires différentes.
À quoi sert cette forme ?
À tout ce où une droite traverse un cercle. Une conduite ou une cuve horizontale partiellement remplie a pour section de liquide un segment, ce qui explique que le volume de liquide dans un tonneau soit un problème de segment. Une fenêtre en plein cintre, le plafond d’un tunnel sur parois droites, la surface entre une limite de propriété rectiligne et une route courbe, la chute laissée quand on scie une corde en travers d’un rondin, et une bouchée prise dans un biscuit rond sont tous des segments.
Puis-je déduire l’angle de la hauteur ?
Pas sur cette page — la hauteur est une sortie, pas une entrée. L’angle peut s’en récupérer, puisque la hauteur vaut r(1 − cos(θ/2)), mais cela suppose de résoudre en cosinus puis de prendre un arc cosinus, et la page ne le fait pas. Si ce que vous avez est une mesure de profondeur, la voie pratique consiste à essayer des angles jusqu’à ce que la colonne de la hauteur corresponde à ce que vous avez mesuré, ou à faire le calcul inverse à part.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’aire de secteurAire, arc et corde d’un secteur circulaire par l’angle.Calculatrice de cercleRayon, diamètre, circonférence et aire depuis un seul.Calculatrice de longueur d’arcLongueur de l’arc entre deux points d’un cercle.Calculatrice d’angle au centreAngle au centre sous-tendu par un arc de cercle.