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CalcMax

Calculatrice d’aire de secteur

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 ° – 360 °

Résultat

13,0900 cm²

Aire

Longueur de l’arc
5,2360 cm
Corde
5,0000 cm

Une calculatrice de secteur prend le rayon d’un cercle et un angle au centre, et renvoie trois mesures du quartier que ces deux nombres découpent : l’aire, la longueur de l’arc et la corde. Un secteur, c’est la forme d’une part de tarte — la région délimitée par deux rayons et l’arc qui les joint — et c’est la première page de ce groupe où le formulaire demande deux choses d’espèces différentes. Le rayon est une longueur et l’angle est un angle, et aucun des deux ne se déduit de l’autre : un large quartier d’un petit cercle et un quartier étroit d’un grand sont des formes différentes, donc les deux nombres sont réellement nécessaires. Cela vaut la peine d’être remarqué parce que la page du cercle, à côté, est l’inverse — donnez-lui l’une quelconque de quatre mesures et elle produit les autres, parce qu’un cercle est fixé par un seul nombre. Un secteur, c’est un cercle auquel on a enlevé un morceau, et la taille de ce morceau doit être dite séparément. Les trois sorties répondent à trois questions différentes sur le même quartier. L’aire est la surface qu’il couvre, ce qu’on veut pour une part de pizza, une parcelle de terrain à limite courbe ou l’ouverture d’un obturateur d’appareil photo. La longueur de l’arc est la distance parcourue le long du bord courbe, ce qu’on veut pour une moulure cintrée ou une longueur de clôture sur une limite bombée. La corde est la droite qui referme le quartier, ce qu’on veut pour le bord plat d’une part ou la largeur de l’ouverture qu’il sous-tend. Les trois sortent du même couple de nombres, et toutes les trois sont une fraction fixe du cercle entier — l’angle sur 360 — appliquée à la mesure correspondante de ce cercle. Chaque formule vaut la peine d’être connue pour elle-même, et les trois sont posées plus bas.

Des secteurs usuels, du sixième de cercle au cercle entier

Rayon (cm)Angle au centre (°)Aire (cm²)Longueur de l’arc (cm)Corde (cm)
56013.095.2365
59019.6357.8547.0711
518039.269915.70810
536078.539831.41590
109078.539815.70814.1421
612037.699112.566410.3923
12270339.29256.548716.9706
50000

Huit secteurs, et les deux premières colonnes sont les deux entrées — ce qui vaut la peine d’être dit, parce que toutes les autres tables de ce groupe cachent leurs entrées dans la forme au lieu de les imprimer. La première ligne est celle avec laquelle la page se charge, et c’est celle qu’il faut lire en premier : à 60 degrés la corde vaut exactement 5, la même valeur que le rayon, parce que le sinus de 30 degrés vaut exactement un demi. La quatrième ligne est le cercle entier, et son aire comme sa longueur d’arc sont exactement ce que la page du cercle imprime pour un rayon de 5 — 78,5398 et 31,4159 — tandis que sa corde vaut 0, parce que les deux bouts se sont rejoints. La cinquième ligne est un autre cercle sous un autre angle avec la même aire que la quatrième : un rayon de 10 à 90 degrés couvre 78,5398 centimètres carrés, autant qu’un cercle de 5 cm en couvre en entier, ce qui rappelle que l’aire dépend des deux entrées. La septième ligne est au-delà de la moitié, là où la corde mesure le chemin court à travers une part qui fait les trois quarts du cercle ; la page la calcule sans broncher, et lire laquelle des deux régions une corde a découpée est le travail de la page du segment et non de celle-ci. La dernière ligne est un angle nul, où le quartier s’est effondré sur un seul rayon et où les trois relevés valent zéro. Chaque nombre est recalculé à partir de son rayon et de son angle au moment où la page est construite, en centimètres et en degrés, et les quatre décimales sont les mêmes quatre décimales que celles du panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (13.09 plutôt que 13,09), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

A = (θ ÷ 360) × πr² L = (θ ÷ 360) × 2πr c = 2r × sin(θ ÷ 2)

Rayon
La distance du centre au bord courbe, en centimètres. La moitié des deux côtés droits du quartier, et le seul nombre qui dise de quel cercle il a été découpé
Angle au centre
L’angle entre les deux côtés droits, mesuré au centre, en degrés. Avec le rayon il fixe le quartier complètement, et c’est le nombre qui dit quelle fraction du cercle vous avez prise — 90 en est le quart, 60 en est le sixième
Aire
La surface que le quartier couvre, en centimètres carrés. Elle s’obtient comme la fraction du cercle multipliée par l’aire du cercle entier, et c’est la seule des trois qui aille avec le carré du rayon : doublez le rayon et l’aire est multipliée par quatre
Longueur de l’arc
La distance le long du bord courbe, en centimètres. La même fraction du cercle, appliquée à la circonférence plutôt qu’à l’aire — elle va donc avec le rayon et non avec son carré, et elle vaut exactement le rayon lorsque l’angle vaut un radian
Corde
La droite qui va d’un bout de l’arc à l’autre, en centimètres. C’est le côté plat de la part, et la seule des trois sorties qui demande de la trigonométrie plutôt qu’une simple fraction : elle vaut deux fois le rayon multiplié par le sinus de la moitié de l’angle
sin(θ ÷ 2)
Le sinus de la moitié de l’angle, et c’est la moitié plutôt que l’angle entier qu’il faut retenir — la corde et les deux rayons forment un triangle isocèle, et abaisser une ligne en son milieu partage l’angle en deux en même temps que la corde
θ ÷ 360
La fraction du cercle entier que le quartier occupe. C’est le facteur que l’aire et la longueur de l’arc partagent, et c’est pourquoi toutes les deux ne sont qu’une copie réduite des mesures du cercle lui-même
Quatre décimales
La largeur sous laquelle chaque relevé est écrit. L’aire et la longueur de l’arc portent un π et ne se terminent donc presque jamais ; la corde n’est exacte qu’aux angles où le sinus l’est, ce qui explique que 60 degrés et 180 degrés donnent des nombres propres et que la plupart des autres angles non

Les trois sorties répondent à trois questions différentes sur la même part, et choisir la bonne est l’essentiel du travail. L’aire est pour tout ce qui s’achète ou se compte en surface : une part de pizza vendue à la plaque, un quartier de terrain entre deux clôtures qui se rejoignent à un coin, une vitre découpée dans un cadre courbe, ou la fraction du champ de vision d’un appareil photo qu’un réglage d’obturateur donné laisse passer. La longueur de l’arc est pour tout ce qui suit la courbe : la longueur de moulure nécessaire autour d’un comptoir cintré, la clôture le long d’une limite qui bombe, le trajet de la courroie autour d’une partie d’une poulie, ou la distance que parcourt un point de la jante quand la roue tourne d’un angle donné. La corde est pour la ligne droite — la largeur d’une pale de ventilateur à son extrémité, le dos plat d’une part posée contre une assiette, la portée d’un arc de maçonnerie, ou la distance à laquelle se retrouvent deux points d’un cercle après avoir été tournés du même angle autour d’un centre commun. Et il y a un quatrième usage qui traverse les trois : le secteur est l’unité avec laquelle un très grand nombre de choses circulaires sont construites — un diagramme circulaire n’est rien d’autre que des secteurs, un hexagone en est six, et une dent d’engrenage en est un dont on a taillé la pointe.

Exemples détaillés

  1. Un sixième d’un cercle de 5 cm

    1. Fraction du cercle : 60 ÷ 360 = 1/6
    2. Aire : (1/6) × π × 5² = 25π ÷ 6 = 13,0899…, soit 13,09
    3. Longueur de l’arc : (1/6) × 2π × 5 = 10π ÷ 6 = 5,2359…, soit 5,236
    4. Corde : 2 × 5 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5

    L’entrée avec laquelle la page se charge, et la ligne qui montre ce que fait la fraction : un quartier de 60 degrés est exactement un sixième du cercle, donc son aire est un sixième de 25π et son arc un sixième de 10π. La corde est la partie sur laquelle il faut s’arrêter — elle tombe exactement sur 5, la même valeur que le rayon, parce que le sinus de 30 degrés vaut exactement un demi et que le 2 et le demi s’annulent. Six de ces quartiers posés pointe contre pointe font un hexagone régulier, et c’est la page d’à côté.

  2. Un quart d’un cercle de 5 cm

    1. Fraction du cercle : 90 ÷ 360 = 1/4
    2. Aire : 25π ÷ 4 = 19,6349…, soit 19,635
    3. Longueur de l’arc : 10π ÷ 4 = 7,8539…, soit 7,854
    4. Corde : 2 × 5 × sin(45°) = 10 × 0,7071068 = 7,0710678…, soit 7,0711

    Le quart de cercle. La corde d’un secteur de 90 degrés est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit valent le rayon, donc elle vaut r√2 — ici 5√2, le même 7,0711 que la page du carré imprime pour sa diagonale et le même nombre dont aurait besoin le carré inscrit de la page du cercle. Trois pages, un seul nombre, et les trois sont le même triangle vu de trois côtés.

  3. Un demi-cercle

    1. Fraction du cercle : 180 ÷ 360 = 1/2
    2. Aire : 25π ÷ 2 = 39,2699…, soit 39,2699
    3. Longueur de l’arc : 10π ÷ 2 = 15,7079…, soit 15,708
    4. Corde : 2 × 5 × sin(90°) = 10 × 1 = 10

    L’angle où la corde cesse d’être une corde et devient un diamètre : les deux bouts de l’arc sont maintenant opposés, donc la droite qui les joint passe par le centre et vaut 2r. Le sinus de 90 degrés vaut exactement 1, ce qui explique que la réponse soit propre. Tout, sur cette ligne, vaut la moitié du cercle entier qui suit, sauf la corde, qui est ici à son maximum — au-delà de 180 degrés la corde se remet à diminuer alors même que l’aire continue de croître.

  4. Un tiers d’un cercle de 6 cm

    1. Fraction du cercle : 120 ÷ 360 = 1/3
    2. Aire : 36π ÷ 3 = 12π = 37,6991…, soit 37,6991
    3. Longueur de l’arc : 12π ÷ 3 = 4π = 12,5664…, soit 12,5664
    4. Corde : 2 × 6 × sin(60°) = 12 × 0,8660254 = 10,3923048…, soit 10,3923

    Un tiers d’un cercle de rayon 6, et la ligne qui relie cette page à la suivante. La corde vaut 6√3, ce qui est exactement la petite diagonale d’un hexagone régulier de côté 6 — et ce n’est pas une coïncidence : trois de ces quartiers font la moitié d’un hexagone, et six en font la totalité. Que l’aire soit 12π et l’arc 4π est l’autre chose à remarquer : quand la fraction tombe juste, les réponses gardent le π et laissent tomber tout le reste.

  5. Le cercle entier

    1. Fraction du cercle : 360 ÷ 360 = 1
    2. Aire : 1 × π × 5² = 25π = 78,5398…, soit 78,5398
    3. Longueur de l’arc : 1 × 2π × 5 = 10π = 31,4159…, soit 31,4159
    4. Corde : 2 × 5 × sin(180°) = 10 × 0 = 0

    Un secteur de 360 degrés est le cercle entier, et l’aire ainsi que la longueur de l’arc sont exactement ce que la page du cercle imprime pour un rayon de 5 — le même 78,5398 et le même 31,4159. Ils le doivent : un secteur qui occupe tout le cercle est le cercle. La corde est la plus intéressante. Elle vaut 0, et c’est la bonne réponse plutôt qu’un échec : les deux bouts de l’arc ont fait le tour et se sont rejoints, donc la droite qui les sépare n’a aucune longueur. Une corde peut être nulle alors que l’aire est à son maximum — les deux mesures n’ont rien à voir l’une avec l’autre.

Limites

La page ne traite que les secteurs : deux rayons droits et l’arc entre eux, sur un cercle plat. Un segment — la région entre une corde et son arc, ce qu’on obtient si on retranche le triangle de ce quartier — est une autre forme, avec sa propre page à côté. Les relevés sont en centimètres et en centimètres carrés quelle que soit l’unité réglée dans la liste, donc un rayon saisi en pouces revient en centimètres et c’est à vous de convertir ; l’angle est en degrés et la liste accepte les radians ou les grades, mais le résultat est toujours calculé à partir des degrés. Les angles supérieurs à 360 degrés sont refusés plutôt qu’enroulés : passé un tour complet, il y a plus d’une façon de lire de quelle part vous parliez, et la page préfère le dire que de deviner. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage plutôt qu’une prétention à la précision — l’aire et la longueur de l’arc portent un π et ne se terminent presque jamais, et la corde n’est exacte qu’aux angles où le sinus l’est. La corde mesure la droite qui traverse le quartier, donc pour les angles supérieurs à 180 degrés elle mesure le chemin court à travers une part qui fait plus de la moitié du cercle, ce qui est correct mais rarement ce que quelqu’un qui dessine un diagramme circulaire a en tête. Rien ici ne traite une part d’ellipse ni d’aucune autre courbe non circulaire, un quartier à pointe arrondie, ni l’épaisseur d’une part bien réelle comme un gâteau ou un quartier de fromage.

Questions fréquentes

Pourquoi cette page demande-t-elle deux entrées quand celle du cercle n’en demande qu’une ?
Parce qu’un secteur n’est pas fixé par un seul nombre. Un cercle l’est : donnez son rayon et vous savez tout de lui. Un secteur est un cercle auquel on a enlevé un morceau, et la taille de ce morceau doit être dite séparément — un quartier de 30 degrés d’un grand cercle et un quartier de 180 degrés d’un petit sont des formes entièrement différentes. Le rayon fixe le cercle et l’angle fixe la part que vous en avez prise, donc les deux sont nécessaires et aucun ne se déduit de l’autre.
Pourquoi la corde vaut-elle exactement le rayon à 60 degrés ?
Parce que la corde vaut 2r·sin(θ/2), et qu’à 60 degrés la moitié de l’angle fait 30 degrés, dont le sinus vaut exactement un demi. Le 2 et le demi s’annulent et il reste r. C’est l’un des rares angles où la corde tombe sur un nombre entier, et c’est ce qui fait fonctionner l’hexagone : six quartiers de 60 degrés posés pointe contre pointe donnent une forme dont chaque côté — les six rayons et les six cordes — a la même longueur.
Quelle est la différence entre un secteur et un segment ?
Un secteur est le quartier délimité par deux rayons et un arc, comme une part de tarte. Un segment est la région comprise entre une corde et son arc — c’est-à-dire ce qui reste du quartier une fois qu’on en a retranché le triangle formé par les deux rayons et la corde. La page du segment, à côté, calcule cette autre région, et son aire vaut l’aire de cette page-ci moins le triangle.
Lequel des trois relevés me faut-il ?
L’aire si la part est une surface — une part de pizza, un quartier de terrain, une vitre. La longueur de l’arc si quelque chose suit la courbe — une moulure autour d’un comptoir cintré, une clôture sur une limite bombée, le trajet de la courroie sur une partie d’une poulie. La corde s’il vous faut la ligne droite qui traverse la part — la largeur d’une pale de ventilateur à son extrémité, la portée d’un arc de maçonnerie, ou la distance à laquelle se retrouvent deux points de la jante.
La corde vaut 0 pour un cercle entier. Est-ce un défaut ?
Non, c’est la bonne réponse. À 360 degrés, les deux bouts de l’arc ont fait tout le tour et se sont rejoints, donc la droite qui les sépare n’a aucune longueur. Il vaut la peine de voir que l’aire est à son maximum — le cercle entier — au moment même où la corde est à son minimum, parce que ces deux mesures n’ont rien à voir l’une avec l’autre. Seules les cordes se comportent ainsi ; la longueur de l’arc, elle, devient simplement la circonférence.
Puis-je saisir l’angle en radians ?
Oui, la liste à côté du champ de l’angle accepte les degrés, les radians et les grades, et convertit ce que vous tapez en degrés avant tout calcul. Les entrées du tableau de référence sont en degrés d’un bout à l’autre, donc une saisie d’environ 1,047 radian correspond à la même part que la ligne des 60 degrés. Rien dans la sortie ne change avec l’unité — l’aire est en centimètres carrés et l’arc comme la corde sont en centimètres dans tous les cas.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’aire de segmentAire entre une corde et son arc, selon rayon et angle.Calculatrice de cercleRayon, diamètre, circonférence et aire depuis un seul.Calculatrice de longueur d’arcLongueur de l’arc entre deux points d’un cercle.Calculatrice d’angle au centreAngle au centre sous-tendu par un arc de cercle.